Теория автоматического управления

     

     Вычислим  значение фазы на частоте среза φ(ω_ср) (значение частоты ω_ср = 6,59).

     

     φ(ω_ср)=

     Находим запас устойчивости системы по фазе.

     

     Методом подбора найдем ω_π , при которой φ(ω_π) = 180^о.

     

     При   

     ω_π =11,5 φ(ω_π)=180,7^о

     Чтобы определить запас устойчивости системы  по амплитуде необходимо на ЛАЧХ скорректированной  системы отметить частоту ω_π =11,5 и определить на этой частоте запас амплитуды.

     Как видно из рисунка 3 запас устойчивости по амплитуде ΔL=13дБ.

 
 

Вывод: В разделе 2 было доказано, что нескорректированная  система при увеличенном коэффициенте k_у=56,3 была не устойчива. В данном разделе, введя корректирующее устройство и проанализировав ЛАЧХ уже скорректированной системы можно видеть, что скорректированная система устойчива и имеет запасы устойчивости по амплитуде и фазе:

ΔL=13дБ

 
 

 

4. Построение  области устойчивости скорректированной  системы

 

     Исходным  выражением для построения области  устойчивости является характеристическое уравнение замкнутого контура скорректированной системы. Запишем это характеристическое уравнение:

     

     Подставим в формулу выражение для передаточной функции разомкнутого контура.

     

     

     

     

     

     Заменяем  р на jω.

     

Объединим действительную и мнимую составляющие выражения:

      Приравняем  к нулю действительную и мнимую части:

    

Упорядочим  систему уравнений относительно параметров k_рк  и T_o :

Решим эту  систему уравнений методом Крамера.

 

Подставим значения коэффициентов в выражения k_рк и Т_о .

 

                      

=

 

     Так как область устойчивости надо строить  в плоскости параметров k_и и T_О, то сделаем переход от коэффициента k_рк к коэффициенту k_и .

     

    С учетом этого запишем уравнение  k_рк относительно нужного нам параметра k_и .

k_и =

     Задаваясь значениями частоты ω от 0 до ∞, составляем таблицу 2, получаем данные для построения границы области устойчивости системы в плоскости двух параметров k_и и T_о .

 

      Таблица 2. – Расчетные данные для построения границы области устойчивости системы

 
 

    Используя данные таблицы 2, построим область  устойчивости скорректированной системы в плоскости двух параметров k_и и T_о. Область устойчивости приведена на рисунке 5.

 

 

     Рис. 5. - Область устойчивости скорректированной системы в плоскости двух параметров k_и и T_о

 
 

Вывод: Как видно из рисунка 5 при коэффициенте k_и =0,35 и постоянной времени Т_о=1.6 система находится в области устойчивой работы, что означает правильность расчета корректирующего устройства. Таким образом, при заданных настройках системы автоматического регулирования, удовлетворяющих требованиям точности, система устойчива.

 
 
 
 
 

 

     

5. Построение графика переходного процесса и оценка качества

скорректированной системы

5.1 Моделирование системы на АВМ

 

    Исходным  выражением для моделирования является передаточная функция разомкнутой скорректированной системы W_ск(р).

    

    

    

 

                                                         W₁(p)            W₂(p)         W₃(p)

 

    Составим  алгоритмическую схему

                       

     Рис. 6. Алгоритмическая схема

 

    Составим  аналоговую модель системы на основании  моделей типовых динамических звеньев. Схема модели приведена на рисунке 7.

:

     Рис. 7 Схема аналоговой  модели системы

    Рассчитаем  машинные коэффициенты модели.

           Машинные коэффициенты для звена W₁:

         

         

            Машинные коэффициенты для звена  W₂:

         

         

            Машинные коэффициенты для звена  W₃:

         

         

 
 
 

 

                                    

 

             

 
 

 

                                    

 

2. Моделирование системы на ЦВМ

Исходным выражением для моделирования является передаточная функция замкнутой системы Ф(р)_Хз-ε.

      

      Раскроем  скобки и приведем передаточную функцию к стандартному виду:

      

      Подставим в формулу численные значения:

         =

 

=

     Составим  таблицу исходных данных для цифрового моделирования, куда входят округленные коэффициенты b_i и a_i ,а также параметры моделирования: «шаг интегрирования» - Δt, «шаг печати» - t_печ и «длительность выполнения расчетов» - t_к.

     t_п=1.6; t_к=1.2 t_п=2; t_печ= t_к/20=2/20=0.1; Δt= t_печ/50=0.1/50=0.002.

 

     Таблица 3. – Исходные данные для цифрового моделирования

 

     Таблица 4. – Результаты цифрового моделирования

 
 

     На  основании данных таблицы 4 построим график переходного процесса и определим  основные показатели качества – перерегулирование  σ и длительность переходного процесса t_п:

     Рис. 8 - Переходная характеристика системы по каналу ошибки x_з – ε

      ; t_п≈2 с.

     ε(∞)=0,07  -  что удовлетворяет заданию

 
 
 

 

     

6. Вычисление и минимизация квадратичной интегральной оценки

при типовом воздействии

 

      Исходным  выражением для вычисления квадратичной интегральной оценки является передаточная функция замкнутой скорректированной системы по каналу х_з-ε при единичном ступенчатом воздействии (то есть принимаем задающее воздействие Х_з(t)=1, а следовательно Х_з(р)=1/р). Запишем эту передаточную функцию:

      

      Раскроем  скобки и приведем передаточную функцию к стандартному виду:

      

      Подставим в формулу численные значения:

        

      Запишем выражение для изображения переходной составляющей сигнала ошибки:

      

      Так как передаточный коэффициент разомкнутого контура k_рк≥10 допускается упростить выражение для изображения переходной составляющей с учетом следующих условий:

      k_рк+1=k_рк   и   k_рк-1=k_рк

       Преобразуем выражение для изображения переходной составляющей сигнала ошибки, используя вышеприведенные условия:

       

             =

             

             

             

       Для вычисления квадратичной оценки по изображению  используют равенство Парсеваля, которое  имеет вид: