Модели и методы принятия решений

 

      Вывод: 1 и 6 альтернативы являются доминируемыми, поэтому их использовать не выгодно. 

2. Пессимистический  критерий.

      Выберем максимальное значение из минимальных значений каждой альтернативы:

       = max = 6.

      Вывод: согласно пессимистическому критерию лучшей является 2 альтернатива. 

3. Оптимистический  критерий.

      Выберем максимальное значение из максимальных значений каждой альтернативы:

       = max = 65.

      Вывод:  согласно оптимистическому критерию лучшей является 3 альтернатива. 

4. Нейтральный критерий Гурвица задается следующей формулой:

       =

       - коэффициент пессимизма.

      Пусть =0,3, тогда:

       2 = 0,3*(6) + (1-0,3) * 35 = 26,3

       3 = 0,3*(2) + (1-0,3) * 65 = 46,1

       4 = 0,3*(4) + (1-0,3) * 45 = 32,7

       5 = 0,3*(0) + (1-0,3) * 60 = 42

       = max = 46,1.

      Вывод: по критерию Гурвица лучшей является 3 альтернатива. 

      5. критерий минимизации максимального риска:

       =

       2 = 35*0,3+18*0,25+12*0,2+11*0,15+6*0,1  = 19,65

       3 = 65*0,3+23*0,25+13*0,2+8*0,15+2*0,1  = 29,25

       4 = 45*0,3+18*0,25+10*0,2+6*0,15+4*0,1  = 21,3

       5 = 60*0,3+28*0,25+12*0,2+9*0,15+0*0,1  = 28,75

       = max = 29,25.

      Вывод: по критерию минимизации максимального риска оптимальной является 3 альтернатива. 

Общий вывод по задаче: на основе всех рассмотренных методов оптимальной можно признать 3-ю альтернативу, так как она наиболее часто признается лучшей по нескольким критериям. 
 
 
 

Задания по теме «Моделирование и анализ систем массового  обслуживания»  

      Задание 1. Построить граф состояний и найти с помощью уравнений Колмогорова предельные вероятности состояний системы. Интенсивности потоков событий, переводящих систему из одного состояния в другое из имеющихся четырех состояний заданы матрицами , представленными по вариантам в таблице  в соответствии с 9 вариантом:

 

Решение задачи

      По  условию имеются 4 состояния системы. Обозначим их S , S , S , S . В соответствии с первой строкой матрицы из первого состояния S возможен переход в состояние S , с интенсивностью 2.

      Из  второго состояния S возможен переход в состояние S с интенсивностью 1 и в состояние S с интенсивностью 6.

      Из  третьего состояния S возможен переход в состояние S с интенсивностью 3.

      Из  четвертого состояния S возможен переход в состояние S с интенсивностью 4 и в состояние S , с интенсивностью 5.

      На  основе этих данных построим граф состояний:

      

На основе графа  состояний составим уравнения Колмогорова

      Уравнения Колмогорова построим по следующему правилу.

      В левой части каждого уравнения  поставим производную вероятности  состояния, а правая часть будет  содержать столько членов, сколько  стрелок связано с данным состоянием.

      Если  стрелка направлена из состояния, соответствующий член имеет знак «-», если в состояние — знак «+». Каждый член равен произведению плотности вероятности перехода, соответствующей данной стрелке, умноженной на вероятность того состояния, из которого исходит стрелка.

= - p + p

= - p - p + p + p

= -  p + p

=  - p - p + p + p

      Так как финальные вероятности не зависят от времени, в системе  дифференциальных уравнений Колмогорова  все левые части принимаем  равными нулю.

       Преобразуем выражение, заменив левые  части на 0 и подставим данные из матрицы :

0 = -2p + 4p

0 = -1p - 6p +5p + 2p

0 = -  3p + 1p

0 =  - 5p - 4p + 6p + 3p

      Так как сумма вероятностей состояний  системы равна 1, заменим одно из уравнений в системе (второе) на выражение:

      p + p + p + p = 1.

      Решим систему уравнений, получим результаты:

      p =0,42

      p =0,27

      p =0,09

      p =0,21 
 
 
 
 
 

Задание 2. Найти вероятность отказа в обслуживании и среднее число занятых мастеров станции технического обслуживания, если на ней работает n мастеров, в среднем в сутки поступает m заявок, а время обслуживания одной заявки одним мастером составляет t минут.   

Решение задачи

В  соответствии с вариантом 9 на станции работает 4 мастера (n), в сутки поступает 288 (m) заявок, время обслуживания одной заявки одним мастером составляет 15 (t) минут.  

Таким образом, интенсивность поступления  заявок (в час) составит:

= = =12

Интенсивность обслуживания заявок составит (в час):

= = 4

Введем  дополнительный показатель :

       = = = 3.

Вероятность отказа в обслуживании составит:

P = = = = = 0,206.

Среднее число  занятых мастеров составит:

M = (1- P ) = 3* (1-0,206) = 2,38. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 Задания по теме «Принятие решений в условиях определенности»  

    Фирма имеет три магазина розничной торговли, расположенные в разных районах города (A, B, C). Поставки продукции в эти магазины осуществляются с четырех складов (1, 2, 3, 4).

    Найти оптимальное распределение поставок, при котором суммарные затраты  на перевозку были бы минимальными.   

 

    Требуется составить такой план перевозки, чтобы обеспечить минимум общей  суммы транспортных расходов. 

Решение: 

    Обозначим x - количество продукта, доставляемого от i-го поставщика к j-му потребителю. Тогда модель имеет следующий вид: 

    L = 3x₁₁ + х₁₂ + 4х₁₃ + 6х₂₁ +3х₂₂ + 2х₂₃ + 6х₃₁ + 6х₃₂ + 3х₃₃ + 2х₄₁ + 3х₄₂ + 5х₄₃ → min 

                                                                   x₁₁ + х₁₂ + х₁₃ = 30

                                                                  х₂₁ +х₂₂ + х₂₃ = 25

                                                              х₃₁ + х₃₂ + х₃₃ = 15

                                                              х₄₁ + х₄₂ + х₄₃ = 30

                                                                 x₁₁ + х₂₁ + х₃₁ +х₄₁ = 40

                                                                 х ₁₂ + х₂₂ +х₃₂ + х₄₂ = 20

                                                              х₁₃ + х₂₃ + х₃₃ + х₄₃ = 40 

   Определим начальный план перевозок с помощью  метода северо-западного угла, по которому транспортная матрица заполняется  слева – направо и сверху –  вниз .

   Мы  должны заполнить m+n-1 клеток, где m – число поставщиков, а n – число потребителей. Если число заполненных клеток меньше m+n-1, то недостающие клетки выбираются произвольно и заполняются нулями.