Основы проектирования и конструирования машин

<be>=58*2/1.7=68 (мм)

Строим скорость точки Е. Откладывая отрезок <be>=68 мм из точки b по направлению к точке  с, получим точку е:

a_e=<Пe>*m_a=135*0.576=77.8 (м/c²)

     Рассматривая  движение точки F, сначала по  отношению к точке E, а затем  по отношению к оси x-x, запишем  векторную систему в виде двух  уравнений:

ì a_f=a_e+a_fe^t+a_feⁿ,

î a_f=a_x+a_xx^t+a_xxⁿ;

где a_x=0, т.к. ось x-x неподвижна; a_xx^t=0, т.к. ползун F движется только по направляющей х-х; а_xxⁿ - направлена параллельно оси x-x; a_fe^t - тангенсальное ускорение точки F вокруг E (направлено перпендикулярно звену EF); a_feⁿ - нормальное ускорение точки Е вокруг точки F ( направлено параллельно звену EF) и численно равно:

a_feⁿ=V_fe²/l_ef=0.2²/1.9=0 (м/c²)

     Определяем длину отрезка <a_feⁿ>:

<a_feⁿ>=a_feⁿ/m_a=0/0.576=0.0000 (мм)

     Находим  ускорение точки F. Для этого  из точки e плана ускорений  откладываем параллельно звену  EF отрезок <a_feⁿ (нормальное направление ускорения) по направлению движения от точки F к точке E, и перпендикулярно EF проводим через конец этого отрезка прямую (тангенсальное направление ускорения). Из полюса П направляем параллельно оси х-х прямую (нормальное направление ускорения a_xxⁿ) до пересечения с первой прямой. Точкой пересечения этих прямых будет точка f вектора pf. Найдем его численное значение:

a_f=<Пf>*m_a=89*0.576=51.3 (м/c²)

Из построенного плана находим тангенсальное  ускорение:

a_fe^t=<fe^t>*m_a=98*0.576=56.4 (м/c²)

     Находим ускорения точек s₁,s₂,s₃,s₄,s₅ - центров масс звеньев (аналогично скоростям) по подобию:

a_s1=<Пs₁>*m_a=100*0.576=57.6 (м/c²)

a_s2=<Пs₂>*m_a=167*0.576=96.2 (м/c²)

a_s3=<Пs₃>*m_a=72*0.576=41.5 (м/c²)

a_s4=<Пs₄>*m_a=103*0.576=59.3 (м/c²)

a_s5=<Пs₅>*m_a=a_f=51.3 (м/c²)

     Находим  угловые ускорения e₂, e₃, e₄ для звеньев 2,3,4 соответственно:

e₁=0  -  т.к. движется равномерно

e₂=a_cb^t/l_bc=13.8/1.7=8.1 (рад/c²)

e₃=a_cd^t/l_cd=82.9/1.5=55.3 (рад/c²)

e₄=a_fe^t/l_ef=56.4/1.9=29.7 (рад/c²) 

Определение уравновешивающей силы Р_у методом планов сил 

     Массу  звеньев определяем по формуле:  m_i=q*l_i,

где q=10 кг/м - масса  приходящаяся на 1 м длины звена; l_i - полная длина звена в метрах.

m₁=q*l_ab=10*0.45=4.5 (кг)

m₂=q*l_be=10*2=20 (кг)

m₃=q*l_cd=10*1.5=15 (кг)

m₄=q*l_ef=10*1.9=19 (кг)

Массу ползуна  определяем по массе кривошипа AB : m₅=4*m₁=4*4.5=18 (кг)

     Силу  тяжести звеньев определяем по  формуле:  G_i=m_i*g,

где g=9.8 м/с² - ускорение свободного падения.

G₁=m₁*g=4.5*9.8=44.1 (Н)

G₂=m₂*g=20*9.8=196 (Н)

G₃=m₃*g=15*9.8=147 (Н)

G₄=m₄*g=19*9.8=186.2 (Н)

G₅=m₅*g=18*9.8=176.4 (Н)

     Момент  инерции массы звеньев относительно  оси проходящей через их центр  тяжести определяем по формуле:  Js_i=1/12*m_i*l_i².

Js₂=1/12*m₂*l_be²=1/12*20*2²=6.67 (кг*м²)

Js₃=1/12*m₃*l_cd²=1/12*15*1.5²=2.81 (кг*м²)

Js₄=1/12*m₄*l_ef²=1/12*19*1.9²=5.72 (кг*м²)

     Силу  инерции звеньев определяем по  формуле:  Pи_i=m_i*a_si.

Pи₁=m₁*a_s1=4.5*57.6=259.2 (Н)

Pи₂=m₂*a_s2=20*96.2=1924 (Н)

Pи₃=m₃*a_s3=15*41.5=622 (Н)

Pи₄=m₄*a_s4=19*59.3=1127 (Н)

Pи₅=m₅*a_s5=18*51.3=923 (Н)

Направление силы инерции противоположно ускорению  соответствующего звена.

     Момент  инерции звеньев определяем по  формуле:  Mи_i=Js_i*E_i.

Mи₂=Js₂*e₂=6.67*8.1=54 (Н*м)

Mи₃=Js₃*e₃=2.81*55.3=155.4 (Н*м)

Mи₄=Js₄*e₄=5.72*29.7=169.9 (Н*м)

Направления моментов инерции противоположны соответствующим  угловым ускорениям звена.

     При  векторном способе силового расчета  механизма воспользуемся алгебраическими  уравнениями моментов сил и  векторными уравнениями для сил,  приложенных к звеньям механизма. Механизм при силовом расчете расчленяют на статически определимые группы звеньев.

     Искомые  реакции во внешних кинематических  парах структурной группы представляют  в виде двух составляющих, связанных  с продольной осью, например R₂₄=R₂₄ⁿ+R₂₄^t. При этом способе тангенсальные составляющие реакций определяют из алгебраических уравнений моментов сил относительно оси внутренней вращательной кинематической пары, а нормальные составляющие с помощью графических построений.

     Силовой  расчет механизма будем проводить  в порядке, обратном кинематическому  исследованию, т.е. сначала рассчитывается  группа Ассура 4-5, затем 2-3 и в  последнюю очередь начальное  (ведущее) звено 0-1. Рассмотрим  группу Ассура 4-5.

Составим для  группы Ассура 4-5 уравнение равновесия:

Pи₄+Pи₅+G₄+G₅+R₀₅+R₂₄ⁿ+R₂₄^t+P_c=0

Тангенсальную составляющую R₂₄^t в шарнире Е определим из уравнения равновесия в виде моментов относительно точки F:

åM_f=-Pи₄*h_Pи4-G₄*h_G4+R₂₄^t*l_ef-Mи₄=0;

R₂₄^t=(Pи₄*h_Pи4+G₄*h_G4+Mи₄)/l_ef,

где h_Pи4=0.48 м, плечо от силы инерции 4-го звена Pи₄ в масштабе плана механизма (m_l=0.01 м/мм); h_G4=0.95 м - плечо силы тяжести G₄.

R₂₄^t=(1127*0.48+186.2*0.95+169.9)/1.9=467 (Н)

     Сила  сопротивления P_c движения ползуна по направляющей х-х приложена к ползуну и проходит через центр его тяжести (точка F). Величина силы сопротивления P_c=2000 Н. Направление силы P_c противоположно движению ползуна F(т.е. вектору скорости pf). Направление вектора силы реакции R₀₅ перпендикулярно направлению движения ползуна F.

Решение векторного уравнения группы Ассура 4-5 приведено  на чертеже. План сил построен в масштабе m_f=15 Н/мм. Найденные искомые величины недостающих сил получились равны:

R₂₄ⁿ=<R₂₄ⁿ>*m_f=7*15=105 (Н)

R₂₄=<R₂₄>*m_f=32*15=480 (Н)

R₀₅=<R₀₅>*m_f=29*15=435 (Н)

     Анализ  равновесия группы Ассура 2-3 проводится  аналогично. Согласно третьему закону  Ньютона R₂₄=-R₄₂. Для данной структурной группы составляются два уравнения равновесия в виде уравнений моментов относительно точки C отдельно для 2-го и 3-го звена.

Причем реакции  связи звеньев группы между собой  в точки C при их условном разделении в указанные уравнения не войдут, т.к. их плечи равны нулю.

åMc₃=Pи₃*h_Pи3+G₃*h_G3+R₀₃^t*l_cd-Mи₃=0;

R₀₃^t=(-Pи₃*h_Pи3-G₃*h_G3+Mи₃)/l_cd,

где h_Pи3=0.75 м - плечо силы инерции; h_G3=0.54 м - плечо силы тяжести.

R₀₃^t=(-622*0.75-147*0.54+155.4)/1.5=1 (Н)

åMc₂=Pи₂*h_Pи2-G₂*h_G2+R₁₂^t*l_cd+R₄₂*h_R42+Mи₂=0;

R₁₂^t=(-Pи₂*h_Pи2+G₂*h_G2-R₄₂*h_R42-Mи₂)/l_bc,

где h_Pи2=0.11 м - плечо силы инерции; h_G2=0.44 м - плечо силы тяжести; h_R42=0.23 м - плечо реакции шарнира E.

R₁₂^t=(-1924*0.11+196*0.44-480*0.23-54)/1.7=1 (Н)

Полное векторное  уравнение равновесия сил, приложенных  к структурной группе Ассура 2-3, имеет  вид:

Pи₂+Pи₃+G₂+G₃+R₄₂+R₁₂ⁿ+R₁₂^t+R₀₃ⁿ+R₀₃^t=0.

Решение этого  уравнения представлено на плане  сил. План сил построен в масштабе m_f=15 Н/мм. Получены следующие значения сил:

R₀₃ⁿ=<R₀₃ⁿ>*m_f=15*15=225 (Н)

R₀₃=<R₀₃>*m_f=15*15=225 (Н)

R₁₂ⁿ=<R₁₂ⁿ>*m_f=206*15=3090 (Н)

R₁₂=<R₁₂>*m_f=206*15=3090 (Н)

     При  рассмотрении равновесия ведущего  звена, к нему кроме известных  сил, в точке B необходимо приложить  перпендикулярно звену AB силу P_у, уравновешивающую действие всех внешних сил. Составим уравнение равновесия:

Pи₁+G₁+P_у+R₂₁+R₀₁=0.

Уравновешивающую  силу P_у определим из уравнения равновесия в виде моментов относительно точки A:

åM_a=-G₁*h_G1+P_у*l_ab-R₂₁*h_R21=0;

P_у=(G₁*h_G1+R₂₁*h_R21)/l_ab,

где h_G1=0.17 м - плечо силы тяжести; h_R21=0.09 м - плечо реакции в шарнире B.

P_у=(44.1*0.17+3090*0.09)/0.45=635 (Н)

План сил построен в масштабе m_f=20 Н/мм. После графического решения векторного уравнения равновесия находим реакцию R₀₁ в шарнире A:

R₀₁=<R₀₁>*m_f=166*20=3320 (Н) 

Определение уравновешивающей силы Р_у  c помощью рычага Жуковского 

     Соотношение  между силами, приложенными к  механизму, можно получить с  помощью вспомогательного рычага  Жуковского. Теорема Н.Е. Жуковского  сформулирована так: если какой-либо  механизм под действием системы  сил, приложенных к этому механизму,  находится в равновесии, то повернутый  на 90 градусов в какую-либо сторону  план скоростей механизма, рассматриваемый  как твердое тело, вращающегося  вокруг полюса плана и нагруженное  теми же силами, приложенными  в соответствующих изображающих  точках плана, также находится  в равновесии. Применим метод  Жуковского к нахождению уравновешивающей  силы P_у .

     Моменты  инерции звеньев разложим на  пары сил, приложенных к звеньям:

P_Mи2=Ми₂/l_be=54/2=27 (Н)

P_Mи3=Ми₃/l_cd=155.4/1.5=103.6 (Н)