Теория игр

Курсовая работа по курсу математики 
 

Содержание 
 

Введение 

1. Понятие об  игровых моделях 

2. Платёжная  матрица. Нижняя и верхняя цена  игры 

3. Решение игр  в смешанных стратегиях 

4. Приведение  матричной игры к задаче линейного  программирования 

Заключение 

Список литературы 

Введение 
 

В нашей жизни  часто приходиться сталкиваться с задачами, в которых необходимо принимать решения в условиях неопределённости, т. е. возникают ситуации, в которых две (или более) стороны  преследуют различные цели, а результаты любого действия каждой из сторон зависят от мероприятий партнера. Такие ситуации, возникающие при игре в шахматы, шашки, домино и т.п., относятся к конфликтным: результат каждого хода игрока зависит от ответного хода противника, цель игры - выигрыш одного из партнёров. 

В экономике  конфликтные ситуации встречаются  очень часто и имеют многообразный  характер. К ним относятся, например, взаимоотношения между поставщиком  и потребителем, покупателем и  продавцом, банком и клиентом. Во всех этих примерах конфликтная ситуация порождается различием интересов партнёров и стремлением каждого из них принимать оптимальные решения, которые реализуют поставленные цели в наибольшей степени. При этом каждому приходится считаться не только со своими целями, но и с целями партнёра, и учитывать неизвестные заранее решения, которые эти партнёры будут принимать. 

Для грамотного решения задач с конфликтными ситуациями необходимы научно обоснованные методы. Такие методы разработаны  математической теорией конфликтных  ситуаций, которая носит название теория игр. 

В первой главе  «Понятие об игровых моделях» раскрываются основные понятия теории игр. 

Во второй главе  «Платёжная матрица. Нижняя и верхняя  цена игры» описано как при  помощи платёжной матрицы можно  найти нижнюю и верхнюю цену игры. 

В третьей главе  «Решение игр в смешанных стратегиях»  рассмотрено решение задачи. 

В последней, четвёртой  главе, «Приведение матричной игры к задаче линейного программирования»  показано как платёжную матрицу  можно решить при помощи линейного  программирования. 

Целью данной работы является - Понять теорию игр, для чего она нужна. 

Для выполнения поставленной цели выявлены следующие  задачи: 

1. понятие «игровые  модели»; 

2. как используется  линейное программирование. 

1. Понятие об  игровых моделях 
 

Математическая модель конфликтной ситуации называется игрой, стороны, участвующие в конфликте, - игроками, а исход конфликта - выигрышем. Для каждой формализованной игры вводятся правила, т.е. система условий, определяющая: 

1) варианты действий  игроков; 

2) объём информации каждого игрока о поведении партнёров; 

3) выигрыш, к  которому приводит каждая совокупность  действий. 

Как правило, выигрыш (или проигрыш) может быть задан  количественно. Например, можно оценить  проигрыш нулем, выигрыш - единицей, а  ничью . 

Игра называется парной, если в ней участвуют два  игрока, и множественной, если число  игроков больше двух. Будем рассматривать  только парные игры. В них участвуют  два игрока А и В, интересы которых  противоположны, а под игрой будем  понимать ряд действий со стороны А и В. 

Игра называется игрой с нулевой суммой, или  антагонистической, если выигрыш одного из игроков равен проигрышу другого, т. е. для полного задания игры достаточно указать величину одного из них. Если обозначить а - выигрыш  одного из игроков, b- выигрыш другого, то для игры с нулевой суммой b = -а, поэтому достаточно рассматривать, например а. 

Выбор и осуществление  одного из предусмотренных правилами  действий называется ходом игрока. Ходы могут быть личными и случайными. Личный ход - это сознательный выбор игроком одного из возможных действий (например, ход в шахматной игре). Случайный ход - это случайно выбранное действие (например, выбор карты из перетасованной колоды). В дальнейшем будем рассматривать только личные ходы игроков. 

Стратегией игрока называется совокупность правил, определяющих выбор его действия при каждом личном ходе в зависимости от сложившейся ситуации. Обычно в процессе игры при каждом личном ходе игрок делает выбор в зависимости от конкретной ситуации. Однако в принципе, возможно, что все решения приняты игроком заранее (в ответ на любую сложившуюся ситуацию). Это означает, что игрок выбрал определённую стратегию, которая может быть задана в виде списка правил или программы. (Так можно осуществить игру с помощью ЭВМ). Игра называется конечной, если у каждого игрока имеется конечное число стратегий, и бесконечной - в противном случае. 

Для того чтобы  решить игру, или найти решение  игры, следует для каждого игрока выбрать стратегию, которая удовлетворяет  условию оптимальности, т. е. один из игроков должен получать максимальный выигрыш, когда второй придерживается своей стратегии. В то же время второй игрок должен иметь минимальный проигрыш, если первый придерживается своей стратегии. Такие стратегии называются оптимальными. Оптимальные стратегии должны также удовлетворять условию устойчивости, т. е. любому из игроков должно быть невыгодно отказаться от своей стратегии в этой игре. 

Если игра повторяется  достаточно много раз, то игроков  может интересовать не выигрыш и  проигрыш в каждой конкретной партии, а средний выигрыш (проигрыш) во всех партиях. 

Целью теории игр  является определение оптимальной  стратегии для каждого игрока. При выборе оптимальной стратегии  естественно предполагать, что оба  игрока ведут себя разумно с точки зрения своих интересов. Важнейшее ограничение теории игр - единственность выигрыша как показателя эффективности, в то время как в большинстве реальных экономических задач имеется более одного показателя эффективности. Кроме того, в экономике, как правило, возникают задачи, в которых интересы партнеров не обязательно антагонистические. 

2. Платёжная  матрица. Нижняя и верхняя цена  игры 
 

Рассмотрим парную конечную игру. Пусть игрок А располагает m личными стратегиями, которые обозначим  А1, А2, …,Аm. Пусть у игрока В имеется n личных стратегий, обозначим их В1,В2, …, Вn. Говорят, что игра имен размерность mn. В результате выбора игроками любой пары стратегий 

Ai и Bi (I = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n) 

однозначно определяется исход игры, т. е. выигрыш aij игрока A (положительный или отрицательный) и проигрыш (- aij) игрока В. Предположим, что значения aij известны для любой пары стратегий (Ai, Bj). Матрица Р = (аij), i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n, элементами которой являются выигрыши, соответствующие стратегиям Ai и Bj, называется платёжной матрицей или матрицей игры. Общий вид такой матрицы представлен в табл. 1. Строки этой таблицы соответствуют стратегиям игрока А, а столбцы - стратегиям игрока В.  

Составим платёжную  матрицу для следующей игры. 

Таблица 1 

Аj Bi 

B1 

B2 

… 

Bn  

A1 

a11 

a12 

… 

a1n  

A2 

a21 

a22 

… 

a2n  

… 

… 

… 

… 

…  

Am 

am1 

am2 

… 

amn  
 
 
 

1. Игра «поиск». 

Игрок А может  спрятаться в одном из убежищ ( I и II); игрок В ищет игрока А, и если найдёт, то получает штраф 1 ден. ед. от А, в противном случае платит игроку А 1 ден. ед. Необходимо построить платёжную матрицу игры. 

Решение. Для  составления платёжной матрицы  следует проанализировать поведение  каждого из игроков. Игрок А может  спрятаться в убежище I - обозначим  эту стратегию через А1 или в убежище II - стратегия А2. 

Игрок В может  искать первого игрока в убежище I - стратегия В1, либо в убежище II - стратегия В2. Если игрок А находится  в убежище I и там его обнаруживает игрок В, т.е. осуществляется пара стратегий (А1, В1), то игрок А платит штраф, т.е. а11 = -1. аналогично получаем а22 = -1 (А2, В2). Очевидно, что стратегии (А1, В1) и (А2, В2) дают игроку А выигрыш 1, поэтому а12 = а21 = 1.  

- начало условия  задачи; - окончание решения задачи. 

Таким образом, для игры «поиск» размера 2 2 получаем платежную матрицу 

Р =( ). 

Рассмотрим игру m n с матрицей Р = (аij), i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n и определим наилучшую среди  стратегий А1, А2, …, Аm. Выбирая стратегию Ai , игрок А должен рассчитывать, что игрок В ответит на неё  той из стратегий Bj, для которой выигрыш для игрока А минимален (игрок В стремится «навредить» игроку А). 

Обозначим через  аi наименьший выигрыш игрока А при  выборе им стратегии Ai для всех возможных  стратегий игрока В (наименьшее число  в i-ой строке платёжной матрицы), т.е.  

аij = i. (1.1) 

среди всех чисел ?i (i = 1, 2, …, m) выберем наибольшее: ? = ?i. Назовем ? нижней ценой игры, или  максимальным выигрышем (максимином). Это гарантированный выигрыш  игрока А при любой стратегии  игрока В. Следовательно,  

? = aij. (1.2) 

Стратегия, соответствующая  максимину, называется максиминной  стратегией. Игрок В заинтересован  в том, чтобы уменьшить выигрыш  игрока А; выбирая стратегию Bj , он учитывает  максимально возможный при этом выигрыш для А. Обозначим  

?j = aij (1.3) 

Среди всех чисел ?j выберем наименьшее ? = ?j и назовем ? верхней ценой игры или минимаксным  выигрышем (минимаксом). Это гарантированный  проигрыш игрока В. Следовательно, 

? = aij. (1.4) 

Стратегия, соответствующая  минимаксу, называется минимаксной  стратегией. 

Принцип, диктующий  игрокам выбор наиболее «осторожных» минимаксной и максиминной стратегий, называется принципом минимакса. Этот принцип следует из разумного  предположения, что каждый игрок  стремится достичь цели, противоположной  цели противника. Определим нижнюю и верхнюю цены игры и соответствующие стратегии в задаче 1. Рассмотрим платёжную матрицу 

Р = ( ). 

из задачи 1. При  выборе стратегии А1 (первая строка матрицы) минимальный выигрыш равен ?1 = min(-1;1) = -1 и соответствует стратегии ?1 игрока В. При выборе стратегии А2 (вторая строка матрицы) минимальный выигрыш равен ?2 = min(1;-1) = -1, он достигается при стратегии В2. 

Гарантируя себе максимальный выигрыш при любой  стратегии игрока В, т.е. нижнюю цену игры ? = max(?1, ?2) = max(-1;-1) = -1, игрок А может выбирать любую стратегию: А1 или А2, т.е. любая его стратегия является максиминной. 

Выбирая стратегию  В1 (столбец 1), игрок В понимает, что  игрок А ответит стратегией А2, чтобы максимизировать свой выигрыш (проигрыш В). Следовательно, максимальный проигрыш игрока В при выборе им стратегии В1 равен ?1 = max(-1;1) = 1. 

Аналогично максимальный проигрыш игрока В (выигрыш А) при  выборе им стратегии В2 (столбец 2) равен ?2 = max(1;-1) = 1. 

Таким образом, при любой стратегии игрока А  гарантированный минимальный проигрыш игрока В равен ? = min (?1; ?2) = min(1;1) = 1 - верхней цене игры. 

Любая стратегия  игрока В является минимаксной. Дополнив табл. 1 строкой ?j и столбцом ?i , получим  табл. 2. На пресечении дополнительных строки и столбца будем записывать верхнюю и нижнюю цены игр. 

Таблица 2. 

Аj Bi 

В1 

В2