Основные цели, определения и принципы математического моделирования, виды моделей

  Как правило, выбор оптимальной стратегии  связан в управлении ПТМ с наименьшими  затратами времени на достижение цели, а остальные составляющие входят в условие выбора оптимальной стратегии в качестве дополнительных ограничений

  

, (5)

  где и - допустимые значения соответствующих величин.

  Таким образом, будем считать основным вариантом оптимальную стратегию, а отклонения выбранных стратегий управления от оптимальной учитывать с помощью соответствующих коэффициентов (K_откл), зависящих от технологических вариантов перегрузки, рода груза и квалификации крановщика и определяемых по результатам экспериментов.

  На  стадии реализации выбранной стратегии  появляется суммарная ошибка, вызванная  неверной визуальной оценкой координат объекта и замедлением реакции ЧО. Так, оценка расстояния между объектами по высоте в трехмерном пространстве происходит с ошибкой, равной 0,1-0,2 определяемой величины. Время реакции на изменение скорости находится в обратной зависимости от величины ее изменения. Величины ошибок также определяются экспериментально и нормируются в зависимости от технологических вариантов перегрузки, рода груза и квалификации крановщика.

  В соответствии с выбранной стратегией с учетом возможных ошибок при  ее осуществлении производится выдача ЧО управляющих воздействий. Управляющие  воздействия являются случайными событиями, которые характеризуются временем воздействия (моментами начала и конца воздействия) и величиной (уровнем) воздействия. Эти характеристики являются случайными величинами.

  Случайным называется событие, которое при осуществлении  определенных условий, может либо произойти, либо не произойти. Вероятность события есть численная мера степени объективной возможности этого события.

  Случайная величина – величина, которая может  принять какое-либо неизвестное заранее  значение из некоторого интервала, зависящее от случайных причин, которые не могут быть учтены. Случайные величины могут быть дискретными и непрерывными. [8]

  Главной вероятностной характеристикой  случайной величины является закон распределения.

  Законом распределения случайной  величины называется соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями.

  Закон распределения может быть представлен  в виде ряда распределения, функции распределения и плотности распределения.

  Таблица, в которой перечислены все  возможные значения случайной величины и соответствующие им вероятности называется рядом распределения.

  Вероятность того, что случайная величина примет значение меньшее некоторого x, является функцией, зависящей от x, и называется функцией распределения или интегральным законом распределения.

  

  Функция распределения является универсальным  законом распределения, т.к. существует и для дискретных, и для непрерывных случайных величин.

  Производная от функции распределения характеризует  плотность распределения вероятности  по случайной величине и называется плотностью распределения вероятности  или дифференциальным законом.

  

  Основными числовыми характеристиками случайной  величины являются математическое ожидание (МО), дисперсия и среднеквадратическое отклонение (СКО).

  МО  характеризует положение случайной  величины на числовой оси и определяется как и для дискретных и непрерывных величин соответственно.

  Дисперсия характеризует рассеяние случайной  величины около МО, является квадратом  отклонения случайной величины от ее МО и определяется как и для дискретных и непрерывных величин соответственно.

  СКО определяется как квадратный корень из дисперсии и служит для большей  наглядности рассеяния величины.

  Ошибки  управления зависят от множества  случайных факторов. При равном влиянии множества случайных факторов на величину можно говорить о нормальном законе ее распределения [11]. Плотность распределения последнего описывается формулой

  

, (6)

  где - МО и СКО случайной величины, соответственно.

  Внешний вид нормальной плотности распределения  представлен на рис. 5.

  

  Рис. 5 Нормальный закон распределения.

  Управляющие воздействия представляют собой  вектора, обладающие следующим набором характеристик

  

  где u₁ – время начала воздействия, u₂ – время конца воздействия, u₃ – величина (уровень) воздействия. Эти характеристики - случайные величины, распределение которых также подчинено нормальному закону. МО величин являются их значения в точности соответствующие выбранной стратегии. СКО связаны с отклонениями от выбранной стратегии функциональной зависимостью. Отклонения от выбранной стратегии представляют собой суммарные ошибки оператора, вызванные задержкой реакции, рассогласованием, ошибочной информацией о положении рабочих органов ПТМ и груза. Они нормируются в зависимости от квалификации оператора.

  При моделировании  характеристики управляющих воздействий  определяются либо с учетом распределения  их вероятности, либо по зависимости

  

, (7)

  Для получения достоверных и точных результатов необходимо использовать стохастическую модель. Данные, полученные с помощью машинных экспериментов, обрабатываются методами математической статистики [10].

  Пусть есть величина X равномерно распределенная на интервале [0,1]. Для преобразования равномерно распределенных случайных чисел в числа, распределенные по нормальному закону, воспользуемся преобразованием

  

,  (8)

  где - МО величины, - СКО величины.

  2.4 Объект моделирования  – окружающая  среда

 

  Окружающая  среда воздействует на ЧО и ПТМ. Эти  воздействия учитываются множеством Y, в котором Y₁ – воздействия на ЧО, влияющие, в основном, на его способность воспринимать информацию и выдавать управляющие воздействия, Y₂ – воздействия на ПТМ, складывающиеся из воздействий, меняющих свойства материалов, из которых изготовлены элементы ПТМ, воздействий, меняющих характеристики элементов ПТМ и нагрузок. В зависимости от микроклимата района, сейсмической активности и т.д. выделяют несколько зон [32, 33]. Каждой зоне соответствуют свои параметры воздействий на ПТМ, которые случайны. Основной интерес представляют силовые воздействия окружающей среды на ПТМ.

1. Ветровые нагрузки являются распределенными по наветренной площади нагрузками, действующими горизонтально и включающими статическую и динамическую составляющие.

  Наветренной площадью называется проекция площади на плоскость, перпендикулярную направлению ветрового потока (Рис. 6). 

  Рис. 6 Наветренная площадь

  

  Ветровую  нагрузку можно рассматривать как  сосредоточенную силу, приложенную  в центре тяжести наветренной площади. Положение центра тяжести сечения (площади) определяется по известным зависимостям

  

, , (9)

  и при переходе к предельным значениям

  (

) , , (10)

  где S - площадь сечения, x и y – координаты по оси абсцисс и оси ординат, соответственно (Рис. 7).

  Исходя  из этих зависимостей, находим координаты центра тяжести сечения наветренной площади.

  Статическая составляющая ветровой нагрузки определяется по формуле

  

, (11)

  где - наветренная площадь, - коэффициент, учитывающий изменение динамического давления по высоте, - коэффициент аэродинамической силы, учитывающий аэродинамическую форму элемента, - динамическое давление (скоростной напор) ветра, принимаемое в зависимости от вида расчета (рабочее/нерабочее состояние) и района установки ПТМ.

  

  Рис. 7 Поперечное сечение элемента

  Учет  динамической составляющей ветровой нагрузки производится с помощью динамического коэффициента, в зависимости от расчетного случая он принимается равным k_д=1.4-1.6.

  2) Нагрузки от снега и обледенения  – это нагрузки, распределенные  по горизонтальной площади ПТМ и ее элементов, действующие вертикально вниз (вес снега и льда). Величины их определяются как произведение данной площади на давление снега и льда, равное 500-2500 Па в зависимости от района установки ПТМ. Точкой (точками) приложения нагрузки (нагрузок) является центр (центры) тяжести сечения горизонтальных проекций площадей ПТМ и ее элементов.

  3) В районах, подверженных землетрясениям, учитываются горизонтальные сейсмические силы, прикладывающиеся к центру тяжести ПТМ

  

, (12)

  где - сейсмический коэффициент, принимаемый в зависимости от сейсмической балльности района, - вес ПТМ, кН.

  4) Гравитационные воздействия –  это силы тяжести груза и  элементов ПТМ, направленные вертикально вниз и распределенные по объему элемента. Сила тяжести груза – случайная величина, вероятность появления которой распределена по некоторому закону, чаще всего близкому к нормальному. Силы тяжести элементов также являются случайными величинами и меняются в пределах 5% от своей величины. Они подчиняются нормальному закону распределения. При моделировании могут заменяться сосредоточенными нагрузками, приложенными в центрах масс элементов. Они определяются по зависимости , где m_i – масса i-го элемента ПТМ, g – ускорение свободного падения.

  Также при  моделировании могут учитываться  технологические нагрузки, связанные  с выполнением ПТМ технологических операций, и особые нагрузки, вызванные дефектами изготовления, ошибками управления, редкими природными явлениями или деятельностью людей, напрямую не связанной с данной машиной.

  2.5 Объект моделирования  – ПТМ

  ПТМ –  система, состоящая из множества  элементов. Это множество можно разбить на четыре группы. К ним относятся элементы металлоконструкции, приводы или механизмы, электрооборудование и прочее и вспомогательное оборудование (Рис. 8). В свою очередь, полученные группы содержат подгруппы, состоящие из подгрупп более низкого уровня, и т.д. Степень детализации зависит от целей разработчика.