Теория автоматического управления

       

       Где

       

       

            

       Таким образом коэффициенты d_i и v_i равны:

       d_o =0,0138 v_o =0,00019

       d₁ =0,306 v₁ =-0,143

       d₂ =1,786 v₂ =3,19

       d₃ = k_рк

        Составим определитель Δ по правилу составления определителя Гурвица

        

          

      Определитель D_v составляем из определителя D путем замены коэффициентов верхней строки на коэффициенты n₀, n₁ и n₂.

        

             

       Вычисляем квадратичную интегральную оценку:

       

       Задаваясь численными значениями k_рк, составляем таблицу зависимости квадратичной интегральной оценки от коэффициента k_рк, которая приведена ниже.

 

Таблица 5. – Расчетные данные для построения кривой зависимости интегральной оценки от передаточного коэффициента разомкнутого контура

 
 

  

 

Рис. 9 - Кривая зависимости интегральной оценки от передаточного коэффициента разомкнутого контура

 

      При помощи программы Matlab вычислим минимум функции Q_кв на интервале [1;35], он равен 10,56. Следовательно, оптимальным значением k_рк является k_рк=10,56. При данном значении коэффициента разомкнутого контура система будет работать в оптимальном режиме, обеспечивая минимальную площадь под графиком переходного процесса.

      Теперь  перейдем от коэффициента k_рк к передаточному коэффициенту k_у. Для этого воспользуемся следующей формулой:

      

      При коэффициенте k_рк=10,56 и квадратичной интегральной оценке равной Q=0.3166 передаточный коэффициент управляющего устройства k_у.= 45,8.

 

Вывод: В этом разделе с помощью квадратичной интегральной оценки получили оптимальное  значение передаточного коэффициента управляющего устройства (k_у=45,8). Этот коэффициент получился меньше, чем тот, что был выбран в разделе 2 (k_у=56,3). Следовательно, при выборе этого коэффициента точность системы в установившемся режиме увеличится, но могут получиться более колебательные переходные процессы. 

7. Вычисление и минимизация дисперсии сигнала ошибки при случайных воздействиях

 

     Дисперсия сигнала ошибки D_e при действии на систему внешних некоррелированных воздействий х_з и g может быть представлена суммой:

     

 где D_eз – дисперсия, обусловленная неточным воспроизведением задающего воздействия;

       D_eg – дисперсия, обусловленная неполным подавлением помех.

    Вычислим  дисперсию, обусловленную неточным воспроизведением задающего воздействия:

     

     где S_хз(ω) – спектральная плотность полезного сигнала

     

     Запишем передаточную функцию замкнутого контура по каналу ошибки х_з-ε.

      

      

     Заменяем  р на jω:

     

     Подставим это выражение в формулу дисперсии, обусловленной неточным воспроизведением задающего воздействия:

     

     

=

=

=

 

     где

     

           

     

     Подставим это выражение в формулу дисперсии, обусловленной неточным воспроизведением задающего воздействия:

     

     

     Вычисление  дисперсии неточного задающего  воспроизведения вычислим по формуле:

     

     Запишем коэффициенты v_i  и  d_i для составления определителей Δ и Δ_v :

     v₀=0.0024 d₀=0.0138

     v₁=-4.26 d₁=0.307

     v₂=45.624 d₂=1.817

      v₃=12 d₃=1.1786+k_рк

                                       d₄=0,1+0,1k_рк

    Определитель D составляется из коэффициентов d_i по правилу составления определителя Гурвица.

     

     Определитель  Δ_v составляем путем замены коэффициентов верхней строки матрицы Δ на коэффициенты v_i .

     

     где А_ij - алгебраические дополнения элементов определителя

     

     

     

     

     Подставим значения алгебраических дополнений в формулы определителей Δ и Δ₁ .

     

       

        

      =

        

    Далее вычислим дисперсию, обусловленную неполным подавлением помехи:

где S_g(w) – спектральная плотность помехи

     

=120

    Запишем передаточную функцию скорректированной  системы по каналу «g-e»:

    

             

    Отдельно  раскроем скобки и приведем подобные члены знаменателя, после чего подставим численные значения постоянных времени.

    

    Подставим численные значения в формулу  передаточной функции скорректированной  системы по каналу «g-e»:

    

            

 

    Далее подставим передаточную функцию  системы по каналу «g-e» в формулу дисперсии неполного подавления помехи:

   

     

     

     где

     

           

     

          

 

    Подставим это выражение в формулу дисперсии  неполного подавления помехи:

 

  

 

    

     

     Вычисление  дисперсии неполного подавления помехи вычислим по формуле:

     

     Запишем коэффициенты v_i  и  d_i для составления определителей Δ и Δ_v :

     v₀=0 d₀=0,165

     v₁=0,0084  d₁=3,2

     v₂=4,2 -2,04  d₂=0,462 k_рк+3,84

      v₃=120  d₃=1.705k_рк+3,67

                                       d₄=1,1+1,1k_рк

    Определитель D составляется из коэффициентов d_i по правилу составления определителя Гурвица.

    

     Определитель  Δ_v составляем путем замены коэффициентов верхней строки матрицы Δ на коэффициенты v_i .

 

   где А_ij - алгебраические дополнения элементов определителя

     

     

     

    

     Подставим значения алгебраических дополнений в формулы определителей Δ и Δ₁ .

     

       

=

         

 

    В соответствии с найденными аналитическими выражениями дисперсии неточного задающего воспроизведения и неполного подавления помехи составим таблицу для построения графиков D_εз =f(k_рк) и D_gε =f(k_рк), а также суммарного графика D_ε =f(k_рк).

 

    Таблица 6 - Расчетные данные для построения графиков зависимости дисперсии от передаточного коэффициента разомкнутого контура