Лекции по «Теория принятия решений»

Так, пусть вероятность  первого варианта обстановки P₁ = 0,5, второго - 0,3 и третьего - 0,2, тогда показатель риска доя каждого из решений составит:

R₁ = 0,55 • 0,5 + 0,47 • 0,30 + 0,00 • 0,2 = 0,416;

R₂ =0,05-0,5   +0,62-0,3 + 0,10-0,2 = 0,231;

R_з = 0,45 • 0,5 +   0,00 • 0,3 + 0,30 • 0,2 = 0,285;

R₄ = 0,00 • 0,5 + 0,72 • 0,3 + 0,05 • 0,2 = 0,226;

Следовательно, решение Р₄ для данных условий является наименее рискованным.

Такой подход к принятию решений в условиях риска позволяет получить лишь вероятностные (средневзвешенные) результаты анализа возможных вариантов. В отдельных случаях, в силу вероятностного характера экономических процессов, возможно получение результатов, отличных от планируемых (принятых на основе рассмотренного подхода). Вместе с тем, использование рассмотренного метода значительно повышает степень достоверности оценок и результатов по сравнению с подходами к принятию решений без количественной оценки вариантов. Можно с уверенностью сказать, что при использовании указанного подхода улучшение результатов достигается посредством сокращения количества неудачных исходов в числе многократных хозяйственных циклов.

 

3. Принятие решений в условиях неопределенности

 

При принятии решений  в условиях неопределенности, когда  вероятности возможных вариантов обстановки неизвестны, может быть использованы ряд критериев, выбор каждого из которых, наряду с характером решаемой задачи, поставленных целевых установок и ограничений, зависит также от склонности к риску лиц, принимающих решения.

К числу классических критериев, которые используются при  принятии решений в условиях неопределенности, можно отнести:

- принцип недостаточного обоснования Лапласа;

- максиминный  критерий Вальда;

- минимаксный  критерий Сэвиджа;

- критерий  обобщенного максимина (пессимизма - оптимизма) Гурвица.

Принцип недостаточного обоснования Лапласа используется в случае, если можно предположить, что любой из вариантов обстановки не более вероятен, чем другой. Тогда вероятности обстановки можно считать равными и производить выбор решения так же, как и в условиях риска, — по минимуму средневзвешенного показателя риска.

Следовательно, предпочтение следует отдать варианту, который обеспечивает минимум в выражении:

                i=1,m,

где n- количество рассматриваемых вариантов обстановки, - вероятность появления обстановки .

Рассмотрим выбор вариантов в условиях неопределенности с использованием принципа недостаточного обоснования Лапласа на исходных данных приведенного выше примера.

При учете трех вариантов  обстановки (n = 3) вероятность каждого варианта составляет 0,33.

Тогда, с учетом приведенных данных о потерях для каждой пары сочетаний решений Р и обстановки О (табл. 3) и вероятности каждого варианта обстановки, равной 0,33, средневзвешенный показатель риска для каждого из решений будет составлять:

R₁= 0,55 • 0,33 + 0,47 • 0,33 + 0,00 • 0,33 = 0,3366; ;

R₂ =0,05 • 0,33 + 0,62 • 0,33 + 0,10 • 0,33 = 0,2541;

R₃ = 0,45 • 0,33 + 0,00 • 0,33 + 0,3 • 0,33 = 0,2475;

R₄ = 0,00 • 0,33 + 0,72 • 0,33 + 0,05 • 0,33 = 0,2541.

В качестве оптимального следует выбрать вариант решения Р₃

Как видим, в исходном примере  наилучшим с точки зрения принятого критерия (средневзвешенного показателя риска) было бы решение Р₄.

Таким образом, изменение  вероятности наступления вариантов обстановки привело к изменению варианта решения, которому следует отдать предпочтение.

Максиминный критерий Вальда используется в случаях, когда требуется гарантия, чтобы выигрыш в любых условиях оказывался не менее чем наибольший из возможных в худших условиях.

Наилучшим решением будет  то, для которого выигрыш окажется максимальным из всех минимальных при различных вариантах условий.

Критерий, используемый при таком подходе, получил название максимина. Его формализованное выражение

                                          

Как видим, в качестве исходных данных при выборе вариантов решений по критерию Вальда являются выигрыши а_ij , соответствующие каждой паре сочетаний решений Р и обстановки О.

Воспользуемся приведенным  ранее примером (в частности, матрицей эффективности решений, представленной в табл. 2)  для иллюстрации выбора оптимального варианта по критерию Вальда.

      Минимальная отдача по вариантам выделена жирным цветом  в табл. 4.

 

          Таблица 4. Эффективность выпуска новых видов продукции

 

Варианты решений (Рi )	Варианты условий обстановки (Oi)
	O1	О2	O3
Р1	0,25	0,35	0,40
P2	0,75	0,20	0,30
P3	0,35	0,82	0,10
Р4	0,80	0,20	0,35

 

Из табл. 4 следует, что максимальный из минимальных результатов равен 0,25 и, следовательно, предпочтение необходимо отдать варианту Р₁ обеспечивающему этот результат.

Это максимальный гарантированный результат (выигрыш), который может быть получен в условиях имеющихся исходных данных. Выбрав решение Р₁, мы независимо от вариантов обстановки получим выигрыш не менее 0,25. При любом другом решении, в случае неблагоприятной обстановки, может быть получен результат (выигрыш) меньше 0,25.

Так, при выборе решения Р₂ полученный выигрыш в зависимости от наступившего варианта обстановки будет колебаться от 0,2 до 0,75. Для решений Р₃ и Р₄ границы, в которых будет колебаться выигрыш, составят соответственно 0,10÷0,82 и 0,20÷0,80.

Данный критерий прост  и четок, но консервативен в том  смысле, что ориентирует принимающего решение на слишком осторожную линию  поведения. Так, этот критерий никак не учитывает, что в случае принятия решения Р₁ (т.е. при ориентации на выигрыш 0,25) максимальный выигрыш не превышает 0,4. Однако, выбирая, например, решение Р₄, при гарантированном выигрыше 0,20 в случае благоприятной обстановки можно получить выигрыш, равный 0,80.

Поэтому критерием Вальда, главным образом, пользуются в случаях, когда необходимо обеспечить успех при любых возможных условиях.

Рассмотрим минимаксный критерий Сэвиджа, который используется в тех случаях, когда требуется в любых условиях избежать большого риска.

Этот критерий также  относится к разряду осторожных. Однако, в отличие от критерия Вальда, который направлен на получение гарантированного выигрыша, критерий Сэвиджа минимизирует возможные потери.

Критерий минимального сожаления, предложенный Сэвиджем, состоит в применении  минимаксного критерия (независимо от того, какой характер имели элементы a_ij – «доходы» или  «потери») к матрице сожалений:

                                           .

Здесь в качестве исходных данных при выборе решений выступают потери (H_ij), соответствующие каждой паре сочетаний решений Р и обстановки О.

Для иллюстрации выбора по критерию Сэвиджа воспользуемся приведенным выше примером (в частности, матрицей потерь, представленной в табл. 3).

Максимальные потери по вариантам выделены в табл. 5 жирным шрифтом.

Таблица 5. Величина потерь при выпуске новых видов продукции

 

Варианты решений (Р1)	Варианты условий обстановки (О1)
	O1	О2	O3
Р1	0,55	0,47	0,00
Р2	0,05	0,62	0,10
Р3	0,45	0,00	0,30
Р4	0,00	0,72	0,05

 

Из табл. 5 следует, что  минимальные из максимальных потерь составляют 0,45 и, следовательно, предпочтение необходимо отдать варианту Р₃ обеспечивающему эти потери.

Выбор варианта решения Р₃ гарантирует, что в случае неблагоприятной обстановки потери не превысят 0,45. В то время как для решений Р₁ Р₂ и Р₄ в случае неблагоприятной обстановки потери составят соответственно: 0,55; 0,62 и 0,72.

Основным исходным допущением этого критерия является предположение о том, что на наступление вариантов обстановки оказывают влияние действия разумных противников (конкурентов), интересы которых прямо противоположны интересам лица, принимающего решение. Поэтому, если у противников (конкурентов) имеется возможность получить какие-либо преимущества, то они ее обязательно используют. Это обстоятельство заставляет лицо, принимающее решение, обеспечить минимизацию потерь от этих действий.

Критерий обобщенного  максимина (пессимизма—оптимизма) Гурвица используется, если требуется остановиться между линией поведения в расчете на худшее и линией поведения в расчете на лучшее.

В этом случае предпочтение отдается варианту решений, для которого окажется максимальным показатель О, определяемый из выражения:

 

где k — коэффициент, рассматриваемый как показатель оптимизма , при k = 0 - линия поведения в расчете на лучшее, при k = 1 - в расчете на худшее;

 а_ij — выигрыш, соответствующий i- му решению при j-м варианте обстановки.

Нетрудно убедиться, что  при k = 1 критерий Гурвица совпадает с критерием Вальда, т.е. ориентацией на осторожное поведение. При k = 0 - ориентация на предельный риск, так как большой выигрыш, как правило, сопряжен с большим риском. Значения k между 0 и 1 являются промежуточными между риском и осторожностью и выбираются в зависимости от конкретной обстановки и склонности к риску лица, принимающего решение.

В табл. 6 приведены значения показателя G для различных вариантов решений в зависимости от величины коэффициента k.

 

Таблица 6. Значение показателя G для различных  k

Варианты решений (Рi)	Значение коэффициента k
	0,00	0,25	0,50	0,75	1,00
Р1	0,400	0,362	0,325	0,287	0,250
Р2	0,750	0,612	0,475	0,337	0,200
Р3	0,820	0,640	0,460	0,280	0,100
Р4	0,800	0,650	0,500	0,350	0,200
Оптимальное решение	Р3	Р4	Р4	Р4	Р1

 

Как видим, с изменением коэффициента k изменяется вариант решения, которому следует отдать предпочтение.

Нами рассмотрены наиболее общие (классические) методы, которые позволяют обосновывать и принимать решение при неопределенности экономических данных и ситуаций, недостатке фактической информации об окружающей среде и перспективных ее изменениях.

Следует отметить, что  разработанные экономической теорией и практикой способы и приемы решения задач в условиях риска и неопределенности не ограничиваются перечисленными методами. В зависимости от конкретной ситуации в процессе анализа используются и другие методы, способствующие решению задач, связанных с минимизацией риска.

Некоторые из них, в частности, основаны на использование среднеквадратического отклонения (σ) и коэффициента вариации (V) как меры риска.

 

Критерий, основанный на байесовском подходе.

В рамках нашего курса  рассмотрим весьма простой формализованный метод решения задач на принятие решений в условиях неопределенности, который основан на так называемом «байесовском подходе».

Прежде всего, рассмотрим типовой пример задачи на принятие решений, которая может быть решена этим методом.

Перед группой бурильщиков, осуществляющей разведку нефтяных месторождений, периодически встает вопрос, бурить ли ей скважину в определенном месте или нет.

При этом заранее неизвестны некоторые обстоятельства: стоимость  бурения, запасы нефти на которые  можно рассчитывать (в частности, результат может быть нулевым), стоимость эксплуатации скважины и т.д.

Для принятия решения  можно заказать различную информацию, позволяющую принять решение более обоснованно: результат сейсмической разведки (это стоит достаточно дорого), заказать карту данной местности из космоса (это стоит еще дороже) и т.д. В простейшем случае можно принять решение без использования дополнительной информации.

В зависимости от результатов  бурения можно рассчитывать на получение  определенной прибыли, которая является случайной величиной, и задается соответствующим законом распределения.

Если рассмотреть несколько  подобных разных задач, можно, не вникая в содержательные особенности, выделить несколько общих этапов их решения:

• определение в рамках содержательной постановки задачи перечня (группы) событий, которые могут произойти

• составление списка доступных возможностей сбора информации, постановки эксперимента

• определение упорядоченной  во времени последовательности событий, в исходах которых можно получить определенную информацию, и последовательности действий, которые мы можем предпринять