Теоремы тригонометрии

Доказательство:

        Введём систему координат с началом в точке С так, чтобы точка В лежала на положительной полуоси Сх, а точка А имела положительную ординату. Площадь данного треугольника можно вычислить по формуле S = ½ ah, где h – высота треугольника. Но h равна ординате точки А, т.е. h= b sin C (т.к. sin C = h/b) => S = ½ ab sin C

                                                                                                                    Ч.т.д. 
 
 
 
 
 

 

 Теорема синусов:

Дано:

∆АВС АВ= с, ВС= а, СА= b

Доказать:

a/ sinA = b/ sin B = c/ sinC

Доказательство:

По теореме  о площади треугольника  S= ½ ab sinC, S = ½ bc sinA,       S= ½ ac sinB.                                                                                                                

Из первых двух равенств получаем ½ ab sinC = ½ bc sinA,

 ½ ab sinC = ½ bc sinA  │ : ½ b

a sinC = c sinA │: sinA sinC

a/sinA = c/sinC

Точно также  из второго и третьего равенства  получаем

½ bc sinA = ½ ac sinB │: ½ c

b sinA = a sinB  │: sinA sinB

b/sinB = a/sinA

Так как a/sinA = c/sinC и b/sinB = a/sinA, то a/sinA= b/sinB= c/sinC.

                                                                                                      Ч.т.д.

 

Замечание:

Отношение стороны треугольника к синусу противолежащего

угла равно  диаметру описанной окружности.

a/sinA= b/sinB= c/sinC= 2R

Дано:

R – радиус описанной окружности, ВС = a, BA1 - диаметр

Доказать:

BC/sinA = 2R (BC=2R sinA)

Доказательство:

      Проведем  диаметр ВА1. Рассмотрим ∆А1ВС, ∟С - прямоугольный => ВС=ВА1×sinA1. Если т.А1 лежит на дуге ВАС, то ∟А1=∟А, если на дуге BDC, то ∟A1= 180°  - ∟A. И в том, и в другом случае sinA1 = sinA => BC= BA1*sinA,  BC= 2R sinA или BC/sinA= 2R.   

                                                                                                                Ч.т.д.

 

Теорема косинусов:

Дано: 
∆АВС АВ= с, ВС= а, СА= b

Доказать:

a² = b² + c² − 2bc cosα

Доказательство: 

      Введем  систему координат с началом  в точке А. Точка В имеет координаты (с; 0), а точка С(b cosA; b sinA). По формуле расстояния между двумя точками d2 = (x2 – x1)2 + (y2 – y1)2 получаем:

ВС²  = a²  = (b cosA – c)² +( b sin А- 0) ², 

a ²= b²cos2A - 2bc cosA + c² + b² sin²A,

a²= b² (cos2A + sin2A) + c²- 2bc cosA,

a²= b²+ c² – 2bc cosA.

                                                                                                    Ч.т.д.

Обобщенная  теорема Пифагора.

      Теорему косинусов называют иногда обобщенной теоремой Пифагора. Такое название объясняется тем, что в теореме  косинусов содержится как частный  случай теорема Пифагора. В самом  деле, если в ∆АВС ∟А прямой, то cosA = cos 90° = 0 и по a² = b² + c² − 2bccosα  получаем:

                                                  a² = b² + c² , 

т.е. квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катета.

 

Задачи

№1

      Решение треугольника по двум сторонам и углу между ними.

Дано:

a = 7 см, b = 23 cм, ∟C = 130°                         

Найти: с, ∟А, ∟В

Решение:

c² = a² + b² − 2bc cosC

с = √49 + 529 - 2×7×23×(-0,643)» 28

cos A = b² + c² − a² / 2bc

cos A = (529 + 784 – 49) / 2 ×23× 28 » 0,981

∟А » 11°

∟В = 180° - (∟А+∟C) = 180°- (11°+130°) » 39°

Ответ: c» 28, ∟А » 11°, ∟B » 39°.

№2

      Решение треугольника по стороне и прилежащим к ней углам.

Дано:

а=20 см, ∟А=75°, ∟В=60° 

Найти: ∟C, b, c

Решение:

∟C= 180-(60°+75°) = 45°

a/sin A = b/sin B = c/sin C                                     

b = a× (sin B/ sin A)

b » 20×(0,866/ 0,966)»17,9

c = a× (sin C/ sin A)

c = 20×(0,7/ 0,966)»14,6

Ответ: ∟C=45°, b » 17,9 см, c » 14,6 см.

 

№3

      Решение треугольника по трем сторонам.

Дано:

а=7 см, b=2 см, с=8 см

Найти: ∟А, ∟В, ∟С.                                          

Решение:

cos A = (4 + 64 – 49) / 2 ×  2 ×  8 » 0,981

∟А» 54°

cos B = (49 + 64 – 4) / 2  × 7  × 8 » 0,973

∟В» 13°

∟С = 180° - (54° + 13°) = 113°

Ответ: ∟А» 54°, ∟В» 13°, ∟С = 113°

№4

      Измерение высоты предмета.

      Предположим, что требуется определить высоту АН какого – то предмета. Для этого  отметим точку В на определённом расстоянии а от основания Н предмета и измерим ∟АВН=a. По этим данным из прямоугольного треугольника АНВ находим высоту предмета:              АН = а tg a.                                 

      Если  основание предмета недоступно, то можно поступить так: на прямой, проходящей через основание Н предмета, отметим  две точки В и С на определенном расстоянии а друг от друга и измерим углы АВН и АСВ: ∟АВН = a, ∟АСВ = b, ∟ВАС = a –b. Эти данные позволяют определить все элементы треугольника АВС; по теореме синусов находим АВ:             АВ = a sinb / sin (a –b). Из прямоугольного треугольника АВН находим высоту АН предмета: