Автор работы: Пользователь скрыл имя, 17 Февраля 2011 в 15:30, реферат
Даны полные сведения о тригонометрических формулах, доказаны теоремы синусов и косинусов, представлены задачи с решением.
Доказательство:
Введём систему координат с началом в точке С так, чтобы точка В лежала на положительной полуоси Сх, а точка А имела положительную ординату. Площадь данного треугольника можно вычислить по формуле S = ½ ah, где h – высота треугольника. Но h равна ординате точки А, т.е. h= b sin C (т.к. sin C = h/b) => S = ½ ab sin C
| Стороны
треугольника пропорциональны синусам
противолежащих углов.
|
Дано:
∆АВС АВ= с, ВС= а, СА= b
Доказать:
a/ sinA = b/ sin B = c/ sinC
Доказательство:
По теореме
о площади треугольника S= ½ ab
sinC, S = ½ bc sinA, S= ½ ac sinB.
Из первых двух равенств получаем ½ ab sinC = ½ bc sinA,
½ ab sinC = ½ bc sinA │ : ½ b
a sinC = c sinA │: sinA sinC
a/sinA = c/sinC
Точно также из второго и третьего равенства получаем
½ bc sinA = ½ ac sinB │: ½ c
b sinA = a sinB │: sinA sinB
b/sinB = a/sinA
Так как a/sinA = c/sinC и b/sinB = a/sinA, то a/sinA= b/sinB= c/sinC.
Замечание:
Отношение стороны треугольника к синусу противолежащего
угла равно диаметру описанной окружности.
a/sinA= b/sinB= c/sinC= 2R
Дано:
R – радиус описанной окружности, ВС = a, BA1 - диаметр
Доказать:
BC/sinA = 2R (BC=2R sinA)
Доказательство:
Проведем диаметр ВА1. Рассмотрим ∆А1ВС, ∟С - прямоугольный => ВС=ВА1×sinA1. Если т.А1 лежит на дуге ВАС, то ∟А1=∟А, если на дуге BDC, то ∟A1= 180° - ∟A. И в том, и в другом случае sinA1 = sinA => BC= BA1*sinA, BC= 2R sinA или BC/sinA= 2R.
| Квадрат
стороны треугольника равен сумме
квадратов двух других сторон минус
удвоенное произведение этих сторон
на косинус угла между ними.
a2 = b2 + c2 − 2bc cosα. |
Дано:
∆АВС АВ= с, ВС= а, СА= b
Доказать:
a2 = b2 + c2 − 2bc cosα
Доказательство:
Введем систему координат с началом в точке А. Точка В имеет координаты (с; 0), а точка С(b cosA; b sinA). По формуле расстояния между двумя точками d2 = (x2 – x1)2 + (y2 – y1)2 получаем:
ВС2 = a2 = (b cosA – c)2 +( b sin А- 0) 2,
a 2= b2cos2A - 2bc cosA + c2 + b2 sin2A,
a2= b2 (cos2A + sin2A) + c2- 2bc cosA,
a2= b2+ c2 – 2bc cosA.
Обобщенная теорема Пифагора.
Теорему косинусов называют иногда обобщенной теоремой Пифагора. Такое название объясняется тем, что в теореме косинусов содержится как частный случай теорема Пифагора. В самом деле, если в ∆АВС ∟А прямой, то cosA = cos 90° = 0 и по a2 = b2 + c2 − 2bccosα получаем:
т.е. квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катета.
№1
Решение треугольника по двум сторонам и углу между ними.
Дано:
a = 7 см, b = 23 cм, ∟C = 130°
Найти: с, ∟А, ∟В
Решение:
c2 = a2 + b2 − 2bc cosC
с = √49 + 529 - 2×7×23×(-0,643)» 28
cos A = b2 + c2 − a2 / 2bc
cos A = (529 + 784 – 49) / 2 ×23× 28 » 0,981
∟А » 11°
∟В = 180° - (∟А+∟C) = 180°- (11°+130°) » 39°
Ответ: c» 28, ∟А » 11°, ∟B » 39°.
№2
Решение треугольника по стороне и прилежащим к ней углам.
Дано:
а=20 см, ∟А=75°, ∟В=60°
Найти: ∟C, b, c
Решение:
∟C= 180-(60°+75°) = 45°
a/sin
A = b/sin B = c/sin C
b = a× (sin B/ sin A)
b » 20×(0,866/ 0,966)»17,9
c = a× (sin C/ sin A)
c = 20×(0,7/ 0,966)»14,6
Ответ: ∟C=45°, b » 17,9 см, c » 14,6 см.
№3
Решение треугольника по трем сторонам.
Дано:
а=7 см, b=2 см, с=8 см
Найти: ∟А, ∟В, ∟С.
Решение:
cos A = (4 + 64 – 49) / 2 × 2 × 8 » 0,981
∟А» 54°
cos B = (49 + 64 – 4) / 2 × 7 × 8 » 0,973
∟В» 13°
∟С = 180° - (54° + 13°) = 113°
Ответ: ∟А» 54°, ∟В» 13°, ∟С = 113°
№4
Измерение высоты предмета.
Предположим, что требуется определить высоту АН какого – то предмета. Для этого отметим точку В на определённом расстоянии а от основания Н предмета и измерим ∟АВН=a. По этим данным из прямоугольного треугольника АНВ находим высоту предмета: АН = а tg a.
Если основание предмета недоступно, то можно поступить так: на прямой, проходящей через основание Н предмета, отметим две точки В и С на определенном расстоянии а друг от друга и измерим углы АВН и АСВ: ∟АВН = a, ∟АСВ = b, ∟ВАС = a –b. Эти данные позволяют определить все элементы треугольника АВС; по теореме синусов находим АВ: АВ = a sinb / sin (a –b). Из прямоугольного треугольника АВН находим высоту АН предмета: