Концентрированное обучение

Графики мгновенных значений трехфазной симметричной системы ЭДС показаны на рис. 1.3.

Если ЭДС одной фазы (например, фазы А) принять за исходную и считать  её начальную фазу равной нулю, то выражения  мгновенных значений ЭДС можно записать в виде

(3.1)

e_A = E_m sin ωt, 
e_B = E_m sin (ωt - 120°), 
e_C = E_m sin (ωt - 240°) = E_m sin (ωt + 120°).

Из графика мгновенных значений (рис 1.3) следует

(3.2)

e_A + e_B + e_C = 0

Комплексные действующие  ЭДС будут иметь выражения:

(3.3)

Ė_A = E_m e^j0° = E_m (1 + j0), 
Ė_B = E_m e^-j120° = E_m (-1/2 - j

/2), 
Ė_C = E_m e^+j120° = E_m (-1/2 + j /2).

Векторная диаграмма  трехфазной симметричной системы ЭДС  показана на рис 3.4а.

Рис. 1.4

На диаграмме рис. 1.4а вектор Ė_A направлен вертикально, так как при расчете трехфазных цепей принято направлять вертикально вверх ось действительных величин. Из векторных диаграмм рис 1.4 следует, что для симметричной трехфазной системы геометрическая сумма векторов ЭДС всех фаз равна нулю:

(3.4)

Ė_A + Ė_B + Ė_C = 0.

Систему ЭДС, в которой  ЭДС фазы В отстает по фазе от ЭДС фазы А, а ЭДС фазы С по фазе – от ЭДС фазы В, называют системой прямой последовательности. Если изменить направление вращения ротора генератора, то последовательность фаз изменится (рис. 1.4б) и будет называться обратной.

Последовательность фаз  определяет направление вращения трехфазных двигателей. Для определения последовательности фаз имеются специальные приборы – фазоуказатели.

В период зарождения трехфазных систем имелись попытки использовать несвязанную систему, в которой  фазы обмотки генератора не были электрически соединены между собой и каждая фаза соединялась со своим приемником двумя проводами (рис. 1.5). Такие системы не получили применения вследствие их неэкономичности: для соединения генератора с приемником требовалось шесть проводов (рис. 1.5)

Рис. 1.5

Более совершенными и экономичными являются связанные цепи, в которых фазы обмотки электрически соединены между собой. Существуют различные способы соединения фаз трехфазных источников питания и трехфазных потребителей электроэнергии. Наиболее распространенными являются соединения "звезда" и "треугольник". При этом способ соединения фаз источников и фаз потребителей в трехфазных системах могут быть различными. Фазы источника обычно соединены "звездой", фазы потребителей соединяются либо "звездой", либо "треугольником".

Соединение фаз генератора и приемника звездой

При соединение фаз обмотки  генератора (или трансформатора) звездой  их концы X, Y и Z соединяют в одну общую  точку N, называемую нейтральной точкой (или нейтралью) (рис. 1.6). Концы фаз приемников (Z_a, Z_b, Z_c) также соединяют в одну точку n. Такое соединение называется соединение звезда.

Рис. 1.6

Провода A-a, B-b и C-c, соединяющие  начала фаз генератора и приемника, называются линейными, провод N-n, соединяющий  точку N генератора с точкой n приемника, – нейтральным.

Трехфазная цепь с  нейтральным проводом будет четырехпроводной, без нейтрального провода – трехпроводной.

В трехфазных цепях различают  фазные и линейные напряжения. Фазное напряжение U_Ф – напряжение между началом и концом фазы или между линейным проводом и нейтралью (U_A, U_B, U_C у источника; U_a, U_b, U_c у приемника).Если сопротивлением проводов можно пренебречь, то фазное напряжение в приемнике считают таким же, как и в источнике. (U_A = U_a, U_B = U_b, U_C = U_c). За условно положительные направления фазных напряжений принимают направления от начала к концу фаз.

Линейное напряжение (U_Л) – напряжение между линейными проводами или между одноименными выводами разных фаз (U_AB, U_BC, U_CA). Условно положительные направления линейных напряжений приняты от точек, соответствующих первому индексу, к точкам соответствующим второму индексу (рис. 1.6).

По аналогии с фазными  и линейными напряжениями различают  также фазные и линейные токи:

• Фазные (I_Ф) – это токи в фазах генератора и приемников.
• Линейные (I_Л) – токи в линейных проводах.

При соединении в звезду фазные и линейные токи равны

(1.5)

I_Ф = I_Л.

Ток, протекающий в  нейтральном проводе, обозначают I_N.

По первому закону Кирхгофа для нейтральной точки n(N) имеем в комплексной форме

(1.6)

İ_N = İ_A + İ_B + İ_C.

Рис. 1.7

В соответствии с выбранными условными положительными направлениями фазных и линейных напряжений можно записать уравнения по второму закону Кирхгофа.

(1.7)

Ú_AB = Ú_A - Ú_B; Ú_BC = Ú_B - Ú_C; Ú_CA = Ú_C - Ú_A.

Согласно этим выражениям на рис. 1.7а построена векторная диаграмма, из которой видно, что при симметричной системе фазных напряжений система линейных напряжений тоже симметрична: U_AB,U_BC,U_CA равны по величине и сдвинуты по фазе относительно друг друга на 120° (общее обозначение U_Л), и опережают, соответственно, векторы фазных напряжений U_A, U_B, U_C, (U_Ф) на угол 30°.

Действующие значения линейных напряжений можно определить графи-чески по векторной диаграмме или по формуле (1.8), которая следует из треугольника, образованного векторами двух фазных и одного линейного напряжений:

U_Л = 2 U_Ф cos 30°

или

U_Л = 

U_Ф. (1.8)

Предусмотренные ГОСТом линейные и фазные напряжения для  цепей низкого напряжения связаны  между собой соотношениями:

U_Л = 660 В; U_Ф = 380 В; 
U_Л = 380 В; U_Ф = 220 В; 
U_Л = 220 В; U_Ф = 127 В.

Векторную диаграмму  удобно выполнить топографической (рис. 1.7б), тогда каждой точке цепи соответствует определенная точка на диаграмме. Вектор, проведенный между двумя точками топографической диаграммы, выражает по величине и фазе напряжения между одноименными точками цепи.

Четырехпроводная цепь

Для расчета трехфазной цепи применимы все методы, используемые для расчета линейных цепей. Обычно сопротивления проводов и внутреннее сопротивление генератора меньше сопротивлений  приемников, поэтому для упрощения  расчетов таких цепей (если не требуется большая точность) сопротивления проводов можно не учитывать (Z_Л = 0, Z_N = 0). Тогда фазные напряжения приемника U_a, U_b и U_c будут равны соответственно фазным напряжениям источника электрической энергии(генератора или вторичной обмотки трансформатора), т.е. U_a = U_A; U_b = U_B; U_c = U_C. Если полные комплексные сопротивления фаз приемника равны Z_a = Z_b = Z_c, то токи в каждой фазе можно определить по формулам

(1.10)

İ_a = Ú_a / Z_a; İ_b = Ú_b / Z_b; İ_c = Ú_c / Z_c.

В соответствии с первым законом Кирхгофа ток в нейтральном проводе

(1.11)

İ_N = İ_a + İ_b + İ_c = İ_A + İ_B + İ_C.

Симметричная  нагрузка приемника

При симметричной системе  напряжений и симметричной нагрузке, когда Z_a = Z_b = Z_c, т.е. когда R_a = R_b = R_c = R_ф и X_a = X_b = X_c = X_ф, фазные токи равны по значению и углы сдвига фаз одинаковы

(1.12)

I_a = I_b = I_c = I_ф = U_ф / Z_ф,

(1.13)

φ_a = φ_b = φ_c = φ = arctg (X_ф/R_ф).

Построив векторную  диаграмму токов для симметричного  приемника (рис. 1.8), легко установить, что геометрическая сумма трех векторов тока равна нулю: İ_a + İ_b + İ_c = 0. Следовательно, в случае симметричной нагрузки ток в нейтральном проводе I_N = 0, поэтому необходимость в нейтральном проводе отпадает.

Рис. 1.8

Несимметричная  нагрузка приемника

При симметричной системе  напряжений и несимметричной нагрузке, когда Z_a ≠ Z_b ≠ Z_c и φ_a ≠ φ_b ≠ φ_c токи в фазах потребителя различны и определяются по закону Ома

İ_a = Ú_a / Z_a; İ_b = Ú_b / Z_b; İ_c = Ú_c / Z_c.

Ток в нейтральном  проводе İ_N равен геометрической сумме фазных токов

İ_N = İ_a + İ_b + İ_c.

Напряжения будут U_a = U_A; U_b = U_B; U_c = U_C, U_Ф = U_Л /  , благодаря нейтральному проводу при Z_N = 0.

Следовательно, нейтральный  провод обеспечивает симметрию фазных напряжений приемника при несимметричной нагрузке.

Поэтому в четырехпроводную сеть включают однофазные несимметричные нагрузки, например, электрические лампы накаливания. Режим работы каждой фазы нагрузки, находящейся под неизменным фазным напряжением генератора, не будет зависеть от режима работы других фаз.

Векторная диаграмма  при несимметричной нагрузке приведена на рис. 1.9

Рис. 1.9

 

Трехпроводная электрическая  цепь

Схема соединения источника  и приемника звездой без нейтрального провода приведена на рис. 1.10.

Рис. 1.10

При симметричной нагрузке, когда Z_a = Z_b = Z_c = Z_φ, напряжение между нейтральной точкой источника N и нейтральной точкой приемника n равно нулю, U_nN = 0.

Соотношение между фазными  и линейными напряжениями приемника  также равно  , т.е. U_Ф = U_Л /  , а токи в фазах определяются по тем же формулам (3.12, 3.13), что и для четырехпроводной цепи. В случае симметричного приемника достаточно определить ток только в одной из фаз. Сдвиг фаз между током и соответствующим напряжением φ = arctg (X / R).

При несимметричной нагрузке Z_a ≠ Z_b ≠ Z_c между нейтральными точками приемника и источника электроэнергии возникает напряжение смещения нейтрали U_nN.

Для определения напряжения смещения нейтрали можно воспользоваться  формулой межузлового напряжения, так  как схема рис 1.10 представляет собой схему с двумя узлами,

(1.14)

,

где: Y_a = 1 / Z_a; Y_b = 1 / Z_b; Y_c = 1 / Z_c – комплексы проводимостей фаз нагрузки.

Очевидно, что теперь напряжения на фазах приемника будут  отличаться друг от друга. Из второго  закона Кирхгофа следует, что

(1.15)

Ú_a = Ú_A - Ú_nN; Ú_b = Ú_B - Ú_nN; Ú_c = Ú_C - Ú_nN.

Зная фазные напряжения приемника, можно определить фазные токи:

(1.16)

İ_a = Ú_a / Z_a = Y_a Ú_a; İ_b = Ú_b / Z_b = Y_b Ú_b; İ_c = Ú_c / Z_c = Y_c Ú_c.

Векторы фазных напряжений можно определить графически, построив векторную (топографическую) диаграмму фазных напряжений источника питания и U_nN (рис. 1.11).

При изменении величины (или характера) фазных сопротивлений  напряжение смещений нейтрали U_nN может изменяться в широких пределах. При этом нейтральная точка приемника n на диаграмме может занимать разные положения, а фазные напряжения приемника Ú_a, Ú_b и Ú_c могут отличаться друг от друга весьма существенно.

Рис. 1.11

Направление смещения нейтрали зависит от последовательности фаз  системы и характера нагрузки.

Поэтому нейтральный провод необходим для того, чтобы:

• выравнивать фазные напряжения приемника при несимметричной нагрузке;
• подключать к трехфазной цепи однофазные приемники с номинальным напряжением в   раз меньше номинального линейного напряжения сети.

Следует иметь в виду, что в цепь нейтрального провода нельзя ставить предохранитель, так как перегорание предохранителя приведет к разрыву нейтрального провода и появлению значительных перенапряжений на фазах нагрузки.

Соединение  фаз генератора и приемника треугольником

При соединении источника питания треугольником (рис. 1.12) конец X одной фазы соединяется с началом В второй фазы, конец Y второй фазы – с началом С третьей фазы, конец третьей фазы Z – c началом первой фазы А. Начала А, В и С фаз подключаются с помощью трех проводов к приемникам.

Рис. 1.12

Соединение фаз источника  в замкнутый треугольник возможно при симметричной системе ЭДС, так  как

(1.17)

Ė_A + Ė_B + Ė_C = 0.

Если соединение обмоток  треугольником выполнено неправильно, т.е. в одну точку соединены концы  или начала двух фаз, то суммарная ЭДС в контуре треугольника отличается от нуля и по обмоткам протекает большой ток. Это аварийный режим для источников питания, и поэтому недопустим.

Напряжение между концом и началом фазы при соединении треугольником – это напряжение между линейными проводами. Поэтому при соединении треугольником линейное напряжение равно фазному напряжению.