Тождественные преобразования показательной и логарифмической функций

                         Федеральное агентство по образованию

  Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

    Владимирский Государственный Гуманитарный Университет

                                                       (ВГГУ) 
 
 
 

 

на  тему

«Тождественные  преобразования показательной  и логарифмической  функций»

(VI семестр, кафедра математического анализа) 
 
 
 
 
 
 

Выполнила

  студентка ФМФ

группы  МИ-32

Пантелеева  Н.С.

Проверила

Научный руководитель

Жукова  А.А. 

Владимир, 2008 г.

                                          Содержание 

Введение………...…………………………………………………………………………..3 

Глава 1 .  Тождественные преобразования и методика преподавания математики

        §1. История развития логарифмической и показательной функции…...….4

        §2. Формирование навыков применения конкретных видов преобразований……………………………………………………………………………..6

        §3.  Особенности организации системы знаний при изучении тождественных преобразований .…….…………...……………………………..………..7 

Глава 2.  Тождественные преобразования и вычисления показательных и логарифмических выражений  

        §1.  Обобщения понятия степени……………………….……………...……11

        §2.  Показательная функция……………………...……….………………….12

        §3. Логарифмическая функция………….…………………………………..14 

Глава 3.  Тождественные преобразования показательных и логарифмических выражений на практике………………………………………………………………………….16

Заключение……………………………………………………….....……………………..22

Список  использованной литературы…………...……….................…………………….23 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Введение

    

       Изучение различных преобразований  выражений и формул занимает  значительную часть учебного  времени в курсе школьной математики. Простейшие преобразования, опирающиеся  на свойства арифметических операций, производятся уже в начальной  школе и в IV–V классах. Но основную нагрузку по формированию умений и навыков выполнения преобразований несет на себе курс школьной алгебры. Это связано как с резким увеличением числа и разнообразия совершаемых преобразований, так и с усложнением деятельности по их обоснованию и выяснению условий применимости, с выделением и изучением обобщенных понятий тождества, тождественного преобразования, равносильного преобразования, логического следования.

     Культура  выполнения тождественных преобразований развивается так же, как и культура вычислений, на основе прочных знаний свойств операций над объектами (числами, векторами, многочленами и  т. д.) и алгоритмов их выполнения. Она  проявляется не только в умении правильно  обосновать преобразования, но и в  умении найти кратчайший путь перехода от исходного аналитического выражения  к выражению, наиболее соответствующему цели преобразования, в умении проследить за изменением области определения  аналитических выражений в цепочке  тождественных преобразований, в  быстроте и безошибочности выполнения преобразований.

     Обеспечение высокой культуры вычислений и тождественных  преобразований представляет важную проблему обучения математике. Однако эта проблема решается еще далеко не удовлетворительно. Доказательство этому – статистические данные органов народного образования, в которых ежегодно констатируются ошибки и нерациональные приемы вычислений и преобразований, допускаемые учащимися  различных классов при выполнении контрольных работ. Это подтверждается и отзывами высших учебных заведений  о качестве математических знаний и  навыков абитуриентов.  

     В данной курсовой работе будут рассмотрены  показательная и логарифмическая  функция, их основные свойства, тождественные  преобразования показательной и  логарифмической функции,  изложена методика преподавания в школьном курсе алгебры и начала анализа.

     Первая  глава данной работы посвящена истории возникновения данных функций, их применению. Особенности организации системы знаний при изучении тождественных преобразований

     Вторая  глава содержит описание непосредственно самой показательной и логарифмической  функции, их основных свойств, используемых при тождественных преобразованиях.

     Третья  глава – приведены примеры решений ряда задач с использованием тождественных преобразований показательной и логарифмической функции.

     
 
 

Глава I

§1. История развития

       Поистине безграничны приложения  показательной и логарифмической  функций в самых различных областях науки и техники, а ведь придумывали логарифмы для облегчения вычислений.

     Еще недавно трудно было представить  инженера без логарифмической линейки в кармане. Изобретенная через десяток лет после появления логарифмов Непера английским математиком Гунтером, она позволяла быстро получать ответ с достаточной для инженера точностью в три значащие цифры. Теперь ее из инженерного обихода вытеснили микрокалькуляторы, но без логарифмической линейки не были бы построены ни первые компьютеры, ни калькуляторы.

     Многообразие  применения показательной (или как  ее еще называют экспоненциальной) функции вдохновили английского  поэта Элмера Брила, он написал «Оду экспоненте»:

«…Ею  порождено многое из того,

Что достойно упоминания»,

Как говорили наши

Англосаксонские предки.

Могущество  ее порождений

Заранее обусловлено ее

Собственной красотой и силой,

Ибо они суть физическое воплощение

Абстрактной идеи ее.

Английские  моряки любят и  знают ее

Под именем «Гунтер».

Две шкалы Гунтера  –

Вот чудо изобретательности.

Экспонентой порождена

Логарифмическая линейка:

У инженера и астронома  не было

Инструмента полезнее, чем она.

Даже  изящные искусства  питаются ею.

Разве музыкальная гамма  не сеть

Набор передовых логарифмов?

И таким образом  абстрактно красивое

Стало предком одного из величайших

Человеческих  достижений». 

     Степени с дробными показателями и простейшие правила действий над ними встречаются  у французского математика Н. Оресма (1328-1382). Впрочем, уже у Архимеда есть упоминание об отношении, взятом в степени 3\2. Живший в XV веке французский ученый Шюке рассматривал степени с отрицательным и нулевым показателями.

     Логарифмы были введены независимо друг от друга  двумя учеными – английским математиком Д.Непером (1550-1617) и швейцарцем И. Бюрги (1552-1632). Непер развил теорию логарифмов, указал способы их вычисления и составил подробные таблицы логарифмов. Логарифмы Непера были близки к современным натуральным логарифмам. Десятичные логарифмы были введены английским математиком Г.Бриггом (1561-1630). Появление логарифмов значительно упростило вычисления, и в течение длительного времени логарифмы были основным средством вычислений. Французский математик Лаплас говорил, что изобретение логарифмов удлинило жизнь вычислителей.

     Создатели логарифмов вычисляли их с помощью  различных частных приёмов. Общие  способы вычисления, основанные на теории бесконечных рядов, восходят к немецкому учёному Меркатору (1620-1687), который установил также  связь между логарифмами и  вычислением площади, ограниченной осью абсцисс, прямыми и кривой .  

     Свойства  логарифмов впервые были точно сформулированы английским математиком Оутредом в 1648 году. Однако ещё в первой половине XVIII века логарифмирование не причислялось к алгебраическим действиям. Лишь Эйлер в книге «Введение в анализ бесконечно малых» (1748 г.) определил логарифмирование как второе алгебраическое действие, обратное возведению в степень, и, значит, логарифм как некоторый показатель степени. Лейбниц ещё в конце XVII века применял правила логарифмирования для решения показательных уравнений.

     Логарифмическая спираль

     Самолет, вылетевший из какой-нибудь точки земного  шара на север, через некоторое время  окажется над Северным полюсом. Если же он полетит на восток, то, облетев параллель, вернется в тот же пункт, из которого вылетел. Предположим теперь, что самолет будет лететь пересекая все меридианы под одним и тем же углом, отличным от прямого, т. е. держась все время одного и того же курса. Когда он облетит земной шар, то попадет в точку, имеющую ту же долготу, что и точка вылета, но расположенную ближе к Северному полюсу. После следующего облета он окажется еще ближе к полюсу и, продолжая лететь указанным образом, будет описывать вокруг полюса сужающуюся спираль.

Уравнение этой спирали r = , где r – расстояние  от  произвольной точки М на спирали до выбранной точки О, - угол между лучом ОМ и выбранным лучом Ох, а и k - постоянные. Решая его, получим

        ln e^kφ = ln kφ = ln φ = ln  

Так как это  уравнение связано с логарифмической  функцией, то вычисленную по этой формуле спираль называют логарифмической. 
 
 
 
 
 
 
 

§2.Формирование навыков применения

конкретных  видов преобразований 

     Система приемов и правил проведения преобразований имеет очень широкую область приложений: она используется в изучении всего курса математики. Однако именно в силу своей малой специфичности эта система нуждается в дополнительных преобразованиях, учитывающих особенности структуры преобразуемых выражений и свойства вновь вводимых операций и функций. Освоение соответствующих видов преобразований начинается с введения формул сокращенного умножения. Затем рассматриваются преобразования, связанные с операцией возведения в степень, с различными классами элементарных функций – показательных, степенных, логарифмических, тригонометрических. Каждый из этих типов преобразований проходит этап изучения, на котором внимание сосредоточивается на усвоении их характерных особенностей.

     По  мере накопления материала появляется возможность выделить и общие  черты всех рассматриваемых преобразований и на этой основе ввести понятия  тождественного и равносильного  преобразований.

     Следует обратить внимание на то, что понятие  тождественного преобразования дается в школьном курсе алгебры не в  полной общности, а только в применении к выражениям. Преобразования разделяются  на два класса: тождественные преобразования – это преобразования выражений, и равносильные – преобразования формул. В случае, когда возникает  потребность в упрощении одной  части формулы, в этой формуле  выделяется выражение, которое и  служит аргументом применяемого тождественного преобразования.