Ряды и интеграл Фурье

. 

     И  в конечном варианте интеграл  Фурье будет выглядеть так:

 
 

Интеграл  Фурье в комплексной форме 
 

     Теперь  представим интеграл Фурье в комплексной форме. На основе выше полученных разложений имеем: 

, 

, 

а теперь получим  интеграл в комплексной форме: 

.

ГЛАВА 4

ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ПОЛИНОМОМ  ЛЕЖАНДРА 
 
 

Основные  сведения 

    Функцию  можно разложить в ортонормированной  системе пространства X=[-1,1] , причем  полиномы получим, если проинтегрируем выражение: 
 

 

     Соответственно  получим для n=0,1,2,3,4,5, ... : 

. . . . . . . . . . 

     Для  представления функции полиномом  Лежандра необходимо разложить  ее в ряд: 

, 

 где       и разлагаемая функция должна  быть  представлена  на  отрезке от -1 до 1. 
 
 

Преобразование  функции 
 

     Наша  первоначальная функция имеет  вид (см. рис. 1): 

 

т. к. она  расположена на промежутке от 0 до необходимо произвести замену, которая поместит функцию на промежуток от -1 до 1.

     Замена: 

и тогда F(t) примет вид 

 

или 

 
 

Вычисление  коэффициентов ряда 
 
 
 

     Исходя  из выше изложенной формулы  для коэффициентов находим: 

 

 

 

     Далее вычисление коэффициентов осложнено, поэтому произведем вычисление на компьютере в системе MathCad и за одно проверим уже найденные: 

 

     Рассмотрим  процесс стремления суммы полинома  прибавляя поочередно  - слагаемое:

 

 

 

 

 

 

 

 

      А теперь рассмотрим график  суммы пяти полиномов F(t) на промежутки от -1 до 0 (рис.5):

 

 

Рис. 5 

т.к. очевидно, что  на промежутке от 0 до 1 будет нуль. 

Вывод:

     На  основе расчетов гл.2 и гл.4 можно  заключить, что наиболее быстрое  стремление из данных разложений  к заданной функции достигается  при разложении функции в ряд.

ГЛАВА 5

ДИСКРЕТНЫЕ  ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ 
 
 

Прямое преобразование 

     Для  того, чтобы произвести прямое  преобразование, необходимо задать  данную функцию (гл. 1, рис. 1) таблично. Поэтому разбиваем отрезок от 0 до    на N=8 частей, так чтобы приращение:

В нашем случае , и значения функции в k-ых точках будет:

 

для нашего случая (т.к. a=0).

     Составим  табличную функцию: 
 

 

Табл. 1 

Прямым дискретным преобразованием Фурье вектора  называется . Поэтому найдем : 

, n=0,1,...,N-1 

 
 

     Сумму  находим только до 3 слагаемого, т.к.  очевидно, что от 4 до 7 к сумме  суммируется 0 (т.к. значения функции  из таблицы равны нулю). 

     Составим  таблицу по прямому дискретному  преобразованию: 

зная, , где

 

       , где  
 

 

Табл. 2

Амплитудный спектр

 

Обратное  преобразование 

     Обратимся  к теории гл.1. Обратное преобразование- есть функция : 

 

В нашем случаи это: 

 
 

 
 

     А  теперь найдем модули  и составим таблицу по обратным дискретным преобразованиям: 
 
 

 
 
 
 

 

Табл. 3 

Из приведенной  таблицы видно, что  приближенно равно .

     Построим  графики используя табл.3, где - это F(k), а - это f(k) рис. 6 : 

 

Рис. 6 

Вывод:

     На  основе проделанных расчетов  можно заключить, что заданная  функция представима в виде  тригонометрического ряда Фурье, а также интеграла Фурье, полинома Лежандра и дискретных преобразований Фурье. О последнем можно сказать, что спектр (рис. 6) прямого и обратного преобразований совпадают с рассматриваемой функцией и расчеты проведены правильно.