Таким образом, интеграл Фурье четной функции  f(x) запишется так:

,

где a(u) определяется равенством (3).

Рассуждая аналогично, получим, для нечетной функции  f(x) :

   (4)

и, следовательно, интеграл Фурье нечетной функции  имеет вид:

,

где b(u) определяется равенством (4). 
 

Комплексная форма интеграла Фурье 

,   (5)

где

.

Выражение  в форме (5) является комплексной формой интеграла Фурье для функции f(x).

Если  в формуле (5) заменить c(u) его выражением, то получим:

, где правая часть формулы  называется двойным интегралом

Фуpье в  комплексной форме. Переход от интеграла Фурье в комплексной форме к интегралу  

в действительной форме и обратно осуществим с помощью формул: 

 
 

Формулы дискретного  преобразования Фурье 

Обратное преобразование Фурье.

где n=1,2,... , k=1,2,...

Дискретным преобразованием  Фурье - называется N-мерный вектор

при этом,   

.

ГЛАВА 2

ПРАКТИЧЕСКАЯ  ЧАСТЬ 
 

Разложение  функций в тригонометрический ряд Фурье

 

Исходные данные :

 

  (Рис. 1) 
 

     Функция  периодическая с периодом  .( f(x+T)=f(x) )  Функция имеет на промежутке конечное число точек разрыва первого рода.

     Сумма  ряда в точках функции сходится к значению самой функции, а в точках разрыва к величине , где -точки разрыва. 
 

 

Рис. 1 
 

     Производная  также непрерывна везде, кроме  конечного числа точек разрыва первого рода. Вывод: функция удовлетворяет условию разложения в ряд Фурье. 

     1) F(x) - кусочно-непрерывна на интервале  .

     2) F(x) - кусочно-монотонна. 

     Так  как отсутствует симметрия относительно OY, а также центральная симметрия - то рассматриваемая функция произвольна. 
 
 
 

Представление функции рядом Фурье. 

 

 

     Из  разложения видим, что при n нечетном    принимает значения равные 0 , и дополнительно надо рассмотреть случай когда n=1.

Поэтому формулу  для  можно записать в виде: 

 

( так как   ). 

     Отдельно  рассмотрим случай когда n=1: 

. 

     Подставим  найденные коэффициенты в  получим: 

и вообще

. 

     Найдем  первые пять гармоник для найденного ряда: 
 

1-ая гармоника  , 

 
 

2-ая гармоника  , 

 
 
 
 
 
 
 
 
 

3-ая гармоника  , 

 
 
 
 

4-ая гармоника  , 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

5-ая гармоника  , 

 
 
 

и общий график F(x), сумма выше перечисленных гармоник. и сами гармоники. 
 

 
 

Запишем комплексную  форму полученного ряда 
 

     Для  рассматриваемого ряда получаем коэффициенты (см. теорию) 

, 

но при    не существует, поэтому рассмотрим случай когда n=+1 : 

(т.к.  см. разложение выше) 

и случай когда  n=-1: 

(т.к.  ) 

     И  вообще комплексная форма: 
 

 

или 

 

или 

 

Разложение  четной функции в ряд 
 

Данную выше функцию сделаем четной(см. теорию), и рассмотрим ее на промежутке от 0 до смотри рис.2 

Рис.2 

поэтому разложение по  косинусу  имеет вид: 

 

     Из  разложения видим что при  n=2 дробь теряет смысл поэтому отдельно рассмотрим разложения первого и второго коэффициента суммы: 

 

     На  основе данного разложения запишем  функцию в виде ряда: 

 

и вообще

. 

     Найдем  первые пять гармоник для найденного  ряда: 

1-ая гармоника    

 

2-ая гармоника    

 
 
 
 
 
 
 
 

3-я гармоника   
 
 

 
 
 
 

4-ая гармоника    
 
 

 
 
 
 
 
 

5-ая гармоника    
 
 

 
 
 
 
 

     А  теперь рассмотрим сумму этих  гармоник F(x): 
 

 
 
 
 

Комплексная форма ряда по косинусам 
 

 Для рассматриваемого  ряда получаем коэффициенты (см. гл.1)

,

но при    не существует, поэтому рассмотрим случай когда n=+2 :

(т.к.  см. разложение выше)

и случай когда  n=-2: 

(   т.к.  )

     И  вообще комплексная форма: 

 

или 

 

или 

 
 

Разложение  нечетной функции в ряд 
 

     Аналогичным  образом поступаем с данной  функцией F(x), продлевая ее как  нечетную, и рассматриваем на промежутке от 0 до смотри рис.3 
 

 

Рис.3 

поэтому разложение по синусам имеет вид: 

 

     Из  данного разложения видно, что  при n=2 произведение неопределенно (можно не учесть часть суммы), поэтому рассмотрим два отдельных случая. 

     При  n=1:

, 

и при n=2:

 
 

     Учитывая  данные коэффициенты имеем разложения  в виде 

 

и вообще

 
 

     Найдем  первые пять гармоник для данного  разложения:

1-ая гармоника    

 

2-ая гармоника   

 
 
 
 
 

3-ая гармоника    
 

 
 
 
 
 
 

4-ая гармоника    
 

 
 

5-ая гармоника    

 
 

     И  просуммировав выше перечисленные  гармоники получим график функции  F(x) 

 
 

Вывод:

     На основании главы 2, разложение  функции в тригонометрический  ряд(рис.1), разложение в ряд по  косинусам(рис.2), разложение по синусам(рис.3), можно заключить, что данная функция разложима в тригонометрический ряд и это разложение единственное. И проанализировав суммы первых пяти гармоник по каждому разложению можно сказать, что наиболее быстрее к заданному графику достигается при разложении по синусам. 
 

Комплексная форма ряда по синусам 
 

     Основываясь  на теорию (см.  гл.1) для ряда  получаем: 

,  (т.к. ) 

тогда комплексный  ряд имеет вид: 

ГЛАВА 3

ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ИНТЕГРАЛОМ ФУРЬЕ 
 
 

Проверка  условий представимости  
 

     Данную  ранее функцию (см. гл. 2) доопределим  на всей прямой от до как равную нулю(рис.4).  

 

Рис.4 

а) f(x)-определенна  на R;

б) f(x)  возрастает на

, f(x) убывает на - кусочнo-монотонна.

f(x)  = const на

и . 

< . 
 

Интеграл  Фурье 
 

     В  соответствии с теорией (см. гл. 1) найдем a(u) и b(u): 

 

;