Собственные интегралы, зависящие от параметра

 

Тогда по теореме о дифференцировании  по параметру под знаком интеграла

, .        (3)

Видим, что левая и правая части равенства (1) имеют в промежутке совпадающие производные (см. (2) и (3)). А значит они отличаются в этом промежутке только на постоянную величину, т. е. .

.                  (4)

Положив в (4) t=c , получим . Значит, будем иметь вместо (4) для любого

.                              (5)

Пусть в (5) t=d, получим

.

Что и  требовалось получить. 

 

     Глава 2. Несобственные  интегралы, зависящие от параметра 

Пункт 1. Равномерная сходимость несобственных интегралов, зависящих от параметра  

При рассмотрении теории интегралов, зависящих от параметра, в случае несобственных интегралов особую роль играет понятие равномерной сходимости. Выясним это понятие сначала для несобственных интегралов первого рода (НИЗП-1), затем для интегралов второго рода (НИЗП-2).

     Пусть функция  определена и непрерывна на некотором прямоугольнике и при любом фиксированном существует несобственный интеграл, зависящий от параметра, этой функции на любом промежутке . Тогда интеграл сходится и равен

.

В этом случае называют несобственным интегралом первого рода (НИЗП-1).

Утверждение о том, что  сходится при каждом означает следующее: при каждом фиксированном

.

Следовательно,

 или  .

Это значит, что для каждого  по любому можно указать число такое, что если , то . Важно заметить, что зависит и от ,и от : . Если же для любого можно указать число , зависящее только от , такое, что при выполняется для , то в этом случае называется равномерно сходящимся относительно параметра .

Теперь  сформулируем критерий Коши для равномерной  сходимости для нашего случая следующим  образом:

     Теорема 1. (критерий Коши равномерной сходимости для НИЗП-1). Для того чтобы интеграл сходился равномерно по переменной на промежутке , необходимо и достаточно, чтобы выполнялась цепочка

      , .

Рассмотрим  достаточные признаки равномерной  сходимости.

     Теорема 2. (признак Вейерштрасса равномерной сходимости НИЗП-1). Пусть функция определена и непрерывна на прямоугольнике и удовлетворяет условиям:

1. непрерывна по переменной ,
2. существует функция , что ,
3. - сходится.

Из этого  следует, что сходится равномерно по .

Доказательство.

В соответствии с условием 3) критерия Коши о сходимости несобственных интегралов 1-го рода от функции одной переменной имеем:

       (1)

Тогда при тех же , что и в цепочке, получаем

.

А отсюда по теореме 1 следует равномерная  сходимость интеграла .

Ч. т. д.

     Замечание.

     При выполнении условий теоремы 2 говорят, что функция  имеет интегрируемую мажоранту или что интеграл мажорируется сходящимся интегралом .

     Следствие.

     Пусть выполняются следующие условия:

1. функция определена и непрерывна по ;
2. функция ограничена на прямоугольнике ;
3. интеграл сходится, тогда следует, что

сходится  равномерно по .

Обозначим через  и возьмем в качестве , а в качестве функции . Тогда, исходя из теоремы 2, получим цепочку (1).

Совершенно  аналогично вводится понятие равномерной  сходимости несобственных интегралов второго рода (НИЗП-2).

Пусть функция  определена в области (a,b,c – конечные числа). Пусть при несобственный интеграл сходится. В этом случае будет представлять собой функцию переменной (параметра) , определенную в промежутке . Утверждение, что несобственный интеграл сходится при , означает следующее. При каждом фиксированном интеграл

(здесь  ). Это значит, что для каждого из по любому можно указать такое, что при условии выполняется . Важно отметить, что число выбирается по , и для каждого оно будет своим, другими словами, зависит и от , и от : . Если же можно указать такое , зависящее только от , такое, что при выполнении условия будет верно сразу для всех , несобственный интеграл называется равномерно сходящимся относительно параметра. Короче говорят, интеграл называется равномерно сходящимся по переменной на , если он сходится при и выполняется цепочка .

Для НИЗП-2 справедливы теоремы аналогичные  т.1 и т. 2.

     Теорема 3. (критерий Коши равномерной  сходимости НИЗП-2). Для того чтобы НИЗП-2 равномерно сходился по необходимо и достаточно, чтобы:

      , .

     Теорема 4. Пусть функция определена в области и удовлетворяет следующим условиям:

1. функция непрерывна по , при ;
2. существует такая функция , что , и .
3. - сходится

НИЗП-2 сходится равномерно по на .

Доказательство  проводится аналогично доказательству теоремы 2.

     Пример. Исследовать на равномерную сходимость интеграл .

     Для определения равномерной сходимости необходимо проверить выполнение всех условий теоремы 2.

1. определена и непрерывна в области ;
2. существует функция , , для любого ;
3. , то есть сходится.

     Так как все условия выполнены, то интеграл сходится равномерно относительно на любом промежутке .

 

Пункт 2. Непрерывность НИЗП, предельный переход под знаком интеграла.

В этом пункте мы рассмотрим предельный переход под знаком интеграла, имеющего бесконечный предел, и непрерывность интеграла как функции параметра. Условия, достаточные для допустимости предельного перехода, даются следующей теоремой:

     Теорема 1.  Пусть функция , определенная на прямоугольнике , удовлетворяет условиям:

1. функция по на промежутке ;
2. равномерно стремится к при по , где ;
3. интеграл сходится равномерно по на .

В результате справедливо равенство 

                   (1)

Доказательство.

Функция будет непрерывной. По условию равномерной сходимости для любого найдется такое , что , для , но только . Переходя к пределу при под знаком интеграла, получим . Значит интегрируемая на бесконечном промежутке функция. Тогда при , имеем

.

Если  взять произвольное число  , зафиксировать число так, чтобы второе и третье слагаемые справа стали меньше , а затем приблизить к , чтобы первое слагаемое стало меньше . Тогда получим , что приводит к равенству (1).

Ч.т.д.

     Следствие.

     Пусть функция  неотрицательна и непрерывна по , при , и монотонно возрастая, стремится к с возрастанием . Если функция непрерывна и интегрируема на промежутке , то справедлива формула (1).

Простым следствием из теоремы 1 является теорема  о непрерывности интеграла по параметру.

     Теорема 2. Пусть функция определена и непрерывна для значений и значений . Если сходится равномерно относительно на , тогда - непрерывная функция от параметра в этом промежутке.

Доказательство (аналогично теореме для собственных  интегралов).

По теореме  Кантора при  и функция равномерно непрерывна, а значит если - это любое фиксированное из значение, то наша функция равномерно, относительно , стремится к при . Так как сходится равномерно, то по т.1 следует

,

значит  интеграл - непрерывная функция.

Пункт 3. Интегрирование по параметру НИЗП

Чтобы выяснить интегрируема ли функция  по параметру, необходимо рассмотреть следующую теорему.

     Теорема 1. Пусть функция определена и непрерывна, как функция от двух переменных, в множестве Если интеграл сходится равномерно по на , то справедлива формула

.                 (1)

Доказательство.

При любом  выполняется равенство

.                  (2)

Так как  функция  непрерывна при и , по теореме о непрерывности интеграла как функции параметра следует, что

                                     (3)

Тогда из (2) .

Так как  сходится равномерно, то при произвольном будет . В результате этого оценим левую часть (3) по модулю:

в силу (3) . Последнее означает, что

.

Так как  левая часть существует в этом равенстве, то по определению несобственных интегралов правая часть также существует, причем равная . То есть справедлива формула (1).

Ч.т.д.

     Следствие.

     Если  непрерывная функция  неотрицательная при и интеграл непрерывен по на , то имеет смысл формула (1).

Таким образом, мы установили право переставлять два интеграла, из которых один распространен на бесконечный промежуток, а другой – на конечный. Очень часто приходится переставлять интегралы, взятые в бесконечных промежутках по формуле .

Чаще  всего такую перестановку сложно проделать.

     Теоремы 2. Пусть функция неотрицательна и непрерывна при , , интегралы и (*) существуют и являются непрерывными функциями по переменным соответственно. Тогда, если существует один из интегралов, то существует и второй, причем они равны между собой.