Теория вероятности

Свойства многомерных  функций распределения аналогичны одномерному случаю. Также сохраняется взаимно-однозначное соответствие между распределениями на и многомерными функциями распределения. Однако, формулы для вычисления вероятностей существенно усложняются, и потому функции распределения редко используются для n > 1.

Пусть — случайная величина, определённая на некотором вероятностном пространстве. Тогда

где символ M обозначает математическое ожидание.

[править] Замечания

• В силу линейности математического ожидания справедлива  формула:

• Дисперсия является вторым центральным моментом случайной величины;
• Дисперсия может быть бесконечной. См., например, распределение Коши.
• Дисперсия может быть вычислена с помощью производящей функции моментов U(t):

D[X] = U''(0) − U'²(0)

• Дисперсия целочисленной случайной величины может быть вычислена с помощью производящей функции последовательности.

[править] Свойства

• Дисперсия любой случайной величины неотрицательна:
• Если дисперсия случайной величины конечна, то конечно и её математическое ожидание;
• Если случайная величина равна константе, то её дисперсия равна нулю: D[a] = 0. Верно и обратное: если D[X] = 0, то X = M[X] почти всюду;
• Дисперсия суммы двух случайных величин равна:

, где  – их ковариация;

• Для дисперсии произвольной линейной комбинации нескольких случайных величин имеет место равенство:

, где  ;

• В частности, D[X₁ + ... + X_n] = D[X₁] + ... + D[X_n] для любых независимых или некоррелированных случайных величин, так как их ковариации равны нулю;

[править] Пример

Пусть случайная  величина имеет стандартное непрерывное равномерное распределение на т. е. её плотность вероятности задана равенством

Тогда

и

Тогда

Пусть — случайная величина, определённая на некотором вероятностном пространстве. Тогда

где символ M обозначает математическое ожидание.

[править] Замечания

• В силу линейности математического ожидания справедлива  формула:

• Дисперсия является вторым центральным моментом случайной величины;
• Дисперсия может быть бесконечной. См., например, распределение Коши.
• Дисперсия может быть вычислена с помощью производящей функции моментов U(t):

D[X] = U''(0) − U'²(0)

• Дисперсия целочисленной случайной величины может быть вычислена с помощью производящей функции последовательности.

[править] Свойства

• Дисперсия любой случайной величины неотрицательна:
• Если дисперсия случайной величины конечна, то конечно и её математическое ожидание;
• Если случайная величина равна константе, то её дисперсия равна нулю: D[a] = 0. Верно и обратное: если D[X] = 0, то X = M[X] почти всюду;
• Дисперсия суммы двух случайных величин равна:

, где  – их ковариация;

• Для дисперсии произвольной линейной комбинации нескольких случайных величин имеет место равенство:

, где  ;

• В частности, D[X₁ + ... + X_n] = D[X₁] + ... + D[X_n] для любых независимых или некоррелированных случайных величин, так как их ковариации равны нулю;

[править] Пример

Пусть случайная  величина имеет стандартное непрерывное равномерное распределение на т. е. её плотность вероятности задана равенством

Тогда

и

Тогда

Пусть — фиксированное вероятностное пространство. Пусть суть два случайных события, причём . Тогда условной вероятностью события A при условии события B называется

.

[править] Замечания

• Прямо из определения очевидно следует, что

.

• Если , то изложенное определение условной вероятности неприменимо.
• Условная вероятность является вероятностью, то есть функция , заданная формулой

,

удовлетворяет всем аксиомам вероятностной меры.

[править] Пример

Если A,B — несовместимые события, то есть и , то

и

.

Пусть есть бесконечная  последовательность одинаково распределённых и некоррелированных случайных величин , определённых на одном вероятностном пространстве . То есть их ковариация . Пусть . Обозначим S_n выборочное среднее первых n членов:

.

Тогда .

[править] Усиленный закон больших чисел

Пусть есть бесконечная  последовательность независимых одинаково распределённых случайных величин , определённых на одном вероятностном пространстве . Пусть . Обозначим S_n выборочное среднее первых n членов:

.

Тогда почти наверное.

Классическая формулировка Ц.П.Т.

Пусть есть бесконечная последовательность независимых одинаково распределённых случайных величин, имеющих конечное математическое ожидание и дисперсию. Обозначим последние μ и σ², соответственно. Пусть . Тогда

по распределению при ,

где N(0,1) — нормальное распределение с нулевым математическим ожиданием и стандартным отклонением, равным единице. Обозначив символом выборочное среднее первых n величин, то есть , мы можем переписать результат центральной предельной теоремы в следующем виде:

по распределению при .

[править] Замечания

• Неформально говоря, классическая центральная предельная теорема утверждает, что сумма  n независимых одинаково распределённых случайных величин имеет распределение, близкое к N(nμ,nσ²). Эквивалентно, имеет распределение близкое к N(μ,σ² / n).
• Так как функция распределения стандартного нормального распределения непрерывна, сходимость к этому распределению эквивалентна поточечной сходимости функций распределения к функции распределения стандартного нормального распределения. Положив , получаем , где Φ(x) — функция распределения стандартного нормального распределения.
• Центральная предельная теорема в классической формулировке доказывается методом характеристических функций (теорема Леви о непрерывности).
• Вообще говоря, из сходимости функций распределения не вытекает сходимость плотностей. Тем не менее в данном классическом случае имеет место.

[править] Локальная Ц.П.Т.

В предположениях классической формулировки, допустим в дополнение, что распределение  случайных величин абсолютно непрерывно, то есть оно имеет плотность. Тогда распределение Z_n также абсолютно непрерывно, и более того,

при ,

где - плотность случайной величины Z_n, а в правой части стоит плотность стандартного нормального распределения.

[править] Некоторые обобщения

Результат классической центральной предельной теоремы  справедлив для ситуаций гораздо  более общих, чем полная независимость  и одинаковая распределённость.

[править] Ц.П.Т. Линдеберга

Пусть независимые  случайные величины определены на одном и том же вероятностном пространстве и имеют конечные математические ожидания и дисперсии: . Как и прежде построим частичные суммы . Тогда в частности, . Наконец, пусть выполняется условие Линдеберга: