Действительная  часть  a_p  носит название рабочего затухания, а мнимая часть b_p -     рабочего фазового сдвига. Рабочее затухание определяет уменьшение полной (кажущейся) мощности, напряжения или тока на выходе четырехполюсника по отношению к входу в неперах (N) или децибелах (дБ):

 или 

       Можно связать рабочее затухание с  коэффициентом передачи:

       Уровень затухания, на котором определяется полоса пропускания ,будет равен 3 дБ.

Частотные характеристики затухания a_p(f) и b_p(f)   дают достаточно полное представление о селективных свойствах фильтров путем сравнения мощности и фаз сигналов и помех на разных частотах.

       В режиме двустороннего согласования  рабочие меры передачи называются характеристическими мерами. Соответственно характеристическая постоянная передачи записывается в виде:

       Характеристическое  затухание a_c и характеристический фазовый сдвиг b_с можно выразить через параметры четырехполюсника:

       Характеристические  параметры удобны в том отношении, что их можно весьма просто вычислять  для сложных четырехполюсников, составленных из нескольких четырехполюсников. Если четырехполюсник (филътр) образован каскадным соединением согласованно включенных четырехполюсников (звеньев), то его характеристические сопротивления  равны характеристическим сопротивлениям крайних звеньев, а характеристическая постоянная передачи равна сумме характеристических постоянных передачи звеньев, составляющих это соединение. Тогда, и характеристическое затухание фильтра равно сумме характеристических затуханий, а характеристический фазовый сдвиг - сумме характеристических фазовых сдвигов, составляющих это соединение звеньев.

       Эти положения лежат в основе построения фильтров при их проектировании по характеристическим параметрам.

       Несмотря  на простоту определения характеристических параметров, следует учитывать, что  они не дают представления о передаче колебаний через фильтр с реальными нагрузочными сопротивлениями. Действительно, характеристические сопротивления являются функцией частоты, и сопротивления нагрузки не могут быть подобраны таким образом, чтобы фильтр был согласован на всех частотах. Практически его удается согласовать только на одной или нескольких фиксированных частотах. Кроме этих частот фильтр работает при несогласованной нагрузке. Вследствие этого возникают отражения, приводящие к изменению мощности, подаваемой в приемник. Отражение изменяет величину и частотную зависимость затухания, фазового сдвига и входного сопротивления фильтра, а также приводит к возникновению явления электрического эха [4]. Поэтому для оценки работы фильтра в условиях несогласованности, в рабочих условиях, используют рабочие параметры.

       Если  при проектировании фильтров основываться на рабочих параметрах, то методы расчета  параметров элементов фильтра будут  более сложными, чем при использовании  характеристических параметров, но результаты расчета будут точнее.

       Особенность расчета активных RC-фильтров состоит в том, что характеристики отдельных звеньев при их каскадном соединении должны подбираться таким образом, чтобы добиться приблизительно постоянного затухания всего фильтра в пределах полосы пропускания. Поэтому эти звенья рассчитываются все вместе по рабочим параметрам.

       1.3 Нормирование и  преобразование частоты

       Часто для описания величин электрических параметров элементов фильтров, например, частоты, емкости, приходится иметь дело с очень большими или очень малыми числами. Это вызывает неудобство при вычислениях. Эту проблему легко решить, если значения некоторых параметров принять за единичные, что значительно упрощает расчет, а числовые результаты, в конечном итоге, имеют общий характер. Этот процесс называется нормированием.

       Не  все единицы в нормированной  схеме можно выбрать произвольно. Показано, что только две переменные могут быть нормированы независимо. Очень часто выбирают сопротивление и частоту. Например, для LC-фильтров обычно величины его элементов нормируются при сопротивлении нагрузки R₂= 1 Ом и частоте среза   ω_c=1 рад/с. Справочный материал, как правило, приводит результаты расчета нормированных фильтров.

       Для преобразования нормированных величин  в реальные их необходимо умножить на коэффициент преобразования. Например, нормированные значения индуктивности  и емкости в LC-фильтрах умножаются на постоянные K_L и K_c, которые можно определить следующим образом: K_L=R₂/ω_c, K_L=1/ω_c R₂, где R₂ - сопротивление нагрузки, w_c - частота среза

       Преобразование  частоты представляет собой простой  и полезный способ для обобщения  результатов, полученных для  фильтров нижних частот, на более сложные типы фильтров. Этот метод позволяет преобразовать фильтр нижних частот (часто называемый прототипом) в полосовой, фильтр верхних частот,  заграждающий, гребенчатый.

       В общем случае преобразование частоты  может быть записано в виде:

       где ; А - положительная действительная постоянная; w_пр - исходная переменная (переменная прототипа); w- новая переменная.

       Рассмотрим  самые простые преобразования. Простейшее преобразование w_пр= -A/w приводит к тому, что индуктивное сопротивление прототипа преобразуется в емкостное, а    емкостное сопротивление - в индуктивное. Действительно w_прL_пр  → - 1/wC, где C=1/AL_пр.

       Характеристика  затухания прототипа (фильтра нижних частот) превращается в этом случае в характеристику фильтра верхних  частот.

Преобразование  типа

преобразует прототип в полосовой фильтр, имеющий  геометрически симметричную характеристику затухания (относительно частотыw₂). При этом индуктивность прототипа заменяется схемой с последовательным контуром, емкость преобразуется в схему с параллельным контуром.

       А преобразование

приводит  к заграждающему фильтру, причем индуктивность прототипа замещается параллельным, а емкость - последовательным контуром.

       1.4 Фильтр нижних  частот

       Рассмотрим в качестве прототипа простейший RC-фильтр, изображенный на рис. 5.  Запишем его коэффициент передачи

       Отсюда  получаем частотные характеристики фильтра:

       Частота среза w_с =1/RC определяется из соотношения K(w_с)=1/√2 .

       Для реализации общего подхода целесообразно  ввести нормированную комплексную  переменную p=jw/w_с. Коэффициент передачи будет иметь вид:

        При p<<1 , т.е. на низких частотах  . На частоте среза p=1 коэффициент передачи уменьшается на 3 дБ. На высоких частотах при p>>1 /p, т.е. коэффициент передачи обратно пропорционален частоте. При увеличении частоты в 10 раз он уменьшается на 20 дБ на декаду. 
 
 
 
 

       Если  необходимо получить более быстрое уменьшение коэффициента передачи, можно включить n фильтров нижних частот последовательно. Передаточная функция такой системы имеет вид;

                                                (1.1)

       где a_i - положительные коэффициенты. Из этой формулы следует, что  при p>>1 1/pⁿ.   Уменьшение коэффициента передачи характеризуется величиной 20 дБ на каждую декаду. Отметим, что корни знаменателя передаточной функции являются действительными и отрицательными. Таким свойством обладают пассивные RC -фильтры n-го порядка.

       В общем виде передаточная функция  фильтра нижних частот может быть представлена следующим образом:

                                                          (1.2)

       где с_1,...с_n  - положительные действительные коэффициенты.

       Порядок фильтра определяется максимальной степенью переменной p. Для реализации фильтра необходимо разложить полином знаменателя на множители. Если среди корней полинома есть комплексные корни, то рассмотренное ранее представление полинома (1.1) не может быть использовано. В этом случае его следует записать в виде произведения многочленов второго порядка:

        где  a_i , b_i – положительные коэффициенты.

       Порядок фильтра n с передаточной характеристикой (1.3) также определяется максимальной степенью переменной p, но только после того, как выполнено перемножение сомножителей. Он задает асимптотический наклон амплитудно-частотной характеристики, равный n×20дБ на декаду.

       Вид частотной характеристики зависит как от порядка, так и типа фильтра. Тип фильтра определяется способом представления полинома передаточной функции. Широкое применение находят такие типы фильтров как фильтры Баттерворта, Чебышева и Гаусса [1]. Амплитудно-частотная характеристика фильтра Баттерворта имеет довольно длинный горизонтальный участок в полосе пропускания и резко спадает за частотой среза. Характеристика фильтра Чебышева спадает более круто, однако, в полосе пропускания она, не монотонна, а имеет волнообразный характер с постоянной амплитудой. При заданном порядке фильтра более резкому спаду амплитудно-частотной характеристики за частотой среза соответствует большая неравномерность в полосе пропускания. Фильтр Бесселя обладает оптимальной переходной характеристикой. Причиной этого является пропорциональность фазового сдвига выходного сигнала фильтра частоте входного сигнала. В общем случае спад амплитудной характеристики фильтра Бесселя оказывается более пологим по сравнению с фильтрами Чебышева и Баттерворта.

       Эти типы фильтров могут быть реализованы по одной схеме, и отличаются лишь значениями коэффициентов a_i и b_i и, следовательно, параметрами элементов.

       Корни полинома могут иметь сопряженные  комплексные значения, что приводит к невозможности реализации такого фильтра с помощью пассивных RС-цепей. Для реализации фильтров с сопряженными комплексными корнями могут быть использованы LC-фильтры. Для высоких частот получение необходимой индуктивности не представляет затруднений. Однако для низких частот нужны большие индуктивности, которые сложны в изготовлении и обладают плохими электрическими характеристиками.  Поэтому в низкочастотном диапазоне применяются активные RС-фильтры.

       1.5 Активные RC-фильтры

       В активных фильтрах, или фильтрах с  обратными связями, используется параллельное соединение и другие виды соединений четырехполюсников. Четырехполюсник, по которому сигнал проходит с входа на выход, является неселективной цепью с коэффициентом передачи, не зависящим от частоты. В качестве такого четырехполюсника часто используют операционный усилитель. Четырехполюсник обратной связи обычно содержит селективную цепь.

       1.5.1  Активные полосовые RC-фильтры

       Простейший  полосовой фильтр можно получить, применив к фильтру нижних частот  первого порядка преобразование частоты, т. е. провести замену переменных в выражении для передаточной функции (2.1) фильтра нижних частот  первого порядка: p→(1/∆Ω)(p+1/p).

        При этом передаточная функция полосового фильтра будет иметь второй порядок:

       где ∆Ω - нормированная полоса пропускания.

       Нормированная полоса ∆Ω=Ω_max-Ω_min определяется для нормированных частот среза, на которых коэффициент передачи фильтра уменьшается на 3 дБ, причем Ω_maxΩ_min=1. Такой полосовой фильтр имеет геометрически симметричную частотную характеристику затухания относительно нормированной средней частоты Ω=jw/w_r =1.

       Исходя  из свойств данного преобразования, можно заключить, что коэффициент K₀ равен коэффициенту передачи полосового фильтра на резонансной частоте: K₀=K_r. По аналогии с колебательным контуром определяется добротность полосового фильтра: Q=1/ΔΩ. Таким образом, основные параметры фильтра непосредственно входят в его передаточную функцию.