В системе передачи  данных используется  устройство синхронизации  без непосредственного воздействия на частоту генератора с коэффициентом нестабильности k = 10^-5. Коэффициент делителя m = 10, емкость реверсивного счетчика S = 10. Смещение ЗМ подчинено нормальному закону распределения с нулевым математическим ожиданием и СКО , длительности единичного интервала. Рассчитать вероятность ошибки при регистрации методом стробирования без учета и с учетом погрешности синхронизации. Исправляющую способность считать равной μ = 50%.

.

Решение

        Рассмотрим  рис. 2.4.3, на котором приведен  приведен единичный  элемент длительностью τ₀ , отмечен оптимальный момент регистрации МР (время регистрации t_р = 0 и исправляющая способность приемника      μ ≈ 50%). Плотности вероятностей смещения левой и правой границ единичного элемента обозначены соответственно W₁(δ) и W₂(δ). Ошибочная регистрация элемента произойдет в следующих случаях: левая или правая граница единичного элемента сместится вправо на величину | δ | ≥ μ, одновременно обе границы сместятся внутрь единичного элемента, и смещение превысит исправляющую способность приемника μ.

    

Рис.2.4.3. Плотности вероятностей смещения левой и правой границ единичного элемента.

 

Вероятность ошибочной регистрации  , где р₁ и р₂ – соответственно вероятности смещения левой и правой границ на величину больше μ. Если устройство синхронизации работает идеально (ε = 0), то, как видно из рис. 2.4.3., 

;       .

       Наличие статической  и динамической  составляющих погрешности  корректирования  приведет к уменьшению  верности приема  единичного элемента. 

       Пусть устройство  поэлементной синхронизации  вырабатывает синхроимпульсы (стробимпульсы)  с некоторым смещением (погрешностью ε) (рис. 2.4.3.). В этом случае:

 

       Так как плотности  распределения вероятностей  W₁(δ) и W₂(δ) описываются гауссовским законом с параметрами а_кр. и σ_кр., то вероятности р₁ и р₂ можно выразить через функцию Крампа

:

     

        Рассчитаем вероятность  ошибочной  регистрации  без учета и  с учетом погрешности синхронизации.

        1). Без учета погрешности  синхронизации:

.

По  таблице находим  р₁ = р₂ = 0,01578.

.

       

       2). С учетом погрешности  синхронизации.

Рассчитаем  погрешность синхронизации  по формуле:

.

С учетом этого:

,        .

По  таблице находим  р₁ = 0,000968 и  р₂ = 0,11507;

        По результатам  расчетов делаем  вывод: погрешность  синхронизации вызывает  увеличение вероятности неправильной регистрации элементов сигнала. 
 
 
 
 
 

3. Кодирование в системах ПДС.
1. Классификация кодов.

 

     Помехоустойчивые  коды делятся на блочные и непрерывные. К блочным относятся коды, в которых каждому сообщению отводится блок из n символов (разрядов) или блоки с разным числом символов. В связи с этим блочные коды делятся на равномерные и неравномерные. Широкое практическое применение нашли равномерные коды. К неравномерным кодам относятся, например, код Морзе. Непрерывные коды, к которым относятся рекуррентные (сверточные), представляют собой непрерывные последовательности единичных элементов, не разделенные на блоки. В таких кодах избыточные разряды помещаются в определенном порядке между информационными разрядами.

     Равномерные блочные коды делятся  на разделимые и неразделимые. Разделимые коды в свою очередь делятся на систематические (линейные) и несистематические (нелинейные). Код называется линейным, если любая разрешенная кодовая комбинация может быть получена в результате линейной операции под набором не нулевых линейно – независимых КК. В систематических кодах проверочные элементы формируются линейным преобразованием информационных.

     Нелинейные  коды указанным выше свойством не обладают и применяются  значительно реже. Примером несистематического кода является код с контрольным суммированием.

     Различают два метода формирования проверочной группы: поэлементной и в  целом; последний характерен для широко распространенных полиномиальных кодов (и их разновидности – циклических). Среди систематических кодов большое применение нашли коды Хэмминга. Эти коды, обеспечивающие d₀=3, позволяют исправить одну ошибку. Помехоустойчивость коды могут иметь основание (значность) и больше 2. Однако в связи со сложностью построения кодирующих и декодирующих устройств они на практике применяются значительно реже двоичных. 
 

2. Циклические коды.

 

     Широкое распространение  получил класс  линейных кодов, которые  называются циклическими. Название этих кодов происходит от их основного свойства: если кодовая комбинация а₁, а₂,……, а_n-1, a_n принадлежит циклическому коду, то комбинации a_n, a₁,a₂,……, a_n-1; a_n, a_n-1, a₁, a₂,……, a_n-2 и т.д., полученные циклической перестановкой элементов, также принадлежат этому коду.

     Общим свойством всех разрешенных  КК ЦК (как полиномов) является их делимость  без остатка на некоторый выбранный  полином, называемый производящим. Синдромом  ошибки в этих кодах  является наличие  остатка от деления  принятой КК на этот полином. Описание циклических кодов и их построения обычно проводят с помощью многочленов (полиномов). Цифры двоичного кода можно рассматривать как коэффициенты многочлена переменной х.

     Поскольку любое число в  произвольной системе  счисления можно записать в виде a_n-1x^n-1+a_n-2x^n-2+…..+a₀x⁰, где х – основание системы счисления, a_n-1,…., a₀ – цифры этой системы, то переход от двоичного числа к записи в виде многочлена осуществляется следующим образом:

      КК  ЦК описываются полиномами обладающими определенными  свойствами. Последние определяются свойствами и операциями той алгебраической системы, к которой принадлежит множество полиномов. Например, в алгебраической системе, которая носит название поля Галуа (GF(x)), действие над коэффициентами полиномов (сложение, вычитание) производится по модулю два. Умножение полиномов должно производиться по модулю некоторого полинома Р_r(x). Эти два условия определяют замкнутость указанных операций: их применение не приводит к кодовым комбинациям, длина которых больше длинны заданного кода n.

      В циклических кодах  разрешенными КК являются те, которые делятся на образующий полином без остатка из всех возможных полиномов степени n(2ⁿ) только 2^к полиномов (k=n-r) имеют нулевой остаток при делении. Они и образуют множество различных КК ЦК.

     ЦК  являются блочными, равномерными и линейными, линейность кодов вытекает из того, что если кодовые слова принадлежат ЦК, то их линейная комбинация будет также принадлежать ЦК, т.е. обязательно делится без остатка на производящий полином. Это свойство существенно упрощает аппаратурную реализацию кода. 
 

3.3. Построение кодера  и декодера ЦК 

       Задача  №1.

       Нарисовать  кодер циклического кода, для которого производящий полином  задан числом (2N +1), где N = 16.

Решение

       Производящий  полином задан  числом 33, которому соответствует  число в двоичной системе счисления 100001, следовательно,

       Р(х) = х⁵  + 1.

       Степень производящего полинома определяет число  проверочных элементов (r) в кодовой комбинации циклического кода. В нашем случае r = 5.

        Кодирующее  устройство (кодер) состоит  из регистра с обратными  связями, число ячеек памяти которого равно числу проверочных элементов, и сумматоров по модулю два, число которых на единицу меньше числа ненулевых членов производящего полинома Р(х), и в нашем случае равно 1.

       На  рис. 3.3.1. приведена  схема кодера циклического кода, производящий полином которого имеет вид: Р(х) = х⁵  + 1. 

       Рис.3.3.1 Схема кодера циклического кода. 
 

       Задача  №2.

       Записать  кодовую комбинацию циклического кода для  случая, когда производящий полином имеет  вид Р(х) = х³ + х + 1. Кодовая комбинация, поступающая от источника сообщений имеет k = 4 элементов и записывается в двоичном виде как число, соответству-ющее (N – 8) = 16 – 8 = 8.

        

Решение

 
 

        Кодовая комбинация, поступающая  от источника, имеет  вид  1000, т.е. Q(x) = х³ .

        Сформируем кодовую  комбинацию циклического кода путем деления Q(x) х³   на производящий полином Р(х).

       

;

       Далее выполняем операцию деления:

       

         Остаток от деления  R(x) =              .Это значит, что проверочными элементами  для данной кодовой комбинации являются 101.

       Таким образом, получена кодовая циклического кода 1000101. 
 

       Задача  №3.

       Нарисовать  кодирующее и декодирующее устройство с обнаружением ошибок и «прогнать» через кодирующее устройство исходную кодовую комбинацию с целью формирования проверочных элементов. 

Решение

 

       Кодовая комбинация, поступающая  от источника –  1000; производящий полином имеет вид: Р(х) = х³ + х + 1.

       Схема кодирующего устройства приведена на рис. 3.3.2.  

      

      

      Рис.3.3.2. Схема кодирующего  устройства. 
 

      Схема работает по правилу: «новый элемент записывается, старый сдвигается». 

       

        Составим таблицу: