Расчет линейных электрических цепей переменного тока

      Ip₂ = I₂ * Sinφ₂ = 5.2 * 0,9705 = 5.05 A;

      Ia₃ = I₃*Cosj₃ = 4.96*0.9249 = 4.59 A.

      Ip₃ = I₃*Sinj₃ =  4.96*(- 0.38) = - 1.88 A.

      Активная и реактивная составляющие тока в неразветвлённой части цепи:

                  Ia = Ia₂ + Ia₃ = 1.25+4.59 = 5.84 A.

                  Ip = Ip₁ + Ip₂ + Ip₃ = - 4.62+5.05 – 1.88 = - 1.45 A.

      Полный  ток  в неразветвлённой части  цепи:

                  I = = = 6.02 A.

      Угол  сдвига фаз на входе цепи:

      Sinφ = I_P / I = - 1.45/6.02 = - 0.2409; φ = -13.94⁰;    Cosφ = 0.9706.

      Активные, реактивные и полные мощности ветвей:

.   Q_C1 = I₁² *X_C1= 4.62² *65 = 1387 вар.

                           S₁ = U*I₁ = 300*4.62 = 1387 B*A.

                  P₂ = I₂² * R₂ = 5.2²* 14 = 379 Вт.

                  Q_L2 = I₂² * X_L2 = 5.2² * 56 =1514 вар.

                  S₂ = U * I₂ = 300 * 5.2 =1560 В*А.

                          P₃ = I₃²*R₃ = 4.96²*56 = 1378 Bт

                     Q_C3 = I₃² * X_C3 = 4.96² * 23 =566 вар.

                           S₂ = U * I₂ = 300 *4.96 = 1488 В*А

      Активные, реактивные и полные мощности всей цепи:

                  P = P₂ + P₃ = 379 + 1378 =1757 Вт.

                  Q = - Q_C1 + Q_L2 - Q_C3 = - 1387 +1514 -566 = - 439 вар.

                  S = = = 1811 В*А, или

                  S = U * I = 300*6.02 = 1806 В*А.

                  P = S * Cosφ = 1806 * 0,9706 = 1753 Вт.

      Q = S * Sinφ = 1806*(- 0.2404) = - 434 вар.

      Для построения векторной диаграммы  задаёмся масштабами напряжений M_U = 25 В/см и токов M_I = 0.5 А/см. Векторную диаграмму начинаем строить с вектора напряжения, который откладываем вдоль горизонтальной положительной оси. Векторная диаграмма токов строится с учётом того, что активные токи Ia₂ и Ia₃ совпадают по фазе с напряжением, поэтому их векторы параллельны вектору напряжения; реактивный индуктивный ток I_p2  отстает по фазе от напряжения, и его вектор строим под углом 90⁰ к вектору напряжения в сторону отставания; реактивные емкостные токи I_p1 и I_p3     опережают по фазе напряжение, и их векторы строим под углом 90° к вектору напряжения в сторону   опережения. Вектор тока в неразветвлённой части цепи строим с начала построения в конец вектора емкостного тока Ip₃. Векторная диаграмма построена на рисунке 4.

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

3 Расчёт сложных  цепей переменного тока                                      символическим  методом

 

    Электрическая схема цепи и комплексная схема  замещения представлены на рисунке 5а и б соответственно. 

    

                                                 Рисунок  5   

      Намечаем  в независимых контурах заданной цепи, как показано на рисунке 5б, контурные токи I_K1 и I_K2 – некоторые расчётные комплексные величины, которые одинаковы для всех ветвей выбранных контуров. Направления контурных токов принимаются произвольно. Для определения контурных токов составляем два уравнения по второму закону Кирхгофа:

                                                 I_K1*(Z₁ + Z₂) – I_K2*Z₂ = E₂

                                               - I_K1*Z₂+I_K2*(Z₂+Z₃)= E₃ - E₂

      Подставляем данные в систему:

                                   I_K1*(- j65+14+j56) – I_K2*(14+j56) = 230

                       -I_K1*(14+j56) +I_K2 *(14+j56+56 – j23) = j240-230

          I_K1*(14-j9) – I_K2*(14+j56) = 230

         -I_K1*(14+j56) + I_K2*(70+j33) = -230+ j240

      Решаем  систему с помощью определителей. Определитель системы:

    =1277-j168+2940– j1568=4217-j1736

       Частные определители :

             = = 16100+j7590–16660-j9520= -560–j1930.

            

            =-1060+j5430+3220+j12880 = 2160+j18310

      Определяем  контурные токи:

                     I_K1 = = = 0.0476-j0.438 A.

            I_K2 = = = - 1.09+ j3.89 A.

      Действительные  токи в ветвях цепи определяем как  результат наложения контурных  токов:

           I₁ = I_K1 = 0.0476 – j0.438 = 0.441 A

      I₂ = I_K1-I_K2 = 0.0476.- j0.438+1.09- j3.89 = 1.14 – j4.33 = 4.48 A

      I₃ = I_K2 = -1.09 + j3.89 = 4.04 A.

      Составляем  уравнение баланса мощностей  в заданной электрической цепи. Определяем комплексные мощности источников:

      S_E2 = E₂* =230(1.14+j4.33) = 262+j996=1030 B*A

     S_E23= E₃* = j240*(-1.09 – j3.89) = 912 – j262 = 949 B*A

      Определяем  комплексные мощности приёмников электрической  энергии:

           S₁ = I₁²*Z₁ =0.441²*( – j65) =  – j12.6 =12.6 B*A

           S₂ = I₂²*Z₂ = 4.48²*(14+j56) = 281+j1124=1159 B*A

           S₃ = I₃²*Z₃ =  4.04²*(56 – j23) = 914– j375 =988 B*A.

     Уравнение баланса комплексных мощностей!

           S_Е1 + S_E2 = S₁ + S₂ + S₃;

       262+j996+912-j262 = – j12.6+281+j1124+914– j375

       1174+ j734 @ 1182+ j749;      1385 @ 1400                      

      Относительная и угловая погрешности  незначительны.

      Для построения векторной диаграммы  задаёмся масштабами токов             M_I = 0.25 А/см    и   ЭДС   M_E = 50 В/см.       Векторная диаграмма в комплексной плоскости построена на рисунке 6.

4 Расчёт трёхфазной цепи  при соединении приемника в  звезду

 
 

      Схема заданной цепи изображена на рисунке 7.

      Определяем  систему фазных напряжений генератора. Фазное напряжение:

      U_Ф = Uл/ = 380/1,73=220 В.

      Комплексные фазные напряжения генератора:

            U_A = U_Ф = 220 B

            U_B = U_Ae^-j120 = 220e^-j120 = –110 – j191 B

            U_C = U_Ae^j120 = 220e^j120 = –110 + j191 B

      Определяем  полные проводимости фаз приёмника:

            Y_A = = j0,01538 См.

            Y_B = = 0.0042-j0.0168 См.

            Y_C = =  0.0153+j0.00628Cм.

               Y_N= = = j0.03125 См.

Рисунок  7

                                   

      Узловым напряжением является в данном случае напряжение смещения нейтрали, которое  определяется по формуле:

U_N=

= (j3.38-3.67+j1.05-2.88+j2.23)/(0.05075+j0.00486) =                                         (-6.55+j6.66)/(0.0195+j0.03611)= 67+j218 = 228 B.

     Определяем  фазные напряжения на нагрузке:

U_A^/ = U_A – U_N = 220- (67+j218) = 153-j218 = 266 B.

U_B^/ = U_B – U_N = (–110-j191) - (67+j218) = -177-j409 =446 B.

      U_C^/ = U_C–U_N=(–110+j191) - (67+j218) = -177 – j27 = 179 B.

           Определяем токи в фазах нагрузки:

I_A = U_A^/*Y_A = (153-j218)*(j0.01538) = 3.35+j2.35 = 4.1 A.

I_B = U_B^/*Y_B = (-177-j409)*(0.0042-j0.0168) = -7.61+j1.26 =7.72 A.

I_C=U_C^/*Y_C= (-177 – j27)*(0.0153+j0.00628)=- 2,53–j1,52= 2,96 A.                           

I_N = U_N*Y_N = (67+j218)*j0.03125 = - 6,8 + j2,09 = 7,12*

      Проверяем правильность определения токов  по первому закону Кирхгофа для точки  N’:

                                 I_A + I_B + I_C =I_N

                 3.35+j2.35 -7.61+j1.26 - 2,53 – j1,52  @ - 6,8 + j2,09;

                              - 6,79+j2.09 @ - 6,8 + j2,09.

Определяем  комплексные мощности фаз и всей цепи:

S_A = I_A² * Z₁ = 4,1²*(-j65) = -j1092=1092 B*A.

S_B = I_B² * Z₂ = 7,72²*(14+j56) = 834+j3338 =3440 B*A

           S_C = I_C² * Z₃ = 2,96²*(56-j23) = 491 – j 202 = 530 B*A.

           S= S_A + S_B + S_C = -j1092+ 834+j3338+ 491 – j 202 = 1325+j2044 =

           = 2436 B*A.

      Для построения векторной диаграммы  задаёмся масштабами токов M_I = 1 А/см и напряжений M_U = 40 B/см. Векторная диаграмма на комплексной плоскости построена на рисунке 8. 
 
 
 
 

5 Расчёт трёхфазной цепи при  соединении  приёмника                  в треугольник

 
 

      Схема заданной цепи изображена на рисунке 9

            

                                                    Рисунок 9.

      В данном случае линейные напряжения генератора  являются фазными

напряжениями  нагрузки: 

      U_AB = U_Л = 380 В.

      U_BC  = 380 = -190-j329 B.

      U_CA = 380 = -190+j329 B.

      Определяем  систему фазных токов нагрузки:

      I_AB =   = = j5,85 = 5,85 A

      I_BC = = = -6,32+j1,81 = 6,58 A

      I_CA = = = -4,96+j3,83 = 6,27 A

      Систему линейных токов определяем из соотношений:

I_A = I_AB – I_CA = j5,85+4,96-j3,83 = 4,96+j2,02 = 5,36 A

I_B = I_BC – I_AB = -6,32+j1,81-j5,85 = -6,32-j4,04 = 7,5 A

I_C = I_CA – I_BC = -4,96+j3,83+6,32-j1,81 = 1,36+j1,92 =2,35 A

     Определяем  мощности фаз приемника:

     S_AB =I_AB²*Z₁ = 5,85²*(-j65) = -j2224 = 2224 B*A.