Автор работы: Пользователь скрыл имя, 17 Февраля 2011 в 15:30, реферат
Даны полные сведения о тригонометрических формулах, доказаны теоремы синусов и косинусов, представлены задачи с решением.
Содержание:
Геометрия
- одна из самых древних и интересных
наук, занимающаяся изучением геометрических
фигур. Наш мир невозможно представить
без их существования. Эта наука имеет
огромный запас различных теорем, которые
постоянно применяются как при решении
математических задач, так и в жизни. Больше
всего меня заинтересовали теоремы синусов
и косинусов, которые применяются при
решении произвольных треугольников.
Цель данного реферата - уметь доказывать
теоремы косинусов и синусов, применять
их в решении задач, выбирать правильный
ход решения при их использовании, знать,
где данные теоремы применяются в жизни.
Треугольником называется фигура, которая состоит из трёх точек, не лежащих на одной прямой, и трёх отрезков, попарно соединяющих эти точки. Точки называются вершинами треугольника, а отрезки - его сторонами.
Виды треугольников:
Бермудский Треугольник - широко известная аномальная зона. Расположен он в границах между Бермудскими островами, Майями во Флориде и Пуэрто-Рико. Площадь Бермудского треугольника составляет свыше одного миллиона квадратных километров. Рельеф дна в этой акватории хорошо изучен. На шельфе, который составляет значительную часть этого дна, было проведено множество бурений с целью отыскать нефть и другие полезные ископаемые. Течение, температура воды в разное время года, ее соленость и движение воздушных масс над океаном - все эти природные данные занесены во все специальные каталоги. Этот район не особенно сильно отличается от других похожих географических мест. И, тем не менее, именно в районе Бермудского треугольника загадочно исчезали суда, а затем и самолеты.
Выдвигаются различные гипотезы для объяснения этих исчезновений, от необычных погодных явлений до похищений инопланетянами. Скептики утверждают, однако, что исчезновения судов в бермудском треугольнике происходят не чаще, чем в других районах мирового океана и объясняются естественными причинами. Морские и воздушные суда погибают и в других районах земного шара, иногда бесследно. Неисправность радио или внезапность катастрофы может помешать экипажу передать сигнал бедствия. Поиск обломков в море — непростая задача, особенно в шторм или когда место катастрофы точно неизвестно. Если учесть очень оживлённое движение в районе бермудского треугольника, частые циклоны и штормы, большое количество отмелей, количество случившихся здесь катастроф, которые так и не получили объяснения, не является необычно большим.
Впервые о «таинственных исчезновениях» в бермудском треугольнике упомянул корреспондент Associated Press Джонс, в 1950 году он назвал этот район «морем дьявола». Автором словосочетания «бермудский треугольник» обычно считают Винсента Гладдиса, опубликовавшего в 1964 году в одном из журналов, посвящённых спиритизму, статью «Смертоносный бермудский треугольник».
Египетский треугольник — прямоугольный треугольник с соотношением сторон 3:4:5.
Особенностью такого треугольника, известной ещё со времён античности, является то, что при таком отношении сторон теорема Пифагора даёт целые квадраты как катетов, так и гипотенузы, то есть 9:16:25. Египетский треугольник является простейшим (и первым известным) из Героновых треугольников — треугольников с целочисленными сторонами и площадями.
Название треугольнику с таким отношением сторон дали эллины: в VII - V веках до н. э. греческие философы и общественные деятели активно посещали Египет. Так, например, Пифагор в 535 до н. э. по настоянию Фалеса для изучения астрономии и математики отправился в Египет — и, судя по всему, именно попытка обобщения отношения квадратов, характерного для египетского треугольника, на любые прямоугольные треугольники и привела Пифагора к доказательству знаменитой теоремы.
Египетский треугольник с соотношением сторон 3:4:5 активно применялся для построения прямых углов землемерами и архитекторами.
Для построения прямого угла использовался шнур или верёвка, разделённая отметками (узлами) на 12 (3+4+5) частей: треугольник, построенный натяжением такого шнура, с весьма высокой точностью оказывался прямоугольным и сами шнуры-катеты являлись направляющими для кладки прямого угла сооружения.
В архитектуре средних веков египетский треугольник применялся для построения схем пропорциональности.
Тригонометрия – слово греческое и в буквальном переводе означает измерение треугольников.
В данном случае измерение треугольников следует понимать как решение треугольников, т.е. определение сторон, углов и других элементов треугольника, если даны некоторые из них. Большое количество практических задач, а также задач планиметрии, стереометрии, астрономии и других приводятся к задаче решения треугольников.
Возникновение
тригонометрии связано с
Впервые способы решения треугольников, основанные на зависимостях между сторонами и углами треугольника, были найдены древнегреческими астрономами Гиппархом (2 в. до н. э.) и Клавдием Птолемеем (2 в. н. э.). Позднее зависимости между отношениями сторон треугольника и его углами начали называть тригонометрическими функциями.
Длительную историю имеет понятие синус. Фактически различные отношения отрезков треугольника и окружности (а по существу, и тригонометрические функции) встречаются уже в III веке до н.э. в работах великих математиков Древней Греции – Евклида, Архимеда, Апполония Пергского. В римский период эти отношения достаточно систематично исследовались Менелаем (I век н.э.), хотя и не приобрели специального названия. Современный синус a, например, изучался как полухорда, на которую опирается центральный угол величиной a, или как хорда удвоенной дуги. В IV-V веках появился уже специальный термин в трудах по астрономии великого индийского учёного Ариабхаты, именем которого назван первый индийский спутник Земли. Отрезок АМ он назвал ардхаджива (ардха – половина, джива – тетива лука, которую напоминает хорда). Позднее появилось более краткое название джива. Арабскими математиками в IX веке это слово было заменено на арабское слово джайб (выпуклость). При переводе арабских математических текстов в веке оно было заменено латинским синус (sinus – изгиб, кривизна).
Слово косинус намного моложе. Косинус – это сокращение латинского выражения completely sinus, т. е. “дополнительный синус” (или иначе “синус дополнительной дуги”; cosa = sin(90° - a)). Тангенсы возникли в связи с решением задачи об определении длины тени. Тангенс (а также котангенс) введен в X веке арабским математиком Абу-ль-Вафой, который составил и первые таблицы для нахождения тангенсов и котангенсов. Однако эти открытия долгое время оставались неизвестными европейским ученым, и тангенсы были заново открыты лишь в XIV веке немецким математиком, астрономом Регимонтаном (1467 г.). Он доказал теорему тангенсов. Региомонтан составил также подробные тригонометрические таблицы; благодаря его трудам плоская и сферическая тригонометрия стала самостоятельной дисциплиной и в Европе.
Современные
обозначения синуса и косинуса знаками
sin и cos были впервые введены
в 1739 г. швейцарским математиком Иоганном
Бернулли в письме к Леонарду Эйлеру,
который и стал употреблять их в своих
математических работах. Эйлер ввел также
обозначения для функций угла х: tg x,
ctg x, sec x, cosec x.
Синус,
косинус, тангенс, котангенс.
Значения тригонометрических функций.
Значения тригонометрических функций для некоторых углов.
0°(0 рад) | 30° (π/6) | 45° (π/4) | 60° (π/3) | 90° (π/2) | 180° (π) | 270° (3π/2) | 360° (2π) | |
N/A | N/A | |||||||
N/A | N/A | N/A |
Значения косинуса
и синуса на окружности.
Свойства тригонометрических функций
Так как синус и косинус являются соответственно ординатой и абсциссой точки, соответствующей на единичной окружности углу α то, согласно уравнению единичной окружности или основному тригонометрическому тождеству, имеем:
Деля это уравнение на квадрат косинуса и синуса соответственно, имеем далее:
Формулы приведения:
sin (90° - α) = cos α
cos (90° - α) = sin α
sin (180° - α) = sin α
cos(180° - α) = - cos α
Чётность и нечетность функций.
Чётная функция- функция y = f(x) называется чётной, если область её определения симметрична относительно 0 и для любого значения аргумента Х верно равенство
f(-x) = f(x)
Нечётная функция- функция, область её определения симметрична относительно 0 и для любого значения аргумента Х верно равенство
f(-x) = -f(x)
Косинус — единственная чётная функция. Остальные три функции — нечётные, то есть:
Площадь треугольника
равна половине произведения двух его
сторон на синус угла между ними.
|
Дано:
∆ АВС, АВ= с, ВС = a, СА = b, h-высота
Доказать:
S = ½ ab sin C