Автор работы: Пользователь скрыл имя, 03 Января 2012 в 00:45, курсовая работа
Требуется произвести разложение данной функции в тригонометрический ряд Фурье и, а так же построить графики этого ряда, используя приближение различным числом гармоний. При выполнении поставленной задачи рекомендуется использовать следующий программный продукт:
Математический пакет MatLab компании MathWorks, Inc.;
Для вычисления соответствующих коэффициентов ряда Фурье, можно воспользоваться формулами , и , а именно:
Поскольку функция задана на промежутке отличном от промежутка необходимого для вычисления коэффициентов ряда Фурье по приведенным выше формулам, для их использования необходимо ввести специальную замену следующего вида:
И представить функцию через новый аргумент, а именно:
И соответственно пересчитать пределы интегрирования.
После выполнения всех этих действий коэффициенты ряда Фурье можно будет рассчитать по следующим формулам:
Применительно к данной функции это будет выглядеть следующим образом:
Поскольку наша функция задана системой двух уравнений, то ряд Фурье будет составляться только из периодической части функции , а именно в два этапа:
Замечание.
Для вычисления коэффициентов при в случае удобно использовать следующие тригонометрические формулы для преобразования подынтегрального выражения:
Этап 1. Определение коэффициентов ряда Фурье для функции .
Длиной промежутка будет являться числовое значение равное 3 ,нижним приделом будет являться числовое значение равное , а верхним соответственно 3.
Аргумент функций и будет иметь следующий вид:
Значит, коэффициент можно будет вычислить следующим образом
и он будет равен
А коэффициенты можно будет найти следующим образом
И если воспользоваться формулами для преобразования подынтегрального выражения, коэффициенты ряда соответственно будут равны
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| |
Пункт 3. Составление ряда Фурье.
Функцию можно разложить в тригонометрический ряд следующего вида:
По рассчитанным в предыдущем пункте коэффициентам Фурье, функцию можно разложить в соответствующий ряд Фурье следующего вида:
=
Пункт 4. Составление ряда Фурье. Четное продолжение. .
Функцию можно разложить в тригонометрический ряд четного продолжения, тригонометрический ряд Фурье, разложенный исключительно по функциям косинуса, а именно:
По рассчитанным в Пункте 2 коэффициентам Фурье, функцию можно разложить в соответствующий ряд Фурье следующего вида:
Пункт 5. Составление ряда Фурье. Нечетное продолжение. .
Функцию можно разложить в тригонометрический ряд четного продолжения, это тригонометрический ряд Фурье, разложенный исключительно по функциям синуса, а именно
По рассчитанным в Пункте 2 коэффициентам Фурье, функцию можно разложить в соответствующий ряд Фурье следующего вида:
Часть 2. Программное разложение
Пункт 1. Задание функции.
Функция имеет следующий вид:
Её описание на языке понятном математическому пакету MatLab выглядит следующим образом
Промежутки изменения аргумента функции задаются следующим образом
Где, например, выражение означает, что переменной будет присвоена последовательность значений в диапазоне от 0 до 3 с шагом .
Пункт 2. Определение коэффициентов ряда.
Для определения коэффициентов ряда Фурье при помощи математического пакета Mat Lab необходимо произвести численное вычисление определенного интеграла первого рода с известными верхним и нижним пределами интегрирования.
Для выполнения соответствующего действия в математическом пакете Mat Lab присутствует целый набор соответствующих функций. В качестве примера мы будем использовать только одну функцию – .
Функция численно вычисляет определенный интеграл
с погрешностью, не превышающей .
Подынтегральная функция представляется в аналитическом виде с соблюдением правил записи функций в математическом пакете Mat Lab.
Применительно к поставленной задаче для вычисления коэффициентов ряда Фурье, необходимо выполнить следующие команды
Замечание.
Стоит обратить внимание, что аналитическая функция, являющаяся подынтегральным выражением, должна быть в формате строки (то есть, заключена в апострофы) и все арифметические операторы должны быть заменены на поэлементные операции.
Пункт 3. Составление ряда Фурье.
Этап 1. Численное выражение ряда Фурье.
Для этого необходимо выполнить следующий перечень команд понятный математическому пакету Mat Lab
Пункт 4. Составление ряда Фурье. Четное продолжение. .
Функцию можно разложить в тригонометрический ряд четного продолжения, это тригонометрический ряд Фурье, разложенный исключительно по функциям косинуса, применительно к поставленной задаче необходимо выполнить следующий перечень команд понятный математическому пакету Mat Lab, а именно
Пункт 5. Составление ряда Фурье. Нечетное продолжение. .
Функцию можно разложить в тригонометрический ряд четного продолжения, это тригонометрический ряд Фурье, разложенный исключительно по функциям синуса, применительно к поставленной задаче необходимо выполнить следующий перечень команд понятный математическому пакету Mat Lab, а именно
Часть 3. Построение графиков
Пункт 1. График функции .
Функция заданная системой уравнений может быть построена в математическом пакете Mat Lab при помощи выполнения следующего перечня команд