ГЛАВА 1

РЯДЫ  И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ

Основные  сведения

 

Функция f(x), определенная на всей числовой оси называется периодической, если существует такое число , что при любом значении х выполняется равенство . Число Т  называется периодом функции.

Отметим некоторые  с в о й с т в а этой функции:

1) Сумма,  разность,  произведение  и  частное  периодических функций периода Т  есть периодическая функция периода Т.

2) Если функция f(x)  период Т , то функция f(ax) имеет период .

3) Если   f(x) - периодическая функция периода Т , то равны любые два интеграла от этой функции, взятые по промежуткам длины Т (при этом интеграл существует), т. е. при любых a и b справедливо равенство .

Тригонометрический  ряд. Ряд Фурье

 

Если f(x) разлагается на отрезке в равномерно сходящийся тригонометрический ряд:

(1)

,то это разложение  единственное и коэффициенты  определяются по формулам:

, где n=1,2, . . .

Тригонометрический  ряд (1) рассмотренного вида с коэффициентами называется тригонометрическим рядом Фурье, а коэффициентами ряда Фурье.

Достаточные признаки разложимости функции в ряд Фурье

 

Точка разрыва функции называют точкой разрыва первого рода, если существует конечные пределы справа и слева этой функции в данной точке.

ТЕОРЕМА 1 (Дирихле).    Если периодическая с периодом функция непрерывна или имеет конечное число точек разрыва 1-ого рода на отрезке [ ] и этот отрезок можно разбить на конечное число частей, в каждом из которых f(x) монотонна, то ряд Фурье относительно функции сходится к f(x) в точках непрерывности и к среднеарифметическому односторонних пределов в точках разрыва рода (Функция удовлетворяющая этим условиям называется кусочно-монотонной). 

ТЕОРЕМА 2.    Если f(x) периодическая функция с периодом , которая на отрезке [ ] вместе со своей производной непрерывна или имеет конечное число точек разрыва первого рода, то ряд Фурье функции f(x) в точках разрыва к среднему арифметическому односторонних пределов (Функция удовлетворяющая этой теореме называется кусочно-гладкой). 

Ряды Фурье  для четных и нечетных функций

 

Пусть f(x)  - четная функция с периодом 2L , удовлетворяющая условию f(-x) = f(x) .

Тогда для коэффициентов  ее ряда Фурье находим формулы:

=

=

= 0 , где n=1,2, . . . 

Таким образом, в ряде Фурье для четной функции  отсутствуют члены с синусами, и ряд Фурье для четной функции с периодом 2L выглядит так:

     Пусть  теперь  f(x)  - нечетная  функция   с   периодом 2L,  удовлетворяющая   условию f(-x) = - f(x).

Тогда для коэффициентов  ее ряда Фурье находим формулы:

, где n=1,2, . . .

Таким образом, в ряде Фурье для нечетной функции  отсутствует свободный член и  члены с косинусами, и ряд Фурье для нечетной функции с периодом 2L выглядит так:

Если  функция f(x) разлагается в тригонометрический ряд Фурье на промежутке

то

, где

,

         

,

          

,

Если  f(x)  разлагается в тригонометрический ряд Фурье на [0,L], то доопределив заданную функцию f(x)  соответствующим образом на [-L,0]; далее периодически продолжив на (T=2L), получим новую функцию, которую разлагаем в тригонометрический ряд Фурье.

Для разложения в ряд Фурье непериодической функции, заданной на конечном произвольном промежутке [a,b], надо : доопределить на [b,a+2L] и периодически продолжить, либо доопределить на [b-2L,a] и периодически продолжить.

Ряд Фурье  по любой ортогональной системе  функций

 

Последовательность  функций непрерывных на отрезке [a,b], называется ортогональной системой функции на отрезке [a,b], если все функции последовательности попарно ортогональны на этом отрезке, т. е. если

 

Система называется ортогональной и нормированной (ортонормированной) на отрезке [a,b],

если  выполняется условие 

Пусть теперь f(x) - любая функция непрерывная на отрезке [a,b]. Рядом Фурье такой функции f(x) на отрезке [a,b] по ортогональной системе называется ряд:

коэффициенты  которого определяются равенством:

  n=1,2,...

Если  ортогональная система функций  на отрезке [a,b] ортонормированная, то в этом случаи  

 где n=1,2,... 

Пусть теперь f(x) - любая функция, непрерывная или имеющая конечное число точек разрыва первого рода на отрезке [a,b]. Рядом Фурье такой функции f(x) на томже отрезке

по ортогональной  системе называется ряд:

, 

Если  ряд Фурье функции f(x) по системе (1) сходится к функции f(x) в каждой ее точке непрерывности, принадлежащей отрезку [a,b]. В этом случае говорят что f(x) на отрезке [a,b] разлагается в ряд по ортогональной системе (1).

Комплексная форма ряда Фурье

 

Выражение называется комплексной формой ряда Фурье функции f(x), если определяется равенством

, где

Переход от ряда Фурье в комплексной форме  к ряду в действительной форме и обратно осуществляется с помощью формул: 

              (n=1,2, . . .)

Задача о  колебании струны

 

Пусть в состоянии равновесия натянута струна длинной  l  с концами x=0 и x=l. Предположим, что струна выведена из состояния равновесия и совершает свободные колебания. Будем рассматривать малые колебания струны, происходящие в вертикальной плоскости.

При сделанных  выше допущениях можно показать, что  функция u(x,t) , характеризующая положение струны в каждый момент времени t, удовлетворяет уравнению

    (1)    , где а  - положительное число.

Наша  з а д а ч а - найти функцию  u(x,t) , график которой дает форму струны в любой момент времени t, т. е. найти решение уравнения (1) при граничных:

    (2)

и начальных  условиях:

  (3)

Сначала будем искать решения уравнения (1), удовлетворяющие граничным условиям(2). Нетрудно увидеть, что u(x,t) 0 является решением уравнения (1), удовлетворяющие граничным условиям(2). Будем искать решения, не равные тождественно 0, представимые в виде произведения u(x,t)=X(x)T(t),    (4) , где , .

Подстановка выражения (4) в уравнение (1) дает:

Из которого наша задача сводится к отысканию  решений уравнений:

Используя это  условие X(0)=0, X(l)=0, докажем, что отрицательное число, разобрав все случаи.

a) Пусть Тогда X”=0 и его общее решение запишется так:

откуда  и ,что невозможно , так как мы рассматриваем решения, не обращающиеся тождественно в нуль.

б) Пусть  . Тогда решив уравнение

получим , и, подчинив, найдем, что

в) Если то

Уравнения имеют  корни :

получим:

где -произвольные постоянные. Из начального условия найдем:

откуда  , т. е.

    (n=1,2,...)

  (n=1,2,...).

Учитывая это, можно записать:

(n=1,2,...).

и,  следовательно 

, (n=1,2,...),

но так как A и B разные для различных значений n то имеем

, (n=1,2,...), 

где и произвольные постоянные, которые попытаемся определить таким образом, чтобы ряд удовлетворял уравнению (1), граничным условиям (2) и начальным условиям (3).

Итак, подчиним функцию u(x,t) начальным условиям, т. е. подберем и так , чтобы выполнялись условия

Эти равенства  являются соответственно разложениями функций и на отрезки [0, l] в ряд Фурье по синусам. ( Это значит что коэффициенты будут вычисляться как для нечетной функций). Таким образом, решение о колебании струны с заданным граничными и начальными условиями дается формулой

где

(n=1,2,...) 

Интеграл  Фурье

 
 

Достаточные условия  представимости функции в интеграл Фурье.

Для того, чтобы  f(x) была представлена интегралом Фурье во всех точках непрерывности и правильных точках разрыва, достаточно:

1) абсолютной интегрируемости на  

(т.е. интеграл сходится) 

2) на  любом  конечном отрезке [-L, L] функция была бы кусочно-гладкой 

3) в точках разрыва функции, ее интеграл Фурье определяется полусуммой левого и правого пределов в этих точках, а в точках непрерывности к самой функции f(x)

Интегралом  Фурье функции f(x) называется интеграл вида: 

, где  

,

. 

Интеграл Фурье для четной и нечетной функции 

Пусть f(x)-четная функция, удовлетворяющая условиям  представимости интегралом Фурье.

Учитывая, что  ,  а также свойство интегралов по симметричному относительно точки x=0 интервалу от четных функций, из равенства (2) получаем:

  (3)