Теорема о свободе

p align="justify">этих  элементов таковы, что выполняется одно из следующих свойств:

1. t<u,
2. t=u, a₁<b₁,
3. t=u; a₁=b₁, …,a_i=b_i ; a_i+1<b_i+1;

здесь символы a_i и b_j принадлежат множеству . Так определенный лексикографический порядок, конечно, является простым и даже полным порядком, причем выполняется следующие полезные свойства.

      Если  f<g и слово gh редуцированно, то  fh<gh. Если f<g и элемент hg редуцирован, то hf < hg. Это следует из определения лексикографического порядка.

     Чтобы доказать лемма, выберем в качестве представителя g_i смежного класса Ug_i первый элемент этого класса в смысле лексикографического упорядочения элементов группы F. Утверждается, что так выбранные представители g_i образуют шрейеровскую систему и даже двустороннюю шрейеровскую систему, если подгруппа U инвариантна. Так как единица есть первый элемент группы F, то она выбирается в качестве представителя смежного класса U. Пусть g=a₁…a_t-1a_t – представитель класса Ug, т.е. наименьший элемент этого класса. Пусть h – наименьший элемент в классе, содержащем элемент h^*=a₁…a_t-1. Если h=b₁…b_t , то . Но  , поэтому . С другой стороны, . Значит, , а отсюда элемент h=h^*=a₁…a_t-1  есть также представитель смежного класса. Таким образом, элементы  g_i образуют шрейеровскую систему. Если  U – нормальный делитель, то пусть элемент a₁ f находится в классе U f = f U с наименьшим элементом f. Тогда , и элемент a₁ f принадлежит классу a₁…a_tU=gU=Ug. Отсюда a₁ f. Но мы также имеем неравенство    a₁ f. Таким образом, g=a₁ f и . Следовательно, элементы g_i образуют двустороннюю шрейеровскую систему. Заметим, что доказанная лемма только гарантирует существование шрейеровской системы представителей левых смежных классов. Но для одной и той же подгруппы возможно существование более чем одной шрейеровской системы представителей для смежных классов.

     Теорема 2.1. (основная теорема) Любая подгруппа свободной группы свободна.

     Доказательство. Пусть F – свободная группа, порожденная множеством S, U – некоторая ее подгруппа. Тогда, согласно лемме Шрейера, можно выбрать шрейеровскую систему G представителей левых смежных классов по U:

.   (2.2)

     Начнем  доказательство с леммы, которая  имеет место для произвольной, не обязательно свободной группы F. Пусть F – группа, порожденная множеством S, U – подгруппа группы F и (2.2) – левое разложение группы F по подгруппе U.

     Если  элемент f группы F принадлежит смежному классу Ug_i в (2.2), мы определяем функцию на группе, полагая . Ясно, что , если , и что тогда и только тогда, когда .

     Пусть f=, где . Полагаем f₀=1, f₁=a₁, f₂=a₁a₂, …, f_t=a₁a₂…a_t=f и, далее, . Представим элемент в виде

     .  (2.3)

Если  , то это выражение равно f, так как тогда h_t=1.

     Далее, так как , где , то в равенстве (2.3) нам достаточно знать значения функции Φ только для аргументов вида gs^ε, где . Положим , где функция определена только для аргументов вида f= gs^ε.

     Лемма 2.2. Пусть в произвольной группе F элемент g пробегает множество представителей левых смежных классов по подгруппе U из разложения (2.2), элемент s – множество образующих группы F, а есть представитель класса, содержащего элемент . Тогда элементы вида являются образующими подгруппы U.

Доказательство. Если , то h_t=1 и, согласно равенству (2.3), элемент f представляется в виде произведения элементов . Поскольку , элемент имеет вид , где и , так как . Но элемент принадлежит смежному классу , откуда следует, что для любого элемента элемент . Заметим, что если , то . Следовательно, если , то обратным к нему элементом будет элемент , который имеет такой же вид, но с противоположным показателем степени при s. Следовательно, элементы вида gsφ(gs)^-1 порождают подгруппу U.

     Следствие 2.1. Если F – группа с конечным числом образующих и U – подгруппа конечного индекса, то подгруппа U также имеет конечное число образующих.

     В дальнейшем будем предполагать, что  F – свободная группа, причем представители ее смежных классов по U образуют шрейеровскую систему G.

     Нам понадобятся следующие свойства функции :

1. ,
2. если , то ,
3. .

     Обозначим и u= gsφ(gs)^-1. Теперь всякий элемент u является элементом v с показателем степени +1, а элемент v либо равен некоторому u, либо некоторому u^-1. При этом, если , положим . Тогда, согласно третьему свойству,   ; аналогично .

     Лемма 2.3. Слово или редуцированно, или равно 1.

     Доказательство. Пусть , где  . Слова и оба редуцированы. Следовательно, если слово v допускает сокращение, то или последняя буква слова равна , или первая буква в равна . Если имеет место первый случай, то  – редуцированное представление элемента . Тогда элемент равен некоторому g, но согласно свойству 2 функции φ, , поэтому . Если имеет место второй случай, то аналогично , и снова .

     В случае когда , назовем значимым сомножителем слова . Пусть . Если слова и имеют равную длину, то , так как элемент не допускает сокращения. Если слова и разной длины, например длиннее, то слово как начальная часть слова само равно некоторому , поэтому , откуда , что противоречит предположению. Таким образом, элемент имеет единственное представление в виде , и, в частности, его значимый сомножитель однозначно определен.

     Лемма 2.4. При сокращении в произведении v₁v₂, где    , значимые сомножители в словах и не исчезают.

     Доказательство. Пусть     . Слова и оба не допускают сокращения, а так как , равенства и не могут оба выполняться. Будем доказывать лемму от противного. Предположим, что сокращению подлежит значимый фактор. Если сокращение достигает сначала , то слово начинается словом , откуда и , что противоречит условию. Аналогично если сокращение достигает сначала , то есть начальная часть слова и , что тоже противоречит условию. Если сокращение достигает и одновременно, то тогда , и , что опять противоречит условию.

     Лемма 2.5. Если , то произведение .

     Доказательство. Повторным применением леммы 2.4. мы получаем, что сокращение между и не может затронуть ни одного значимого сомножителя. Следовательно, произведение , представленное как редуцированное произведение символов, содержит все первоначальные значимые сомножители, а поэтому не равно единице.

     Рассмотрим  теперь элементы u=gsφ(gs)^-1≠1. По лемме 2.5. все их произведения не равны единице, и все элементы u≠1 порождают подгруппу U. Покажем, что U – свободная подгруппа. Элементы u≠1 можно считать свободными образующими подгруппы U, если убедиться в том, что ни одно из произведений этих элементов, являющихся редуцированными словами в U, не равно единице, т. е. эти произведения, рассматриваемые как слов, составленные из образующих множества S, не могут быть редуцированны к единице. Но всякое слово u≠1 равно либо u, либо u^-1. Следовательно, редуцированное слово от элементов u≠1 имеет вид , где , как в лемме 2.5., и поэтому не равно единице. Тем самым мы доказали лемму:

     Лемма 2.6. Элементы u=gsφ(gs)^-1≠1 составляют систему свободных образующих подгруппы U.

     Таким образом, мы нашли свободные образующие подгруппы U и тем самым доказали, что она свободная подгруппа.

  
 
 
 
 
 
 
 
 

3. Группы  с одним определяющим соотношением. Подход Магнуса

 

     Группы  с одним определяющим соотношением G=(X; r) привлекли к себе большое внимание. Исторически впервые ими заинтересовались по той причине, что таковы фундаментальные группы 2-многообразий. Эти группы представляют собой также естественное расширение класса свободных групп, с которыми они обнаруживают определенное сходство; выяснилось, что в определенной степени они допускают явное описание.

     Наиболее  ранние результаты, относящиеся к  классу всех групп с одним определяющим соотношением, были доказаны Магнусом более или менее единообразным методом. Этот метод использовал индуктивное рассуждение, которое требовало перехода к более широкому классу групп. Определим ступенчатое представление G=(X; R) следующим образом. Прежде всего допустим, что I=Z или I={1, 2, …, n} и что Y – подмножество в Х, являющееся объединением непересекающихся множеств . Пусть где J – линейно упорядоченное множество и каждое  r_j циклически приведено и содержит некоторый порождающий из Y. Для каждого r_j обозначим через наименьший индекс i, такой, что r_j содержит порождающий из Y_i, а через – наибольший такой индекс i. Представление будет называться ступенчатым, если из i<k следует и .

     Ступенчатые представления интересны не только в связи с той ролью, которую  они играют в проведении индуктивных рассуждений, но также и потому, что многие свойства, которыми обладают группы G_i=(X; r_i) с одним определяющим соотношением, остаются верными и для них. Такие результаты, а также дальнейшее обобщение понятия ступенчатого представления можно найти в работе Линдона (1962).

     Очень сильный метод Магнуса сопряжен тем не менее с большими вычислениями. Некоторые из результатов, полученных этим методом, можно получить, и даже в большей степени общности, более прозрачными методами. Однако имеются и результаты, для которых иных доказательств не найдено. По этой причине мы формулируем ряд утверждений о группах с одним определяющим соотношением, а также о группах со ступенчатым представлением, не приводя их доказательств в этом разделе. В следующем разделе будут приведены два важных результата, иллюстрирующих магнусов метод доказательства.

     Первый  общий и притом один из наиболее поразительных и наиболее полезных результатов о группах с одним  определяющим соотношением – это теорема о свободе, сформулированная Дэном и доказанная Магнусом (1930). Несколько иное доказательство можно найти у Линдона (1972), см. также Шупп (1976). Эта теорема является аналогом очевидного факта из линейной алгебры; кажется, ее название  произошло из такой формулировки. Пусть G= (X; r) и соотношение r, которое можно считать циклически приведенным, содержит элемент х из Х. Тогда (образ множества) Х–х – базис свободной группы G. Дадим теперь формулировку, которая, очевидно, эквивалентна приведенной.

     Предложение 3.1. Пусть F – свободная группа с базисом Х и r – циклически приведенный элемент группы F, который содержит некоторый порождающий х из Х. Тогда каждый нетривиальный элемент из нормального замыкания элемента r в F также содержит х.

     На  самом деле из доказательства Магнуса  получается следующий более общий  результат.

     Предложение 3.2. Пусть (X; R) – ступенчатое представление. Предположим, что некоторое следствие w множества R содержит порождающие y из Y_i только для i, лежащих в том же интервале.

     Непосредственным  следствием теоремы о свободе  является положительное решение  проблемы простого присоединения корней в случае свободных групп.

     Предложение 3.3. Пусть F – свободная группа, – нетривиальные элементы этой группы и – ненулевые целые числа. Тогда группу F можно вложить в группу G, содержащую элемент g, такой, что .