Задачи по теории вероятности

Работа  №1

Случайные события

6 вариант. 

   Задача 1.1. Бросают три монеты. Найти вероятность того, что только на двух монетах появится ''герб''.

   Исследуемое событие А – только на двух монетах из трех будет герб. У монеты две стороны, значит всего событий при бросании трех монет будет 8. В трех случаях только на двух монетах будет герб. Вероятность события А вычислим с помощью формулы :

Р(А) = m/n = 3/8.

   Ответ: вероятность 3/8. 

   Задача 1.2. Слово СОБЫТИЕ составлено из карточек, на каждой из которых написана одна буква. Затем карточки смешивают и вынимают без возврата по одной. Найти вероятность того, что буквы вынимаются в порядке заданного слова.

   Испытание заключается в вынимании карточек с буквами в случайном порядке  без возврата. Элементарным событием является полученная последовательность букв. Событие А состоит в получении нужного слова СОБЫТИЕ. Элементарные события являются перестановками из 7 букв, значит, по формуле имеем n = 7!

   Буквы в слове СОБЫТИЕ не повторяются, поэтому не возможны перестановки, при которых слово не изменяется. Их число равно 1.

   Таким образом,

   Р(А) = 1/7! = 1/5040.

   Ответ: Р(А) = 1/5040. 

   Задача 1.3. Как и в предыдущей задаче, найти соответствующую вероятность случая, когда заданным словом является слова АНТОНОВ ИЛЬЯ.

   Эта задача решается аналогично предыдущей.

n = 11!;    M = 2!*2! = 4.

Р(А) = 4/11 = 4/39916800 = 1/9979200

   Ответ: Р(А) =1/9979200. 

   Задача 1.4. В урне содержится 8 черных и 6 белых шаров. Случайным образом вынимают 5 шаров. Найти вероятность того, что среди них имеется:

   а) 3 белых шаров;

   б) меньше, чем 3, белых шаров;

   в) хотя бы один белый шар.

  8  ч           Испытанием будет случайное вынимание  5 шаров. Элементарными

  6  б           событиями являются всевозможные  сочетания по 5 из 14 шаров. Их число  равно

а) А₁ - среди вынутых шаров 3 белых. Значит, среди вынутых шаров 3 белых и 2 черных. Используя правило умножения, получаем

 Р(А₁) = 560/2002 = 280/1001.

  б) А₂ - среди вынутых шаров меньше чем 3 белых. Это событие состоит из трёх несовместных событий:

  В₁ - среди вынутых шаров только 2 белых и 3 черных шара,

  В₂ - среди вынутых шаров только один белый и 4 черных шара

  В₃ - среди вынутых шаров нет ни одного белого, все 5 шаров черные:

А₂ = В₁

В₂ В_3.

  Так как  события В₁, В₂ и В₃ несовместимы, можно использовать формулу:

Р(А₂) = Р(В₁) + Р(В₂) + Р(В₃);

Р(А₂) = 840/2002 + 70/2002 + 56/2002 = 483/1001.

  в) - среди вынутых шаров нет ни одного белого. В этом случае:

Р(А₃) = 1 - Р(

) = 1 - 28/1001 = 973/1001.

  Ответ: Р(А₁) = 280/1001, Р(А₂) = 483/1001, Р(А₃) = 973/1001. 

   Задача 1.6. В первой урне 5 белых и 7 черных шаров, а во второй урне 6 белых и и 4 черных шаров. Из первой урны вынимают случайным образом 2 шара, а из второй - 2 шара. Найти вероятность того, что среди вынутых шаров:

   а) все шары одного цвета;

   б) только три белых шара;

   в) хотя бы один белый шар. 

1 урна          2 урна                    Шары вынимали из обеих урн  независимо. Испытаниями   

5     б            6       б                    являются извлечение двух шаров  из первой урны и двух шаров                

7     ч            4       ч                    из второй урны. Элементарными  событиями будут сочетания 

_____           ______                   по 2 или 2 из 12 или 10 шаров соответственно.

   2                    2                          а) А₁ - все вынутые шары одного цвета, т.е. они или все белые,

                                                   или все черные.

      Определим для каждой урны всевозможные события:

      В₁ - из первой урны вынуты 2 белых шара;

      В₂ - из первой урны вынуты 1 белых и 1 черный шар;

      В₃ - из первой урны вынуты 2 черных шара;

      С₁ - из второй урны вынуты 2 белых шара;

      С₂ - из второй урны вынуты 1 белый и 1 черный шар;

      С₃ - из второй урны вынуты 2 черных шара.

Значит, А₁ = , откуда, учитывая независимость и несовместимость событий, получаем

Р(А₁) = Р(В₁) * Р(С₁) + Р(В₃) * Р(С₃).

      Найдем  количество элементарных событий n₁ и n₂ для первой и второй урн соответственно. Имеем:

      Найдем  количество каждого элемента событий, определяющих следующие события:

В₁ : m₁₁ =

         C₁ : m₂₁ =

B₂ : m₁₂ =

     C₂ : m₂₂ =

B₃ : m₁₃ =

      C₃ : m₂₃ =

Следовательно,

Р(А₁) = 10/66 * 15/45 + 21 * 6/45 = 5/99 + 7/165 = 46/495.

      б) А₂ - среди извлеченных шаров только 3 белых. В этом случае

А₂ = (В₁

С₂ (В₂ С₁);

Р(А₂) = Р(В₁) * Р(С₁) + Р(В₂) * Р(С₂)

Р(А₂) = 10/66 * 6/45 + 35/66 * 24/45 = 33/99 = 1/3.

      в) А₃ - среди извлеченных шаров имеется по крайней мере один белый.

- среди извлеченных шаров  нет ни одного белого шара. Тогда

Р(

) = Р(В₃) * Р(С₃) = 21/66 * 6/45 = 7/165;

Р(А₃) = 1 - Р(

) = 1 - 7/165 = 158/165.

   Ответ: Р(А₁) = 46/495, Р(А₂) = 1/3, Р(А₃) = 158/165. 

   Задача 1.7. В урне содержится 5 черных и белых шаров, к ним добавляют 4 белых шара. После этого из урны случайным образом вынимают 3 шара. Найти вероятность того, что все вынутые шары белые, предполагая, что все возможные предложения о первоначальном содержании урны равновозможные. 

   Здесь имеют место два вида испытаний: сначала задается первоначальное содержимое урны и затем случайным образом  вынимается 3 шар, причем результат  второго испытания зависит от результата первого. Поэтому используется формула полной вероятности.

событие А - случайно вынимают 3 белых шара. Вероятность  этого события зависит от того, каким был первоначальный состав шаров в урне.

   Рассмотрим  события:

   В₁ - в урне было 5 белых шара;

   В₂ - в урне было 4 белых и 1 черный шар;

   В₃ - в урне было 3 белых и 2 черных шара;

   В₄ - в урне был 2 белый и 3 черных шара;

   В₅ - в урне было 1 белый и 4 черных шара.

   В₆ - в урне было 5 черных шара;

Общее число  элементарных исходов

Найдем условные вероятности события А при  различных условиях.

                                Р(А/В₁) = 1.

                          Р(А/В₂) = 56/84 = 2/3.

                            Р(А/В₃) = 35/84 = 5/12.

                                Р(А/В₄) = 5/21.

                                Р(А/В₅) = 5/42.

                                  Р(А/В₆) = 1/21.

Р(А) = 1 * 1/6 + 2/3 * 1/6 + 5/12 * 1/6 + 5/21 * 1/6 + 5/42 * 1/6 + 1/21 * 1/6 = 209/504.

Ответ: Р(А) = 209/504. 

   Задача 1.9. В пирамиде стоят 11 винтовок, их них 3 с оптическим прицелом. Стрелок, стреляя из винтовки с оптическим прицелом, может поразить мишень с вероятностью 87/100, а стреляя из винтовки без оптического прицела, - с вероятностью 52/100. Найти вероятность того, что стрелок поразит мишень, стреляя из случайно взятой винтовки. 

   Учитывая, что винтовки выбираются по одной, получаем и соответственно (для В₁) и (для В₂); таким образом Р(В₁) = 3/ 11, Р(В₂) = 8/11.

   Условные  вероятности заданы в условии  задачи:

   Р(А/В₁) = 0,87 и Р(А.В₂) = 0,52.

   Следовательно,

   Р(А) = 0,87 * 3/11 + 0,52 * 8/11 = 0,615.

   Ответ: Р(А) =0,615. 

   Задача 1.10. В монтажном цехе к устройству присоединяется электродвигатель. Электродвигатели поставляются тремя заводами изготовителями. На складе имеются электродвигатели этих заводов соответственно в количестве М₁=13, М₂=12, и М₃=17 штук, которые могут безотказно работать до конца гарантийного срока с вероятностями соответственно 0,91, 0,82, и 0,77. Рабочий берет случайно один электродвигатель и монтирует его к устройству. Найти вероятность того, что смонтированный и работающий безотказно до конца гарантийного срока электродвигатель поставлен соответственно первым, вторым или третьим заводом - изготовителем. 

   Условные  вероятности заданы в условии  задачи: Р(А/В₁) = 0,91, Р(А/В₂) = 0,82, Р(А/В₃) = 0,77.

   Аналогично  предыдущей задаче найдем вероятности:

      Р(В₁) = 13/42 = 0,3095;   Р(В₂) = 12/42 = 0,2857;   Р(В₃) = 17/42 = 0,4048;

      Р(А) = 0,91 * 0,3095 + 0,82 * 0,,2857 + 0,77 * 0,4048 = 0,8276.

      По  формуле Байеса (1.8.) вычисляем условные вероятности событий (гипотез) В₁:

Р(В₁/А) =

Р(В₂/А) =

Р(В₃/А) =

   Ответ: Р(В₁/А) = 0,3403,    Р(В₂/А) = 0,2831,   Р(В₃/А) = 0,3766 

Работа  №2

Случайные величины.

6 - вариант. 

   Задача 2.1. В каждом из n независимых испытаний событие А происходит с постоянной вероятностью 0,36. Вычислить все вероятности р_k, k = 0, 1, 2, ..., 11, где k частота события А. Построить график вероятностей р_k. Найти наивероятнейшую частоту.

   Задано: n = 11, p = 0,36, q = 1 - p = 0,64.

   Найти: р₀, р₁, р₂ , ..., р₁₁ и k.                                                                

   Используя формулу Бернулли. Значение р₀ вычисляем по первой из формул, а остальные вероятности р_k - по второй.

   Для формулы  вычисляем постоянный множитель

   р/q = 0,36/ 0,64 = 0,5625, р₀ =

*0,36⁰ * 0,64¹¹ = 0,0073787.