Теория вероятности

Вероятность (вероятностная мера) — мера достоверности случайного события. Оценкой вероятности события может служить частота его наступления в длительной серии независимых повторений случайного эксперимента. Согласно определению П. Лапласа мерой вероятности называется дробь, числитель которой есть число всех благоприятных случаев, а знаменатель - число всех возможных случаев.

Вероятность - мера, заданная на измеримом пространстве (Ω, X):

1.

2.

3. обладает свойством  сигма-аддитивности (счетной аддитивности)

[править] Вероятность в математике

Математически классическая (т.е. неквантовая) вероятность задаётся аксиоматикой Колмогорова как мера на вероятностном пространстве, причём мера всего пространства равна единице. При этом случайные события определяются как измеримые подмножества этого пространства

Вероятностное пространство — это тройка , где

• — это произвольное множество, элементы которого называются элементарными событиями, исходами или точками;
• — сигма-алгебра подмножеств , называемых (случайными) событиями;
• — вероятностная мера или вероятность, т.е. сигма-аддитивная конечная мера, такая что .

[править] Замечания

• Элементарные  события (элементы ), по определению, — это исходы случайного эксперимента, из которых в эксперименте происходит ровно один.
• Каждое случайное событие (элемент ) — это подмножество . Говорят, что в результате эксперимента произошло случайное событие , если (элементарный) исход эксперимента является элементом A. 
  Требование, что является сигма-алгеброй подмножеств , позволяет, в частности, говорить о вероятности случайного события, являющегося объединением счетного числа случайных событий, а также о вероятности дополнения любого события.

[править] Конечные вероятностные пространства

Простым и часто  используемым примером вероятностного пространства является конечное пространство. Пусть  — конечное множество, содержащее элементов.

В качестве сигма-алгебры  удобно взять семейство всех подмножеств . Его часто символически обозначают . Легко показать, что общее число членов этого семейства, т.е. число различных случайных событий, как раз равно , что объясняет обозначение.

Вероятность, вообще говоря, можно определять произвольно. Часто, однако, нет причин считать, что  один элементарный исход чем-либо предпочтительнее другого. Тогда естественным способом ввести вероятность является:

,

где , и - число элементарных исходов, принадлежащих .

В частности, вероятность  любого элементарного события:

[править] Пример

Рассмотрим эксперимент  с бросанием уравновешенной монеты. Тогда естественным способом задать вероятностное пространство будет взять и определить вероятность следующим образом:

Пусть — вероятностное пространство. Функция , измеримая относительно и борелевской σ-алгебры на , называется случайной величиной.

Вероятностное поведение случайной величины полностью  описывается её распределением.

[править] Простейшие обобщения

Случайная величина, вообще говоря, может принимать значения в любом измеримом пространстве. Тогда её чаще называют случайным  вектором или случайным элементом. Например,

• Измеримая функция называется n-мерным случайным вектором (относительно борелевской σ-алгебры на ).
• Измеримая функция называется n-мерным комплексным случайным вектором (также относительно соответствующей борелевской σ-алгебры).
• Измеримая функция, отображающая вероятностное пространство в пространство подмножеств некоторого (конечного) множества, называется (конечным) случайным множеством.

При рассмотрении количества m появлений события A в n испытаниях Бернулли чаще всего нужно найти вероятность того, что m заключено между некоторыми значениями a и b. Так как при достаточно больших n промежуток [a,b] содержит большое число единиц, то непосредственное использование биномиального распределения

требует громоздких вычислений, так как нужно суммировать  большое число определённых по этой формуле вероятностей.

Поэтому используют асимптотическое выражение для биномиального распределения при условии, что p фиксированно, а . Теорема Муавра-Лапласа утверждает, что таким асимптотическим выражением для биномиального распределения является нормальная функция.

[править] Формулировка

Если в схеме Бернулли n стремится к бесконечности, p (0 < p < 1) постоянно, величина ограничена равномерно по m и n , то

где , c > 0, c - постоянная.

Приближённую  формулу

рекомендуется применять при n > 100 и npq > 20.

При рассмотрении количества m появлений события A в n испытаниях Бернулли чаще всего нужно найти вероятность того, что m заключено между некоторыми значениями a и b. Так как при достаточно больших n промежуток [a,b] содержит большое число единиц, то непосредственное использование биномиального распределения

требует громоздких вычислений, так как нужно суммировать большое число определённых по этой формуле вероятностей.

Поэтому используют асимптотическое выражение для биномиального распределения при условии, что p фиксированно, а . Теорема Муавра-Лапласа утверждает, что таким асимптотическим выражением для биномиального распределения является нормальная функция.

[править] Формулировка

Если в схеме Бернулли n стремится к бесконечности, p (0 < p < 1) постоянно, величина ограничена равномерно по m и n , то

где , c > 0, c - постоянная.

Приближённую  формулу

рекомендуется применять при n > 100 и npq > 20.

Пусть дано вероятностное пространство , и на нём определена случайная величина X с распределением . Тогда функцией распределения случайной величины X называется функция , задаваемая формулой:

- импортное определение;

- определение, принятое в российской  литературе.

[править] Свойства

• F_X не убывает на всей числовой прямой.
• F_X непрерывна справа.
• .
• .
• Распределение случайной величины однозначно определяет функцию распределения.
• Верно и обратное: если функция F(x) удовлетворяет четырём перечисленным выше свойствам, то существует вероятностное пространство и определённая на нём случайная величина, такая что F(x) является её функцией распределения.
• По определению непрерывности справа, функция F_X имеет правый предел F_X(x + ) в любой точке , и он совпадает со значением функции F_X(x) в этой точке.
• В силу неубывания, функция F_X также имеет и левый предел F_X(x − ) в любой точке , который может не совпадать со значением функции. Таким образом, функция F_X либо непрерывна в точке, либо имеет в ней разрыв первого рода.

[править] Тождества

Из свойств вероятности следует, что , таких что a < b:

• ;
• ;
• ;
• ;
• ;
• ;
• ;
• .

[править] Дискретные распределения

Если случайная  величина X дискретна, то есть её распределение однозначно задаётся функцией вероятности

,

то функция  распределения F_X этой случайной величины кусочно-постоянна и может быть записана как:

.

Эта функция  непрерывна в любой точке , такой что , и имеет разрыв, равный p_i, в x = x_i.

[править] Непрерывные распределения

Распределение называется непрерывным, если такова его функция распределения F_X. В этом случае:

,

и

,

а следовательно  формулы имеют вид:

,

где | a,b | означает любой интервал, открытый или закрытый, конечный или бесконечный.

[править] Абсолютно непрерывные распределения

Распределение называется абсолютно непрерывным, если существует неотрицательная почти всюду (относительно меры Лебега) функция f_X(x), такая что:

.

Функция f_X называется плотностью распределения. Известно, что функция абсолютно непрерывного распределения непрерывна, и, более того, если , то , и

.

[править] Вариации и обобщения

[править] Многомерные функции распределения

Пусть фиксированное вероятностное пространство, и — случайный вектор. Тогда распределение является вероятностной мерой на . Функция этого распределения задаётся по определению следующим образом:

,

где в данном случае обозначает декартово произведение множеств.