Задачи по теории вероятности

   Результаты  вычислений запишем в таблице  1. Если вычисления верны, то должно выполняться равенство

   По  найденным значениям вероятностей построим их график (рис. 1).

   Найдем  наивероятнейшую частоту по заданным условиям:

   np - q

k np + p,

   np - q = 11 * 0,36 - 0,64 = 3,32. np + k = 4,32

   Значит, наивероятнейшая частота k = 4 и, было получено ранее, значение р₃ является максимальным.

   Таблица 1 

   

   Рисунок 1 График вероятностей р_k 

   Задача 2.2. В каждом из n независимых испытаний событие А происходит с постоянной вероятностью 0,47. Найти вероятность того, что событие А происходит:

   а) точно 330 раз;

   б) меньше чем 330 и больше чем 284 раз;

   в) больше чем 330 раз. 

   а) Задано: п = 760, р = 0,47, М = 330.

       Найти: Р₇₆₀(330).

   Используем локальную теорему Муавра - Лапласа . Находим:

   

   

   Значение  функции j(x) найдем из таблицы :

   j(1,98) = 0,0562,   P₇₆₀(330) = 0,0562/ 13,76 = 0,00408. 

   б) Найти: Р₇₆₀(284<k<330).

   Используем  интегральную теорему Муавра - Лапласа .

   Находим:   

   

   

   

   Значение  функции Ф(х) найдем из таблицы :

   Р₇₆₀(284<k<330) = Ф(-1,98) - Ф(-5,32) = Ф(5,32) - Ф(1,98) = 0,5 – 0,4761 = 0,0239. 

   в) Найти: Р₇₆₀(330<k).

   Имеем: х₁ = -1,98,

   Р₇₆₀(330<k) = Р₇₆₀(330<k<760) = Ф(29,3) + Ф(1,98) = 0,5 - 0,4761 = 0,9761. 

   Задача 2.4. На телефонной станции неправильное соединение происходит с вероятностью 1/800. Найти вероятность того, что среди 5600 соединений имеет место:

   а) точно 2 неправильных соединений;

   б) меньше чем 3 неправильных соединений;

   в) больше чем 8 неправильных соединений. 
 

   а) Задано: n = 5600,   p = 1/800,   k = 2.

   Найти: Р₈₀₀(2).

   Получаем:

l = 5600 * 1/800 = 7.

   Р₈₀₀(2) =

.

   б) Задано k<3.

   Найти: Р₂₀₀(k<3).

   Имеем:

   l= 7.

   Р₈₀₀(k<3) = Р₈₀₀(0) + Р₈₀₀(1) + Р₈₀₀(2) = 0,0223 + 0,0009 + 0,0064 = 0,0296. 

   в) Задано k > 8.

   Найти: Р₈₀₀(k > 8).

   Находим

   l= 7.

   Эту задачу можно решить проще, найти вероятность  противоположного события, так как в этом случае нужно вычислить меньше слагаемых. Принимая во внимание предыдущий случай, имеем

   Р₈₀₀(k>8) = 1 – Р₈₀₀(k

8)  = 1 - Р₈₀₀(k<9) = 1 - 0,7291 = 0,2709. 

   Задача 2.6. Случайная величина Х задана рядом распределения.

 

   Найти функцию распределения F(x) случайной величины Х и построить ее график. Вычислить для Х ее среднее значение ЕХ, дисперсию DX и моду Мо.

   R = 4

   

   Построим  график функции распределения F(x) . Среднее значение ЕХ вычисляем по формуле:

   ЕХ = 8*0,11 + 12*0,14 + 16*0,5 + 24*0,25 = 16,56.

   Дисперсия: Е(Х²) = 8²*0,11 + 12²*0,14 + 16²*0,5 + 24²*0,25 = 299,2

   DX = 299,2 – 16,52² = 26,2896. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

   

   График  функции распределения 

   Задача 2.7. Случайная величина Х задана функцией плотности вероятности

   f(x) =

   Найти функцию распределения F(x) случайной величины Х. Построить график функции f(x) и F(x). Вычислить для Х ее среднее значение ЕХ, дисперсию DX, моду Мо и медиану Ме.   К = 8, R = 12.

   Функцию распределения F(х) непрерывной случайной величины найдем по формуле:

   

   Поэтому

   

   Построить графики функций f(x) и F(x). Среднее значение Х вычисляем по формуле:

   ЕХ =

   Для нахождения дисперсии Х воспользуемся формулами:

   Е(Х²) =

   DX = 40,5 – (4,5)².

   Из  графика видно, что f(x) достигает максимума в точке х = 1/2 и, значит, Мо = 12. Для нахождения медианы Ме нужно решить уравнение х²/ 256 = 1/2, или х² = 128. Имеем х = ± 11,31, Ме = 11,31. 
 
 
 
 
 
 
 
 

   

             6 
 

                                                                                                             

                        

            3                            

                      

                             

                                   

                   

             

                                        6                       12               х            

   График  функции плотности вероятности f(x). 

   

             6

     

                                                                                                             

                        

            3                             

                      

                            

                                   

                   

             

                               6              12               х            

   График  функции распределения F(х). 

   Работа  №3.

   Задача 3.1

      По  выборкам А и В

• составить вариационный ряд;
• вычислить относительные частоты (частости) и накопленные частости;
• построить графики вариационного ряда (полигон и гистограмму);
• составить эмпирическую функцию распределения и построить ее график;
• вычислить числовые характеристики вариационного ряда:

среднее арифметическое ,

дисперсию ,

стандартное отклонение ,

моду Мо,

медиану Ме. 

Задача 3.2.

Вычислить несмещенные  оценки параметров генеральной совокупности ,S², S по

   выборкам  А и В (используя результаты, полученные в задаче 3.1.), а также по первому столбцу  выборки В. 
 
 
 
 

Выборка А6