Содержание: 
 
 
 
 
 
 
 
 

 

I Введение

Вступление

      Геометрия - одна из самых древних и интересных наук, занимающаяся изучением геометрических фигур. Наш мир невозможно представить без их существования. Эта наука имеет огромный запас различных теорем, которые постоянно применяются как при решении математических задач, так и в жизни. Больше всего меня заинтересовали теоремы синусов и косинусов, которые применяются при решении произвольных треугольников. Цель данного реферата  - уметь доказывать теоремы косинусов и синусов, применять их в решении задач, выбирать правильный ход решения при их использовании, знать, где данные теоремы применяются в жизни.  
 
 
 
 
 
 
 
 

 

Треугольники

      Треугольником называется фигура, которая состоит из трёх точек, не лежащих на одной прямой, и трёх отрезков, попарно соединяющих эти точки. Точки называются вершинами треугольника, а отрезки - его сторонами.

Виды треугольников:

• Треугольник называется равнобедренным, если у него две стороны равны. Эти равные стороны называются боковыми сторонами, а третья сторона называется основанием треугольника.

 

• Треугольник, у которого все стороны равны, называется равносторонним или правильным.

 

• Треугольник называется прямоугольным, если у него есть прямой угол, то есть угол в 90°. Сторона прямоугольного треугольника, противолежащая прямому углу, называется гипотенузой, две другие стороны называются катетами.

 

• Треугольник называется остроугольным, если все три его угла – острые, то есть меньше 90°

 
 

• Треугольник называется тупоугольным, если один из его углов – тупой, то есть больше 90°.

      Бермудский  Треугольник - широко известная аномальная зона. Расположен он в границах между Бермудскими островами, Майями во Флориде и Пуэрто-Рико. Площадь Бермудского треугольника составляет свыше одного миллиона квадратных километров. Рельеф дна в этой акватории хорошо изучен. На шельфе, который составляет значительную часть этого дна, было проведено множество бурений с целью отыскать нефть и другие полезные ископаемые. Течение, температура воды в разное время года, ее соленость и движение воздушных масс над океаном - все эти природные данные занесены во все специальные каталоги. Этот район не особенно сильно отличается от других похожих географических мест. И, тем не менее, именно в районе Бермудского треугольника загадочно исчезали суда, а затем и самолеты.

      Выдвигаются различные гипотезы для объяснения этих исчезновений, от необычных погодных явлений до похищений инопланетянами. Скептики утверждают, однако, что исчезновения судов в бермудском треугольнике происходят не чаще, чем в других районах мирового океана и объясняются естественными причинами. Морские и воздушные суда погибают и в других районах земного шара, иногда бесследно. Неисправность радио или внезапность катастрофы может помешать экипажу передать сигнал бедствия. Поиск обломков в море — непростая задача, особенно в шторм или когда место катастрофы точно неизвестно. Если учесть очень оживлённое движение в районе бермудского треугольника, частые циклоны и штормы, большое количество отмелей, количество случившихся здесь катастроф, которые так и не получили объяснения, не является необычно большим.

      Впервые о «таинственных исчезновениях» в бермудском треугольнике упомянул корреспондент Associated Press Джонс, в 1950 году он назвал этот район «морем дьявола». Автором словосочетания «бермудский треугольник» обычно считают Винсента Гладдиса, опубликовавшего в 1964 году в одном из журналов, посвящённых спиритизму, статью «Смертоносный бермудский треугольник».

       Египетский  треугольник — прямоугольный треугольник с соотношением сторон 3:4:5.

     Особенностью  такого треугольника, известной ещё  со времён античности, является то, что при таком отношении сторон теорема Пифагора даёт целые квадраты как катетов, так и гипотенузы, то есть 9:16:25. Египетский треугольник является простейшим (и первым известным) из Героновых треугольников — треугольников с целочисленными сторонами и площадями.

     Название  треугольнику с таким отношением сторон дали эллины: в VII - V веках до н. э. греческие философы и общественные деятели активно посещали Египет. Так, например, Пифагор в 535 до н. э. по настоянию Фалеса для изучения астрономии и математики отправился в Египет — и, судя по всему, именно попытка обобщения отношения квадратов, характерного для египетского треугольника, на любые прямоугольные треугольники и привела Пифагора к доказательству знаменитой теоремы.

     Египетский  треугольник с соотношением сторон 3:4:5 активно применялся для построения прямых углов землемерами и архитекторами.

     Для построения прямого угла использовался  шнур или верёвка, разделённая отметками (узлами) на 12 (3+4+5) частей: треугольник, построенный натяжением такого шнура, с весьма высокой точностью оказывался прямоугольным и сами шнуры-катеты являлись направляющими для кладки прямого угла сооружения.

      В архитектуре средних веков египетский треугольник применялся для построения схем пропорциональности.

 

II Основная часть

Общие сведения о тригонометрических функциях

    Тригонометрия – слово греческое и в буквальном переводе означает измерение треугольников.

    В данном случае измерение треугольников  следует понимать как решение  треугольников, т.е. определение сторон, углов и других элементов треугольника, если даны некоторые из них. Большое  количество практических задач, а также задач планиметрии, стереометрии, астрономии и других приводятся к задаче решения треугольников.

    Возникновение  тригонометрии связано с землемерением, астрономией и строительным делом. Хотя название науки возникло сравнительно недавно, многие относимые сейчас к тригонометрии понятия и факты были известны ещё две тысячи лет назад.

     Впервые способы  решения треугольников, основанные на зависимостях между сторонами  и углами треугольника, были найдены  древнегреческими астрономами Гиппархом (2 в. до н. э.) и Клавдием Птолемеем (2 в. н. э.). Позднее зависимости между отношениями сторон треугольника и его углами начали называть тригонометрическими функциями.

    Длительную  историю имеет понятие синус. Фактически различные отношения отрезков треугольника и окружности (а по существу, и тригонометрические функции) встречаются уже в III веке до н.э. в работах великих математиков Древней Греции – Евклида, Архимеда, Апполония Пергского. В римский период эти отношения достаточно систематично исследовались Менелаем (I век н.э.), хотя и не приобрели специального названия.  Современный синус a, например, изучался как полухорда, на которую опирается центральный угол величиной a, или как хорда удвоенной дуги. В IV-V веках появился уже специальный термин в трудах по астрономии великого индийского учёного Ариабхаты, именем которого назван первый индийский спутник Земли. Отрезок АМ он назвал ардхаджива (ардха – половина, джива – тетива лука, которую напоминает хорда). Позднее появилось более краткое название джива. Арабскими математиками  в IX веке это слово было заменено на арабское слово джайб (выпуклость). При переводе арабских математических текстов в веке оно было заменено латинским синус (sinus – изгиб, кривизна).

    Слово косинус намного моложе. Косинус – это сокращение латинского выражения completely sinus, т. е. “дополнительный синус” (или иначе “синус дополнительной дуги”; cosa =  sin(90° - a)). Тангенсы возникли в связи с решением задачи об определении длины тени. Тангенс (а также котангенс) введен в X веке арабским математиком Абу-ль-Вафой, который составил и первые таблицы для нахождения тангенсов и котангенсов. Однако эти открытия долгое время оставались неизвестными европейским ученым, и тангенсы были заново открыты лишь в XIV веке немецким математиком, астрономом Регимонтаном (1467 г.). Он доказал теорему тангенсов.  Региомонтан составил также подробные тригонометрические таблицы; благодаря его трудам плоская и сферическая тригонометрия стала самостоятельной дисциплиной и в Европе.

    Современные обозначения синуса и косинуса знаками sin и cos были впервые введены в 1739 г. швейцарским математиком Иоганном Бернулли в письме к Леонарду Эйлеру, который и стал употреблять их в своих математических работах. Эйлер ввел также обозначения для функций угла х: tg x, ctg x, sec x, cosec x. 

 

Синус, косинус, тангенс, котангенс. 

 
 

• Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе (AB/OB).
• Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе (ОА/OB).
• Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему катету (AB/OA).
• Котангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к противолежащему катету (ОА/AB).

 
 
 
 
 

Значения тригонометрических функций.

Значения тригонометрических функций для некоторых углов.

 

Значения косинуса и синуса на окружности. 

 
 
 

 

Свойства тригонометрических функций

      Так как синус и косинус являются соответственно ординатой и абсциссой  точки, соответствующей на единичной  окружности углу α то, согласно уравнению единичной окружности или основному тригонометрическому тождеству, имеем:

      Деля  это уравнение на квадрат косинуса и синуса соответственно, имеем далее:

Формулы приведения:

sin (90° - α) = cos α

cos (90° - α) = sin α

sin (180° - α) = sin α

 cos(180° - α) = - cos α

Чётность  и нечетность функций.

      Чётная  функция- функция y = f(x) называется чётной, если область её определения симметрична относительно 0 и для любого значения аргумента Х верно равенство

f(-x) = f(x)

     Нечётная  функция- функция, область её определения симметрична относительно 0 и для любого значения аргумента Х верно равенство

f(-x) = -f(x)

Косинус — единственная чётная функция. Остальные три функции — нечётные, то есть:

Теоремы

Теорема о площади треугольника:

Дано:

∆ АВС, АВ= с, ВС = a, СА = b, h-высота

Доказать:

S = ½ ab sin C