Уравнения математической физики

    Возвращаясь к начальной задаче для уравнения  с дополнительными условиями, получаем, что частные решения будут иметь вид

    

.

    Тогда общее решение запишется в виде

    

,

где определяется формулой, а коэффициенты и равны:

,

.

    В задачах, рассмотренных в этом параграфе, необходимо было найти функцию, описывающую отклонение мембраны от положения равновесия при одинаковых начальных условиях, но при различных граничных условиях. В результате были получены две разные функции. Таким образом, можно сказать, что прогиб мембраны напрямую зависит от граничных условий. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

1.3 Метод разделения переменных (метод Фурье).

         Метод разделения переменных  или метод Фурье, является одним  из наиболее распространенных  методов решения уравнений с  частными производными. Изложение этого метода приведено для задачи о колебаниях струны, закрепленной на концах.

Итак, будем  искать решение уравнения

                                                             

                                                         (1)

удовлетворяющего однородным граничным условиям

                                                        U(0, t) = U(l, t) = 0                                                     (2)

и начальным  условиям

                                                              

                                                    (3)

       Уравнение (1) линейно и однородно, поэтому сумма частных решений также является решением этого уравнения. Будем искать решение уравнения в виде:

                                                               

                                                (4)

где X(x)- функция только переменного , T(t)- функция только переменного .

Подставим (4) в уравнение (1), получим:

•                                                                                              (5)

       Чтобы функция (4) была решением уравнения (1), равенство (5) должно удовлетворяться тождественно, то есть для всех значений независимых переменных , . Правая часть равенства (5) является функцией только переменного x, а левая - только .

Фиксируя, например, некоторое значение х и меняя t (или наоборот), получим, что правая и левая части (5) при изменении своих аргументов сохраняют постоянное значение, то есть

                                                        

                                          (6)

         Из соотношения (6) получаем обыкновенные дифференциальные уравнения для определения функций X(x) и T(t) .

                                                  

                                            (7)

Граничные условия (2) дают:

                                            

.                                                      (8)

Отсюда  следует, что функция X(x) должна удовлетворять дополнительным условиям

                                                      X(0) =X(l) =0,                                                             (9)

так как  иначе мы имели бы T(t)≡0 и U(x, t)≡0, в то время как задача состоит в нахождении нетривиального решения.

       Таким образом, в связи с нахождением функции X(x) мы приходим к простейшей задаче о собственных значениях: найти такие значения параметра λ, при которых существуют нетривиальные решения задачи:

                                                     

                                                    (10)

а также  найти эти решения. Такие значения параметра называются собственными значениями, а соответствующие им нетривиальные решения – собственными функциями задачи (10).

          Возвращаясь к задаче (1) – (3), заключаем, что функции  
являются частными решениями уравнения (1), удовлетворяющими граничным условиям (3) и представимыми в виде произведения (4) двух функций.

Обратимся к решению в общем случае. В  силу линейности и однородности уравнения (1) сумма частных решений              

                                            (11)

также удовлетворяет этому уравнению и граничным условиям (2).

Начальные условия позволяют определить и . Потребуем, чтобы функция (11) удовлетворяла условиям (3):

                                          

                                      (12)

Если  функции

и удовлетворяют условиям разложения в ряд Фурье, то                                                                                                                                                                 (13)

Подставив (13) в (11), мы удовлетворим краевым условиям и получим решение уравнения. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

2 Практическая  часть

2.1 Нахождение  колебаний квадратной мембраны 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Заключение

           Выполнена поставленная задача курсовой работы. В результате её выполнения освоена дисциплина «Уравнения математической физики». В процессе изучены такие разделы дисциплины:

1. Уравнения  гиперболического типа.

2. Первая краевая  задача для решения уравнения  колебания мембраны.

3. Метод разделения переменных (метод Фурье) и т. д.

           При выполнении работы получены  практические навыки по решению  задач по дисциплине «Уравнения математической физики».  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Список  литературы

1. Петровский – «Уравнения в частных производных».
2. Михрин – «Уравнения в частных производных. Курс математической физики».
3. Тихонов, Самарский – «Уравнения математической физики».
4. Соболев – «Уравнения математической физики».
5. Миранда – «Уравнения в частных производных».
6. Смирнов – «Сборник задач по уравнениям математической физики».