Тождественные преобразования показательной и логарифмической функций

     Для корней нечетной степени справедливо  равенство  . В самом деле, , т.е. число – есть корень -й степени из . Но такой корень при нечетном единственный. Следовательно, .

Замечание 1.   Для любого действительного

                                          

Замечание 2.   Удобно считать, что корень первой степени из числа равен . Корень второй степени из числа называют квадратным корнем, а корень третьей степени называют кубическим корнем.

     Напомним  известные свойства арифметических корней -ой степени.

Для любого натурального , целого и любых неотрицательных целых чисел и справедливы равенства:

                      1. _.

                      2. _.

                     3. _.

         4.

         5. . 

Перейдём  к введению степени  с рациональным показателем.

     Выражение определено для всех и , , кроме случая при . Напомним свойства таких степеней.

      Для любых чисел  , и любых целых чисел и справедливы равенства:              

Отметим так же, что если , то при и при  

     Определение: Степенью числа с рациональным показателем , где – целое число, а – натуральное , называется число .

     Итак, по определению  .

     При сформулированном определении степени  с рациональным показателем сохраняются  основные свойства степеней, верные для  любых показателей (разница заключается  в том, что свойства верны только для положительных оснований). 

§2. Показательная функция. 

Это функция  вида       (,). Для неё  , ,       , и при график имеет такой вид:

 

При вид графика такой:

 
 

1. Число называется основанием показательной функции. Область определения функции – вся числовая прямая.
2. Область значения функции – множество всех положительных чисел.
3. Функция непрерывна и дифференцируема во всей области определения. Производная показательной функции вычисляется по формуле

(a^x)¢ =a^xlna

4. При а>1 функция монотонно возрастает, при а<1 монотонно убывает.
5. Показательная функция имеет обратную функцию, называемую логарифмической функцией.
6. График любой показательной функции пересекает ось 0y   в точке y=1.
7. График показательной функции – кривая, направленная вогнутостью вверх.
8. При любых действительных значениях и справедливы равенства          

      

 

Эти формулы  называют основными свойствами степеней.

           Можно так же заметить, что функция непрерывна на множестве действительных чисел. 
 
 

§3. Логарифмическая  функция.

Определение: Логарифмом числа по основанию называется показатель степени, в которую нужно возвести основание , то бы получить число .

     Формулу (где , и ) называют основным логарифмическим тождеством.

     При работе с логарифмами применяются  следующие их свойства, вытекающие из свойств показательной функции:

     При любом  ( ) и любых положительных и выполнены равенства:

1.

2.

3.

4.

5.

для любого действительного .

        Основные  свойства логарифмов широко применяются  в ходе преобразования выражений, содержащих логарифмы. Например, часто используется формула перехода от одного основания  логарифма к другому: .

     Перейдём  к определению логарифмической  функции

Пусть – положительное число, не равное 1. 

 Это функция вида

• Число называется основанием логарифма. Обратим внимание читателя на то, что с точностью до поворотов и симметричных отражений на последних четырёх чертежах изображена одна и та же линия. Область определения логарифмической функции – промежуток (0; +¥).
• Область значения логарифмической функции – вся числовая прчмая.
• Логарифмическая функция непрерывна и дифференцируема во всей области определения. Производная логарифмической функции вычисляется по формуле

(log_a x)¢ =

• Логарифмическая функция монотонно возрастает, если а>1. При 0<a<1
• Логарифмическая функция с основанием а монотонно убывает.
• При любом основании  a >0,  a¹1, имеют место равенства

log_a 1 = 0, log_a a =1.

• При а>1 график логарифмической функции – кривая, направленная вогнутостью вниз; при 0<a<1 – кривая, направленная вогнутостью вверх.

при график имеет такой вид:  

 

При график получается такой:

Глава 3.

Тождественные преобразования показательных  и

логарифмических выражений на практике.

 

Задание 1.

Вычислите:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5)  

Решение:

1. Используя свойство степени, получим:

;

Ответ: 27

2) ;

Ответ: 9

2. Применяя свойства логарифмов и степени:
3. ;

Ответ: 24

4)

;

Ответ: 7

5) Известно, что =1, а =0, поэтому:

.        Ответ: 0 

Задание 2.

Упростите выражения:

1) ;

2) ;

3) .

Решение:

Применим  свойства степени:

1. ;

Ответ:

2) Откроем скобки и приведём подобные слагаемые:

, т.к.  

Ответ:

3) Воспользуемся формулами перехода к новому основанию

Ответ:

Задание 3.

Найдите значение выражений:

1) ;

2) ;

3) ;

4) . 

Решение:

1) Воспользуемся свойствами логарифмов

Ответ: 2

Ответ: 2

Ответ: -3

4)

Ответ: 1 

Задание 4.

Прологарифмируйте по основанию  выражение:

1) при ;

2) при , , .

Решение:

1) Согласно свойствам логарифма:

Ответ:

2)

Ответ:

. 

Задание 5.

Найдите , если:

1) ;

2) .

Решение:

1) Применяя свойства логарифмов:

Ответ: 108

2)

.

Ответ:

. 
 

Задание 6.

Известно, что  . Найти .

Решение:

Домножим  и разделим выражения, стоящие под знаком логарифма на сопряженные:

.

Ответ:

. 

Задание 7.

Решите уравнения:

1) ;

2) ;

3) .

Решение:

1) Перейдём к основанию 2 в обеих частях уравнения