Методика изучения прогрессии

    

    В случае арифметической прогрессии назовите ее разность и ее первый член.

    Задание 2.

    1. Приведите свой пример арифметической прогрессии.

    2. Мы рассматривали размеры одежды и пришли к понятию 
арифметической прогрессии. Где еще в практической жизни можно встретиться с арифметической  прогрессией? (Номера домов четной стороны улицы, размеры обуви).

    3. На размеры одежды можно посмотреть как на последовательность чисел, делящихся на 2. Будет ли последовательность чисел, которые при делении на число 2 дают остаток 1, являться арифметической прогрессией? Приведите свой пример.

    Итак, мы рассмотрели примеры арифметических прогрессии, заданных перечислением своих членов. Рассмотрим иное задание арифметической прогрессии.

    Задание 3. Запишите несколько первых членов арифметической прогрессии, заданных первым членом и разностью:

    

    Итак, каким способом может быть задана арифметическая прогрессия? Предложите свои примеры арифметических прогрессий, заданных этим способом.

    Что в связи с понятием арифметической профессии мы узнали?

    Определение, виды, два способа  задания.

    Замечание. Возможен другой вариант введения понятия арифметической прогрессии, когда арифметическая и геометрическая прогрессии изучаются совместно.

    Закрепление понятия арифметической прогрессии

    Закрепление понятия арифметической прогрессии осуществляется при выводе и использовании формулы п-го члена для решения как прямых, так и обратных задач, причем арифметическая прогрессия может быть задана разными способами (перечислением своих, членов, первым членом и разностью, любыми двумя членами), при выводе и использовании формулы суммы п первых членов, при решении задач, где предварительно требуется доказать, что заданная последовательность чисел является арифметической прогрессией, а затем уже найти недостающие члены прогрессии или сумму заданных чисел и т.д.

    2. Методика формирования математических умений

    Методика  формирования математических умений опирается на следующие психолого-педагогические требования; при формировании умения следует четко выделять этапы его выполнения (или его алгоритм);

1. выделенные этапы следует формулировать в общем виде, 
   что позволяет решать целый класс задач:
2. каждый этап должен быть отработан отдельно от других с помощью специально  подобранных упражнении:
3. при первоначальной отработке умения каждый этап следует 
   проговаривать вслух, поскольку многие ученики не могут пропустить этап «внешней речи» при переходе от общего к частному;
4. желательно, чтобы учащиеся самостоятельно составляли алгоритм выполнения данного умения, хотя результаты выполнения умения в этом случае будут теми же, что и в случае, когда алгоритм будет дан в готовом виде. Участие учеников в создании алгоритма способствует их развитию.

    Формирование  умений включает три этапа.

• Введение алгоритма. Введение может осуществляться двумя 
  методами: конкретно-индуктивным, когда алгоритм составляется на основе примера, и абстрактно-дедуктивным, когда алгоритм дается в готовом виде или на основе теоретического положения (формулы, определения, теоремы), На этом этапе демонстрируется образец выполнения задания и обосновывается алгоритм решения. Если какой-то шаг алгоритма может быть выполнен неоднозначно, то необходимо рассмотреть на том же задании все возможные способы решения.
• Усвоение алгоритма. Усвоение преследует следующие цели: усвоить  признаки,   позволяющие   определить,   что   можно пользоваться   изученным  алгоритмом,   усвоить  отдельные шаги  алгоритма,   выучить  алгоритм выполнения умения, изучить частные случаи применения алгоритма.

    • Закрепление умения. Этап закрепления включает различные случаи и ситуации применения алгоритма. В процессе закрепления важно подводить итоги по обогащению знаний по формируемому умению.

    2.1. Методика формирования умения определять, является ли данное число членом дайной арифметической прогрессии

    I. Введение схемы решения

    Решается  задание: Содержит ли арифметическая прогрессия 2; 9;,.. число 156? (№ 359 (а)).

    Сначала в процессе диалога выясняется идеи решения, которая позволяет составить план ответа на вопрос задачи.

    Как на языке последовательности сказать  иначе, что последовательность содержит (или не содержит) какое-то число?

    Это значит, что число  является (или не является) членом последовательности.

    Чем определяется место члена последовательности?

    Номером члена последовательности

    Каким числом является номер?

    Натуральным.

    Итак, если нам удастся определить номер числа 156 в арифметической прогрессии, то как мы ответим на вопрос задачи?

    Прогрессия  содержит число 156.

    Что известно об арифметической прогрессии и достаточно ли этих данных для  ответа на этот вопрос?

    В прогрессии известны первый и второй члены, значит, прогрессия задана полностью, поэтому данных достаточно,

    Что позволит найти номер члена прогрессии?

    Формула п-го члена (записывается на доске, и анализируются известные величины). В ней известны п-й член и первый, разностъ прогрессии можем найти по условию задачи. Значит, сможем найти число п.

    Составляется  план решения и вписывается решение.

1. Найдем для данной арифметической прогрессии разность d 
   по формуле х₂-x₁=d, то есть d=9-2=7.
2. Запишем формулу n-го члена арифметической прогрессии:

    

3. Подставим в эту формулу значения х₁ и d, а вместо х_n данное 
   число 156, получим уравнение: 156=2+7(n-1)
4. Решим полученное уравнение относительно ней местного п.

    156=2+7n-7

    7n=151

    n-23.

    5. Так как n, равное 23, является натуральным числом, то делаем вывод, что данная арифметическая прогрессия содержит число 156, оно будет 23-м членом этой прогрессии.

    Ответ: число 156 является членом данной арифметической прогрессии,

    • Составляется схема выполнения заданий рассмотренного вида:

1. Найти или указать первый член и разность арифметической прогрессии (х₁ и d).
2. Записать формулу n-го члена прогрессии .
3. Подставить б эту формулу найденные значения х₁ и d, а вместо Х_n - заданное число,

    4.   Решить полученное уравнение относительно n.

    5.   Сделать вывод: если  , то данное число является членом прогрессии; если то данное число не является членом данной арифметической прогрессии.

    6.   Записать ответ.

    II. Выполнение упражнений на отработку шагов алгоритма

    • Упражнения на повторение умения находить первый член и разность для арифметической прогрессии (1-й шаг алгоритма),

1. Найдите разность арифметической прогрессии 
   

    2. Найти первый член арифметической прогрессии, если:

    

    3. Найти первый член арифметической прогрессии, если известно:

    

• Упражнения  на формирование умения составлять уравнения и находить номер заданного члена последовательности (3-4-й шаги алгоритма).

    1) Найдите номер члена арифметической прогрессии:

    а) равного -2,94, если а(=1>26 и d=4),3;

    б) равного 50, если заданы два первых члена прогрессии

• Упражнения на формирование умения делать вывод о принадлежности заданного числа данной прогрессии (5-й шаг алгоритма).

    1) Может ли член арифметической  прогрессии иметь номер, равный:

    

    III. Закрепление умения

    Выполняются упражнения на закрепление умения определять, является ли данное число членом данной арифметической прогрессии или нет.

    1. Содержит ли арифметическая прогрессия 2, 9;... число:

    а) 269; в)-7.3:

    6)16,1; г) 0?

    2. Дана арифметическая прогрессия (а_n) у которой a1=23, d=-1,5. 
Является ли членом этой прогрессии число:

    а)0;    б)-28;     в) 47.

    3. Является ли членом арифметической прогрессии число 34, 
если:

    

    4. Является ли число 45 членом арифметической прогрессии (а_n), если а4=25, а7=40?

    Замечание В примерах на закрепление меняются способы задания арифметической прогрессии и ее виды,

3. Пример урока-турнира  для изучения темы «Прогрессии»

    Цели  урока

1. Обобщение и систематизация теоретического  материала по данной теме
2. Обработка умений и навыков применения формул n-ого члена прогрессии. Суммы n первых членов, свойств членов прогрессии с историческим материалом;
3. Развитие навыков работы с дополнительной литературой учащихся;
4. Развитие познавательной активности
5. Воспитание эстетических качеств и умений общаться:
6. Формирование интереса к изучению математики.

    МАТЕРИАЛЫ К УРОКУ: Плакаты, кодопленки, ТСО-графопроектор.

    Тип урока: обобщающий.

    ХОД УРОКА

    На  доске записана тема, команды заняли свои места, учитель настраивает  учащихся на урок, подготовлена таблица  для результатов.

    Учитель формирует цели, поясняет, зачем  обобщается и систематизируется  материал темы (подготовка к контрольной работе), поясняет, что нового будет на уроке.

    Турнир  начинается

    1тур(8мин)  Представление, приветствие команд  домашнее задание.

    Команды готовили выступление из истории  прогрессий. Сообщение первой команды.

    Арифметрическая прогрессия в древности

    В клинописных табличках вавилонян, в египетских пирамидах(II в. до н. э) встречаются примеры арифметических прогрессий. Вот пример задачи из египетского папируса Ахмеса: «Пусть тебе сказано: раздели 10 мер ячменя между 10 человеками и, разность же между каждым человеком и его соседом равна меры.»

    Вот формула, которой пользовались египтяне:

    Задачи  на прогрессии, дошедшие до нас из древности, были связаны  с запросами хозяйственной жизни: распределение продуктов, деление наследства и др.

    Некоторые формулы, относящиеся к прогрессиям, были известны китайским и индийским  ученым. Ариабхатта(v в.) применял формулы  общего числа, суммы арифметической прогрессии. Но правило для нахождения суммы членов произвольной арифметической прогрессии впервые встречается в сочинении «Книги абака» в 1202г.(Леонардо Пизанский)