Теорема о свободе

     Пусть F – свободная группа с базисом Х; эту группу можно вложить в свободную группу F₁ с базисом , причем можно предполагать, что . Пусть – элемент группы F₁, N – нормальное замыкание этого элемента в F₁ и φ – каноническое отображение из F₁ на G= F₁/N. Понятно, что r циклически приведено и зависит от образующего x группы F₁. По теореме о свободе имеем . Однако в этом случае φ отображает F изоморфно в G, причем элемент g=xφ группы G очевидным образом удовлетворяет данному соотношению.

     Типичный  пример обобщения предложения 2 получен  Линдоном (1962), причем в этом примере множества Y_i индексированы точками i n-мерного вещественного пространства, а интервал, упомянутый в предложении 2, заменен некоторым выпуклым множеством.

     Попытаемся  найти обобщение теоремы о  свободе для свободных произведений. Пусть F=G₁*G₂ – свободное произведение и r – циклически приведенный элемент из F, не содержащийся в G₁; можно было бы надеяться, что нормальное замыкание N элемента r в F не пересекается с G₁. однако это неверно, причем контрпример прост. Пусть G₁ порождена элементом g₁ порядка 2, а G₂ – элементом g₂ порядка 3; положим r= g₁ g₂ . Легко видеть, что N=F. 
 

 

4. Расширения  Хигмана – Нейман – Неймана и свободные произведения с объединенной подгруппой.

 

     С самого начала отметим, что расширения Хигмана – Нейман – Неймана и свободные произведения с объединенной подгруппой (Шрайер, 1926) во многом параллельны, так что лучше всего смотреть на них, как на две составляющего одного и того же основного понятия.

     Дадим определение этих конструкций. Пусть 

       и

– некоторые группы. Предположим, что – некоторые подгруппы в этих группах, такие, что существует изоморфизм φ: A→B. Тогда свободным произведением групп G и H с подгруппами A и B, объединенными посредством изоморфизма φ, называется группа

.

     Введем  обозначение: если G – некоторая группа с заданным представлением, то запись обозначает, что к порождающим и определяющим соотношениям группы G присоединены выписанные добавочные порождающие и определяющие соотношения. Имеется ввиду, что любые дополнительные порождающие отличны от порождающих группы G. Это позволяет нам записать свободное произведение с объединенной подгруппой в виде . Или сокращенно:                  .

     Основная  идея свободного произведения с объединенной подгруппой состоит в том, что  подгруппа A отождествляется со своим изоморфным образом . Свободное произведение с объединенной подгруппой зависит от G, H, A, B и изоморфизма φ. Группы  G и H называются множителями свободного произведения с объединенной подгруппой, а A и B называются объединенными подгруппами.

     Будем называть отныне расширение Хигмана – Нейман – Неймана просто HNN-расширением. Дадим определение этой конструкции. Пусть G – группа, A и B – ее подгруппы, а φ:A→B – изоморфизм. Назовем HNN-расширением группы G относительно А, В и φ группу

     .

     Группа  G называется базой группы G^*, t – проходной буквой, а A и B – связанными подгруппами.

     Заметим, что как свободное произведение с объединенной подгруппой, так и  HNN-конструкции включают в себя две подгруппы и изоморфизм между ними. Нестрого говоря, данные конструкции представляют собой то, что можно назвать «несвязным» и «связным» вариантами одной и той же основной идеи. В свободном произведении с объединенной подгруппой A и B – подгруппы разных групп G и H. В HNN-расширении A и B уже содержатся в одной группе.

     Предположим, что , есть HNN-расширение. Рассмотрим два определения, которые позволят нам сформулировать теорему о нормальной форме для HNN-расширений.

     Определение 4.1. Последовательность , называется приведенной, если в ней не встречается подряд буквы t^-1, g_i, t, где , и t, g_j , t^-1, где .

     В своей основополагающей статье Хигман, Х. Нейман и Б. Нейман доказали, что G вкладывается в G^* с помощью отображения . Остальную часть теоремы о нормальной форме для HNN-расширений доказал Бриттон (1963), и этот результат обычно называют леммой Бриттона.

     Лемма Бриттона. Если последовательность приведена и , то в G^*.

     Произведения  элементов двух различных приведенных  последовательностей могут оказаться  равными в G^*. Чтобы действительно получить нормальную форму, нужны некоторые уточнения. Выберем некоторое множество представителей правых смежных классов группы G по подгруппе A и множество представителей правых смежных классов группы G по подгруппе B. Будем предполагать, что 1 является представителем как A, так и B.

     Если  , то через обозначается представитель смежного класса Ag, а через - смежного класса Bg.

     Определение 4.2. Нормальная форма – это последовательность , в которой

1. – произвольный элемент из ,
2. если , то – представитель некоторого смежного класса по A в ,
3. если , то – представитель некоторого смежного класса по B в ,
4. нет последовательных вхождений .

     Следующее рассмотрение иллюстрирует определение нормальной формы.  Определяющие соотношения

1.    

HNN-расширения могут быть записаны в виде

2.      .

Сопрягая  обе части соотношения (1), можно  получить

3.    

что эквивалентно равенству

4.    

     На  соотношения (2) и (4) можно смотреть как  на квазикоммутативность. Эти соотношения позволяют перебросить элемент через справа на лево, заменив его при этом на . Аналогично можно перебросить через справа на лево, заменив его при этом на . Двигаясь такими шагами справа на лево, мы можем каждый элемент из G^* привести к виду , где последовательность – нормальная форма.  

 

5. Группы  с одним определяющим соотношением с использованием HNN-расширений

 

     Основные  теоремы о группах с одним  определяющим соотношением, теорема  о свободе и теорема, о разрешимости проблемы равенства слов, были доказаны Магнусом в начале 30-х годов. В настоящее время существует хорошо развитая теория групп с одним определяющим соотношением. Ниже некоторые из основных теорем о группах с одним определяющим соотношением будут доказаны с использованием HNN-расширений. Д.И. Молдавский (1967) в своей работе о подгруппах групп с одним определяющим соотношением заметил, что если G – группа с одним определяющим соотношением r, причем это определяющее соотношение циклически приведено и содержит некоторый порождающий в суммарной степени 0, то G является HNN-расширением некоторой другой группы H с одним определяющим соотношением. Приводимые здесь доказательства следуют работе Маккула и Шуппа (1973). Основная стратегия – использование индукции по длине определяющего соотношения и метод работы в случае, когда сумма показателей не равна нулю, – без изменений взята из работ Магнуса (1930, 1932).

     Теорема о свободе. Пусть , причем r циклически приведено. Если L – подмножество из , не содержащее некоторого порождающего, встречающегося в записи r, то подгруппа М, порожденная множеством L, порождена им свободно.

     Доказательство. Достаточно рассмотреть множества L, содержащие все порождающие группы G, за исключением одного. Доказательство будем вести индукцией по длине слова r. Если r содержит лишь один порождающий, то теорема верна. Таким образом, можно предполагать, что G содержит не менее двух порождающих, скажем t и b, встречающихся в r. Возникает два случая.

1. Предположим, что сумма показателей при некотором порождающем t, встречающемся в r, равна нулю. Представим G как HNN-расширение некоторой группы H с одним определяющим соотношением, причем это соотношение s будет иметь длину, меньшую длины слова r. Заменяя r, если нужно, на его подходящую циклическую перестановку, можно предполагать, что r начинается с . Для любого целого i положим b_i=tⁱbt^-i, c_i=tⁱct^-i и так далее. Как элемент свободной группы элемент r принадлежит нормальной подгруппе группы F, порожденной элементами b, c, …. Это позволяет переписать r как циклически приведенное слово s от порождающих b_i , c_i , …, причем длина слова s строго меньше длины слова r. При переписывании слова r нужно просто заменить каждое вхождение порождающего, отличного от t, этим же порождающим с индексом i, где i – сумма показателей при вхождениях буквы t, предшествующих данному вхождению порождающего. (Например, если r=b²t ^-1c²b²t c², то .)

Пусть μ и m – соответственно минимальный и максимальный индексы при b, действительно встречающиеся и s. (b₀ Непременно встречается, так как мы предположили, что r начинается с .) Утверждается,  что G обладает представлением 

.

Для проверки этого утверждения обозначим  через G^* группу, определенную этим новым представлением. Отображение , определенное посредством

  и т. д.,

является  гомоморфизмом, поскольку φ(r)=s. С другой стороны, отображение η=G^*→G, определенное посредством

  и т. д.,

является  гомоморфизмом, поскольку все определяющие соотношения группы G^* при этом переходят в 1. Из того, что φη и ηφ – тождественные отображения групп G и G^* соответственно, следует, что φ – изоморфизм.

(Продолжая  пример, видно, что если  то новое представление для G имеет вид )

Положим теперь . Из предположения индукции следует, что подгруппы X и Y группы H, порожденные соответственно множествами и свободно порождены выписанными элементами. В частности, отображения продолжаются до изоморфизма . Таким образом, G представлена как HNN-группа с базой H.

Предположим вначале, что данное нам подмножество первоначального порождающего множества  группы G есть L={b, c, …}. Заметим, что, по меньшей мере, один из порождающих группы H с ненулевым индексом встречается в s (иначе t не могло бы входить в r с суммой показателей, равной нулю). По предположению индукции L свободно порождает свободную подгруппу группы H, а значит и группы G.

Предположим теперь, что L={t, c, …}. (Опущенный порождающий – это b.) Пусть ω – нетривиальное свободно приведенное слово от {t, c, …}. Если , то в G, поскольку каждое слово, равное 1 в G, должно равняться произведению сопряженных слова .

Если  , то перепишем ω как слово в алфавите J={c_i , …} в соответствии с той же процедурой, которая применялась для r. Тогда получим свободно приведенное нетривиальное слово ω^*. По предположению индукции J свободно порождает свободную подгруппу группы H. Таким образом,. Поскольку ω^*= ω в G, получаем, что в G.

2. С точностью до переобозначения порождающих в случае 1) рассмотрены все ситуации, за исключением той, в которой каждый порождающий встречается в r в суммарной степени, не равной нулю. Предположим, что L={b, c, …}. Пусть и . Отображение Ψ, при котором является гомоморфизмом группы G в группу .

Обозначим через r₁ результат циклического приведения слова . Тогда , и y встречается в r₁. Группу C можно переписать как HNN-группу с проходной буквой x. Если s – то, что получается из после переписывания, то длина слова s меньше длины слова r, так как все x-символы устранены. Отсюда следует, что подгруппа группы C, порожденная множеством {x, c, …}, свободно порождена этим множеством, а отсюда вытекает, что и множество {x^α, c, …} свободно порождает соответствующую подгруппу. Поскольку Ψ переводит b в x^α, c в c, …, понятно, что L порождает свободную подгруппу группы G. Тем самым теорема доказана.