Собственные интегралы, зависящие от параметра

     Замечание.

     Интегралы (*) будут заведомо интегрированы, если они равномерно сходятся по и соответственно.

      Пример. Проинтегрируем функцию .

     Имеем . Все условия т. 2 п. 2 выполняются. Положим , где - любое конечное  число. По теореме т. 1 п. 3

     Следовательно, интегрируя обе части равенства  по от 0 до , будем иметь

Но  (это равенство установлено для ; оно верно и при , если в этой точке понимать его в предельной). В том случае для любого конечного примет вид:

Пункт 4. Дифференцирование НИЗП по параметру

     Теорема 1. Пусть функция определена и непрерывна по на промежутке , . Она имеет там непрерывную частную производную , интеграл сходится при каждом на , а сходится равномерно. Тогда справедлива формула

Доказательство.

Так как  непрерывна и сходится равномерно относительно на , то для нее, в силу т. 3 п. 3, выполняется формула (1) пункта 3. Заменим в формуле (1) и получим:

Откуда  . Производная правой части последнего равенства существует и равна , значит существует производная и у левой части, причем . Это равенство установлено для , что выполняется формула (*).

Ч.т.д.