Задачи по теории вероятности

N = 73 Начало первого интервала: 0 Длина интервала: 1 

Выборка В6

N = 237 Начало первого интервала: 285 Длина интервала: 7 

Решение задач.

Задача 3.1.

Сначала решим  задачу по выборке А. Находим: х_min = 0 и х_max = 11. Размах (11 - 0 + 1 = 12) довольно мал, поэтому составим вариационный ряд по значениям (табл. 1). 

Таблица 1

 

         Все относительные частоты вычисляем  с одинаковой точностью. При  построении графиков изображаем на оси х значения с 0 по 11 и на оси n_i/n - значения с 0 по 0,25 (рис.1 и 2).

Рис. 1. Полигон  вариационного ряда выборки А 

Рис. 2. Гистограмма  вариационного ряда выборки А.

      Эмпирическую  функцию распределения F^*(x) находим, используя формулу  и накопленные частости, из табл. 1. Имеем:

 
 

При построении графика F^*(x) откладываем значения функции в интервале от 0 до 1,2 (рис. 3). 

Рис.3. График эмпирической функции распределения  выборки А. 
 

      Вычисление  сумм для среднего арифметического  и дисперсии по формулам и по вариационному  ряду (см. табл. 1) оформляем в табл. 2. По максимальной частоте определяем с = 7, а шаг таблицы k = 1.

Далее по формуле  вычисляем среднее арифметическое и дисперсию  
 
 
 
 
 
 
 

Таблица 2  

 

Стандартное отклонение Модой Мо является значение с максимальной частотой, т.е. Мо = 7. Медианой Ме служит 37-е значение вариационного ряда: Ме = 7.

      Теперь  по выборке В найдем х_min = 288 и х_max = 350. Размах (350 - 288 + 1 = 63) достаточно большой, поэтому составим вариационный ряд по интервалам значений, используя при выборке заданные начало первого интервала и длину интервала (табл.3). 

Таблица 3

 
 

Рис. 4. Полигон  вариационного ряда выборки В. 

Рис. 5.  Гистограмма  вариационного ряда выборки В. 

      При построении графиков откладываем по оси х значения с 285 по 355 и по оси n_i/n - значения с 0 по 0,3(рис. 4 и 5).

      Далее учитываем, что в качестве представителя  каждого интервала взят его конец. Принимая за координаты точек концы интервалов и соответствующие накопленные частости (см. табл. 3) и соединяя эти точки прямыми, построим график эмпирической функции распределения (рис. 6).

Рис. 6. График эмпирической функции распределения  выборки В. 

      Для вычисления среднего арифметического и дисперсии по формулам и по табл. 3 определим с = 316 и k = 7. Суммы вычислим  с помощью табл. 4 (табл. 4).

      По  формулам вычисляем среднее арифметическое   и дисперсию

      Стандартное отклонение Моду находим по формуле:

Мо = 313 + 7 ×

= 317,8.

Таблица 4