Теория игр и её практическое применение

Муниципальное образовательное учреждение 
средняя общеобразовательная школа №___

городского округа  - город  Волжский  Волгоградской  области 
 
 

Городская  конференция  творческих  и  исследовательских  работ обучающихся

«С  математикой  по  жизни» 
 
 
 

Научное направление  –  математика 
 
 
 
 

«Теория игр и её практическое применение» 
 
 
 
 
 
 
 

                                        Автор: Гойдина Н.А.,

                                        обучающаяся 9б класса

                                        МОУ СОШ №2

                                        Научный руководитель:

                                        учитель математики Григорьева Н.Д.

                                                                                                                  
 
 
 
 
 
 
 
 

2010  год

 

Оглавление 
 

 

     Введение 

    Актуальность  выбранной темы предопределена широтой  сфер ее применения. Теория игр играет центральную роль в теории отраслевой организации, теории контрактов, теории корпоративных финансов и многих других областях. Область применения теории игр включает не только экономические дисциплины, но и биологию, политологию, военное дело и др.

    Целью данного проекта является разработка исследования существующих типов игр, а также возможность их практического применения в различных отраслях.

    Цель  проекта предопределила его задачи:

• ознакомиться с историей зарождения теории игр;
• определить понятие и сущность теории игр;
• дать характеристику основным типам игр;
• рассмотреть возможные сферы применения данной теории на практике.

    Объектом проекта выступила теория игр.

    Предмет исследования – сущность и применение теории игр на практике.

    Теоретической основой написания работы явилась  экономическая литература таких  авторов, как  Дж. фон Нейман, Оуэн Г., Васин А.А., Морозов В.В., Замков О.О., Толстопятенко А.В., Черемных Ю.Н. 
 

.

 

     1. Введение в теорию игр

    1.1 История

    Игра, как особая форма отображения  деятельности, возникла необычайно давно. Археологические раскопки обнаруживают предметы, служившие для игры. Наскальные рисунки показывают нам первые признаки межплеменных тактических игр. Со временем, игра совершенствовалась, и достигла привычной формы конфликта нескольких сторон. Родственные связи игры с практической деятельностью становились менее заметными, игра превращалась в особую деятельность общества.

    Если  история шахмат или карточных  игр насчитывает несколько тысячелетий, то первые наброски теории появились, лишь три столетия назад в работах  Бернулли. Сначала работы Пуанкаре и Бореля частично давали нам сведения о природе теории игр, и лишь фундаментальный труд Дж. фон Неймана и О. Моргенштерна представил нам всю целостность и многогранность данного раздела науки. 

    Принято считать монографию Дж. Неймана и  О. Моргенштерна “Теория игр и  экономическое поведение”, моментом рождения теории игр. После её публикации в 1944 г., многие ученые предсказали революцию в экономических науках благодаря использованию нового подхода. Эта теория описывала рациональное поведение принятия решений во взаимосвязанных ситуациях, помогая решать многие актуальные проблемы в разных научных областях. Монография подчеркивала, что стратегическое поведение, конкуренция, кооперация, риск и неопределенность, являются главными элементами в теории игр и непосредственно связаны с задачами управления.

    Начальные работы по теории игр отличались простотой предположений, что делало их менее пригодными для практического использования. За последние 10 – 15 лет положение резко изменилось. Прогресс в промышленности показал плодотворность методов игр в прикладной деятельности.

    В последнее время эти методы проникли и в практику управления. Следует отметить, что уже в конце 20 века М. Портер ввел в обиход некоторые понятия теории, такие, как “стратегический ход” и “игрок”, которые впоследствии стали одними из ключевых.

    В настоящее время значение теории игр значительно возросло во многих областях экономических и социальных наук. В экономике она применима не только для решения разных задач общехозяйственного значения, но и для анализа стратегических проблем предприятий, разработок структур управления и систем стимулирования.

    В 1958-1959 гг. к 1965-1966 гг. была создана советская школа в теории игр, для которой была характерно скопление усилий в области антагонистических игр и строго военных приложений. Изначально это стало причиной отставания от американской школы, так как в то время основные открытия в антагонистических играх уже были сделаны. В СССР математиков до середины 1970-х гг. не допускали в область управления и экономики. И даже тогда, когда советская экономическая система начала рушиться, экономика не стала главным направлением для теоретико-игровых исследований. Профильный институт, занимавшийся и сейчас занимающийся теорией игр - Институт системного анализа РАН.  

    1.2 Определение теории игр

    Теорией игр называют математический метод изучения оптимальных стратегий в играх. Под игрой понимается процесс, в котором участвуют две и более сторон, ведущих борьбу за осуществление своих интересов. Каждая из сторон имеет свою цель и использует некоторую стратегию, которая может вести к выигрышу или проигрышу — в зависимости от своего поведения и поведения других игроков. Теория игр помогает выбрать наиболее выгодные стратегии с учётом соображений о других участниках, их ресурсах и их предполагаемых действиях.

    Эта теория представляет собой раздел математики, изучающий конфликтные ситуации.

    Как поделить пирог, чтобы все члены  семьи признали это справедливым? Как разрешить спор о зарплате между спортивным клубом и профсоюзом игроков? Как предотвратить ценовые  войны при проведении  аукционов? Это всего лишь три примера задач, которыми занимается одно из главных направлений экономической науки — теория игр

    Данный  раздел науки анализирует конфликты, используя математические методы. Теория получила своё название, так как простейшим примером конфликта является игра (например, шахматы или крестики-нолики). Как в игре, так и в конфликте каждый игрок имеет свои цели и пытается их достигнуть, принимая разные стратегические решения. [1] 

    1.3 Виды конфликтных ситуаций

    Одна  из характерных черт всякого общественного, социально - экономического явления состоит в количестве и разнообразии интересов, а также наличии сторон, которые способны выразить эти интересы. Классическими примерами здесь являются ситуации, где, с одной стороны, имеется один покупатель, с другой - продавец, когда на рынок выходят несколько производителей, обладающих достаточной силой для воздействия на цену товара. Более сложные ситуации возникают, когда имеются объединения или группы лиц, участвующих в столкновении интересов, например, в том случае, когда ставки заработной платы определяются союзами или объединениями рабочих и предпринимателей, при анализе результатов голосования в парламенте и т.п.

    Конфликт  может возникнуть также из различия целей, которые отражают интересы различных сторон, но и многосторонние интересы одного и того же лица. Например, разработчик экономической политики обычно преследует разные цели, согласуя противоречивые требования, предъявляемые к ситуации (рост объемов производства, повышение доходов, снижение экологической нагрузки и т.п.). Конфликт может проявляться не только в результате сознательных действий различных участников, но и как результат действия тех или иных "стихийных сил" (случай так называемых "игр с природой")

    Игра  – математическая модель описания конфликта.

    Игры  представляют собой строго определённые математические объекты. Игра образуется игроками, набором стратегий для  каждого игрока и указания выигрышей, или платежей, игроков для каждой комбинации стратегий.

    И наконец, примерами игр являются обычные игры: салонные, спортивные, карточные и др. Математическая теория игр начиналась именно с анализа подобных игр; они и по сей день служат прекрасным материалом для изображения утверждений и выводов этой теории. Эти игры актуальны и на сегодняшний день.

    Итак, каждая математическая модель социально-экономического явления, должна иметь присущие ему черты конфликта, т.е. описывать:

    а) множество заинтересованных сторон. В случае, если число игроков ограниченно (конечно), они различаются по своим номерам или по присваиваемым им именам;

    б) возможные действия каждой из сторон, именуемые также стратегиями или ходами;

    в) интересы сторон, представленные функциями  выигрыша (платежа) для каждого из игроков.

    В теории игр предполагается, что функции  выигрыша и множество стратегий, доступных каждому из игроков, общеизвестны, т.е. каждый игрок знает свою функцию выигрыша и набор имеющихся в его распоряжении стратегий, а также функции выиграша и стратегии всех остальных игроков, и в соответствии с этой информацией формирует свое поведение. 

    2 Виды игр

    2.1 Дилемма заключенного 

    Одним из самых известных и классических примеров теории игр, который способствовал её популяризации, - дилемма заключенного. В теории игр дилемма заключённого (реже употребляется название «дилемма бандита») — некооперативная игра, в которой игроки стремятся получить выгоду, при этом они либо сотрудничают, либо предают друг  друга. Как во всей теории игр, предполагается, что игрок  максимизирует, т.е увеличивает свой собственный выигрыш, не заботясь о выгоде других.

      Рассмотрим такую ситуацию. Двое  подозреваемых находятся под  следствием. У следствия недостаточно  улик, поэтому разделив подозреваемых, каждому из них предложили сделку. Если один из них будет по-прежнему молчать, а другой свидетельствовать против него, то первый получит 10 лет, а второго отпустят за содействие следствию. Если они оба будут молчать, то получат по 6 месяцев. Наконец, если они оба заложат друг друга, то они получат по 2 года. Вопрос: какой выбор они сделают?

    Таблица 1 – Матрица выигрышей в игре «Дилемма заключенного»