Собственные интегралы, зависящие от параметра

Глава 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра

Пункт 1. Понятие интеграла, зависящего от параметра

     Для того чтобы дать определение интеграла, зависящего от параметра, введем функцию . Пусть эта функция будет определена на некотором множестве , где и , то есть в результате получится множество . Если функция непрерывна в D, то тогда имеет смысл интеграл , где x принадлежит некоторому конечному или бесконечному промежутку , значит, интеграл может быть несобственным.

     На  основании этого можно дать определение  интеграла, зависящего от параметра.

     Определение.

     Интеграл называется интегралом, зависящим от параметра, если интегрируема на промежутке при любом фиксированным , где .

     Следовательно, представляет собой функцию переменной (параметра) , определенную в промежутке . Возможно также существование интеграла при фиксированном , тогда он будет представлять собой функцию переменной (параметра) , определенную в промежутке . Обозначается она так , так что .

Основная задача будет состоять в том, чтобы, зная свойства функции , получить информацию о свойствах функции . Эти свойства имеют многообразные применения, особенно при вычислении  несобственных интегралов.

     Пример. Найти интеграл от функции ,

Функция непрерывна на отрезке при любом фиксированном , а значит, она интегрируема. Тогда

.

 

Пункт 2. Предельный переход  под знаком интеграла. Непрерывность интеграла как функции параметра 

     Определение.

     Пусть - это предельная точка множества .Функция называется равномерно сходящейся к функции при по переменной , если выполняются следующие условия:

1. для при существует конечная предельная функция ;
2. .       (1)

 

     Замечание 1.

     В цепочки (1) зависит только от и не зависит от , а неравенство выполняется при любых одновременно.

     Замечание 2.

     Если  , то в цепочке (1) неравенство следует заменить на ( ).

     Теорема 1 (признак сходимости). Если функция определена на множестве , то для того, чтобы она имела предельную функцию и сходилась к ней равномерно необходимо и достаточно, чтобы  выполнялась цепочка 

Докажем теорема так.

Необходимость. Пусть функция равномерно сходится. Если заменим в определении на и выберем соответственно , а затем возьмем два значения и из так, чтобы выполнялись условия и . В результате получим и откуда следует последнее неравенство в цепочке .

Достаточность. Теперь пусть существует предельная функция . Нужно доказать равномерную сходимость функции к предельной функции. Для этого совершим переход к пределу в неравенстве при , получается . Что и подтверждает равномерную сходимость к функции .

 

      Теорема 2 (о непрерывности предельной функции). Если функция при любом фиксированном непрерывна на и равномерно сходится к предельной функции по переменной при , то функция также непрерывна на .

Легко обобщается теорема Дини: если функция непрерывна для любого фиксированного на и при возрастании функция, монотонно возрастая, стремится к предельной функции , то сходится к равномерно.

     Теорема 3 (предельный переход  по параметру под  знаком интеграла). Если функция непрерывна при постоянном значении на и сходится равномерно по переменной к предельной функции при , то тогда имеет место равенство

         (2)

Доказательство.

Непрерывность следует из теоремы 2, значит, она интегрируема на отрезке . В силу равномерной сходимости к выполняется . Тогда при тех же и имеем:

 откуда следует  , что доказывает формулу (2).

     Замечание 3.

     Равенство (2) можно записать и в другом виде

     

.              (2`)

     Следствие 1.

     Если  функция  при постоянном непрерывна по и при возрастании стремится, монотонно возрастая, к непрерывной предельной функции , то справедливы формулы (2) и (2`).

     В предположении, что область  представляет собой конечный промежуток , рассмотрим вопрос о непрерывности функции .

     Пример (№3713 (в)). Найти .

1. функция непрерывная функция на . Функции и также непрерывны на .
2. непрерывная функция (т.4 и сл.2) в промежутке , значит
3. . 
   

     Теорема 4 (о непрерывности интеграла как функции параметра). Пусть функция определена и непрерывна в прямоугольнике , тогда интеграл будет непрерывной функцией от параметра в промежутке .

Доказательство.

Так как  непрерывна на замкнутом множестве, то по теореме Кантора она равномерно непрерывна на данном прямоугольнике . Возьмем любое и зафиксируем . Тогда нашему значению будет соответствовать , такое, что для любых двух точек , принадлежащих , из неравенств и , будет следовать . Положим , , где , - любые из , и , где . Тогда получим

. Это означает, что функция  равномерно стремится к . В таком случае по теореме 3 , а уже отсюда следует равенство , то есть наша функция непрерывна на .

     Замечание 4. Совершенно аналогично доказывается теорема для , где .

     Следствие 2. Если непрерывна на прямоугольнике , то .

     Пример. Найти .

1. непрерывна на
2. тогда по теореме 4. и следствию 2 получаем

 
 

Пункт 3. Дифференцирование  под знаком интеграла 

При изучении свойств функции важное значение имеет вопрос о ее производной по параметру. Вычислить производную можно по формуле , которую вывел Лейбниц 1697. Рассмотрим теорему, устанавливающую простые достаточные условия для применимости этой формулы.

     Теорема (о дифференцировании интеграла, зависящего от параметра). Пусть функция определена и непрерывна в прямоугольнике и имеет там непрерывную частную производную . Пусть , . Тогда:

1. функция имеет в промежутке производную ;
2. , то есть , .

Доказательство.

Возьмем любую точку  и зафиксируем ее. Придадим приращение и точка . Тогда , ,

       (1)

По теореме  Лагранжа . Следовательно,

.                   (2)

Переходя  в (2) к пределу при , приняв во внимание теорему о допустимости предельного перехода под знаком интеграла, получим:

.

 

Из этого  следует, что  существует, причем . Так как - любое , то существует для любого , причем .

     Пример. Найти производную функции .

     1. непрерывна на

     2. . Эта функция также непрерывна на .

     3.

     

     4.  

 

     

     Пункт 4. Интегрирование по параметру под знаком интеграла 

Рассмотрим  вопрос об интегрировании по параметру  функции . Если она интегрируема, то интеграл будет иметь вид . Достаточное условие для равенства двух повторных интегралов дает следующая теорема.

     Теорема. Если непрерывная по обеим переменным функция на прямоугольнике , то интегрируемая на промежутке функция и справедливо равенство , то есть .

Также можно расписать с помощью  повторных интегралов следующим образом .

Докажем более общее равенство.

 для любого .            (1)

В левой  и правой частях равенства (1) мы имеем  две функции от параметра t. Вычислим их производные по t. Так как , то (т.4 п.2), а следовательно есть интеграл с переменным верхним пределом от непрерывной функции. Тогда по теореме Барроу:

, .                        (2)

В правой части стоит интеграл , где . Действительно функция удовлетворяет условиям теоремы п.3, она также непрерывна по в силу теоремы 4 п.2.Мы можем найти производную , которая будет непрерывна как функция двух переменных.