Министерство  образования и науки Российской Федерации

Московский  авиационный институт

(государственный  технический университет)

Факультет

Прикладная  математика и физика

Кафедра

Прикладная  математика и информатика 
 
 

КУРСОВАЯ  РАБОТА 
 

Дисциплина

«Уравнения математической физики» 

Студент:                                                                                                  Ларионов Е. В.

Группа:                                                                                                    8Б-303

Руководитель:                                                                                         Казарян Э. Л.                                                        

Оценка и подпись  руководителя: 
 
 
 
 
 
 

Серпухов - 2011

Задание

Найти колебания квадратной мембраны, где l=m=1.

- начальные  условия. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Содержание

Введение. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4

1 Теоретическая  часть. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5

1. Уравнения гиперболического типа. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5
2. Первая краевая задача для решения уравнения колебания мембраны. . . . . .6
3. Метод разделения переменных (метод Фурье). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2. Практическая часть. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .16
1. Нахождение колебаний квадратной мембраны. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .16

Заключение. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .17

Список литературы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Введение

          Данная курсовая работа посвящена дисциплине «Уравнения математической физики». Необходимо выполнить поставленную задачу и освоить курс данной дисциплины. При выполнении работы будут затронуты следующие темы:

1. Уравнения гиперболического типа.
2. Первая краевая задача для решения уравнения колебания мембраны.
3. Метод разделения переменных (метод Фурье).

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

1. Теоретическая часть

1.1 Уравнения гиперболического типа

         Гиперболические уравнения — класс дифференциальных уравнений в частных производных. Характеризуются тем, что задача Коши с начальными данными, заданными на не характеристической поверхности, однозначно разрешима. Любое уравнение первого порядка в частных производных также является гиперболическим. Наиболее известным примером является волновое уравнение.

        Волновое уравнение в математике — линейное гиперболическое дифференциальное уравнение в частных производных, задающее малые поперечные колебания тонкой мембраны или струны, а также другие колебательные процессы в сплошных средах (акустика, преимущественно линейная: звук в газах, жидкостях и твёрдых телах) и электромагнетизме (электродинамике). Находит применение и в других областях теоретической физики, например при описании гравитационных волн.

В общем  случае волновое уравнение записывается в виде:

Где - оператор Лапласа, u=u(x,t) – неизвестная функция, t - время, x – пространственная переменная, v – фазовая скорость.

В одномерном случае уравнение называется также  уравнением колебания струны и записывается в виде:

 
 
 
 
 
 

1.2 Первая  краевая задача для решения  уравнения колебания мембраны

Процесс колебания плоской однородной мембраны описывается уравнением

    Пусть в плоскости (x, y) расположена прямоугольная мембрана со сторонами b₁ и b₂, закрепленная по краям. Ее колебание вызывается с помощью начального отклонения и начальной скорости.

    Для нахождения функции  , характеризующей отклонение мембраны от положения равновесия (прогиб), нужно решить уравнение колебаний при заданных начальных условиях

    

и граничных  условиях

.

Функция имеет вид

    

,

где - собственные функции, соответствующие собственным значениям (полученным в результате применения метода Фурье) и определяющиеся формулой

.

А коэффициенты и равны:

,

.

    Найдем  решение задачи при других граничных  условиях.

    Итак, для нахождения функции  , характеризующей прогиб мембраны мы должны решить уравнение колебаний мембраны  при заданных начальных условиях

    

и граничных условиях

.

Будем искать решение методом Фурье. Пусть  функция

    

и не равна  тождественно нулю. Подставляем выражение  функции  в уравнение и, поделив обе части уравнения на (при этом мы не теряем решений, т. к. ), получаем

.

Чтобы функция была решением уравнения, равенство  должно удовлетворяться тождественно, т.е. для любых значений переменных , , . Правая часть равенства является функцией только переменных (x,y), а левая – только t. Фиксируя, например, некоторые значения x и y и меняя t (или наоборот), получаем, что правая и левая части равенства при изменении своих аргументов сохраняют постоянное значение, пусть оно равно .

,

где - постоянная, которую для удобства последующих выкладок берем со знаком минус, ничего не предполагая при этом о ее знаке.

     Из соотношения  получаем однородное дифференциальное уравнения второго порядка для  функции  :

    

,

а для  функции  следующую краевую задачу:

      Таким образом, сама задача о собственных значениях состоит в решении однородного уравнения в частных производных при заданных граничных условиях. Снова применим метод разделения переменных. Пусть

    

и не равна  тождественно нулю. Подставляем выражение  функции  в уравнение и, поделив обе части уравнения на , приведем его к виду

.

    Правая  часть равенства (2.2.10) является функцией только переменной y, а левая – только x. Фиксируя, например, некоторые значения x и меняя (или наоборот), получаем, что правая и левая части равенства при изменении своих аргументов сохраняют постоянное значение, пусть оно равно .

    

    Тогда из данного соотношения получаем два однородных дифференциальных уравнения второго порядка:

1.                        2.

где и - постоянные разделения переменных, причем . При этом граничные условия для и вытекают из соответствующих условий для функции .

,

,

,

.

Получаем  следующие одномерные задачи на собственные значения: 
 

     - линейное однородное дифференциальное  уравнение второго порядка с  постоянными коэффициентами. Таким  образом, общее решение данного  уравнения зависит от параметра . Рассмотрим отдельно случаи, когда параметра отрицателен, равен нулю, положителен.

1. При задача не имеет нетривиальных решений. Общее решение уравнения имеет вид

,

т. к. характеристическое уравнение  имеет корни .

Учитывая  граничные условия, получаем:

т.к. - действительно и положительно, то .

2. При нетривиальных решений тоже не существует.

3. При общее решение уравнения имеет вид

.

Учитывая  граничные условия, получаем:

, т.к. мы ищем нетривиальные  решения,  , следовательно

    Итак, только при значениях равных , существуют нетривиальные решения задачи и имеют вид

    

.

Они определяются с точностью до произвольного сомножителя, который мы положили равным единице.

    Аналогично  получаем решение задачи:

    

    Собственным значениям  , таким образом, соответствуют собственные функции

    

,

где - некоторый постоянный множитель. Выберем его так, чтобы норма функций с весом единица была равна единице

.

Вычислим  отдельно интегралы в равенстве:

Тогда,

.

    Число собственных функций, принадлежащих  зависит от количества целочисленных решений n и m уравнения

    

.

    Собственным значениям  соответствуют решения уравнения :

    

,

где и - произвольные константы.