Курсовая работа на тему 
«Разложение функции в ряд Фурье» 
в математическом пакете 
MathLAB.

 

    Формулировка  задания.

    Требуется произвести разложение данной функции в тригонометрический ряд Фурье и, а так же построить графики этого ряда, используя приближение различным числом гармоний. При выполнении поставленной задачи рекомендуется использовать следующий программный продукт:

1. Математический пакет MatLab компании MathWorks, Inc.;

    Функция, подлежащая разложению в соответствии с предоставленным заданием, выглядят следующим образом:

 

    Глава 1. Справочный материал

    Пункт 1.  Периодические величины.

    Различные величины, связанные с рассматриваемым  периодическим явлением, по истечении  периода  возвращаются к своим прежним значениям и представляют, соответственно, периодические функции от времени , характеризуемым равенством :

    

.

    Простейшей  из периодических функций является синусоидальная величина: , где есть «частота», связанная с периодом соотношением:

    

.

    Из  подобных простейших величин могут быть составлены более сложные. Очевидно, что составляющие величины должны быть разных частот, так как сложение синусоидальных величин одной и той же частоты приводит к синусоидальной величине, притом той же частоты. Если же сложить несколько величин вида:

    

, , , ,…

    которые имеют частоты:

    

, , ,…

    кратные наименьшей из них, , и периоды:

    

, , ,…

    то  получится периодическая функция (с периодом ), но уже существенно отличающаяся от величин типа .

    Возникает вопрос: можно ли данную периодическую  функцию  периода представить в виде суммы конечного или хотя бы бесконечного множества синусоидальных величин вида ? По отношению к довольно широкому классу функций на этот вопрос можно дать утвердительный ответ, но только если привлечь именно всю бесконечную последовательно величин . Для функций этого класса имеет место разложение в «тригонометрический ряд»:

    

,

    Причем  есть постоянные, имеющие особые значения для каждой такой функции, а частота задается формулой .

    Геометрически это означает, что график периодической  функции получается путем наложения  ряда синусоид. Отдельные синусоидальные величины, входящие в состав разложения , называются гармоническими составляющими функции или просто ее гармониками .Процесс разложения периодической функции на гармоники носит название гармонического анализа.

    Пункт 2.  Тригонометрическое разложение.

    Если  за независимую перемену выбрать 

    

,

    то  получится функция от :

    

,

    тоже  периодическая, но со стандартным периодом . Разложение будет выглядеть следующим образом:

    

 

    Развернув члены этого ряда по формуле для синуса суммы и положив, что:

    

, , ,

    придем  к окончательной форме тригонометрического  разложения:

    

 

    Здесь функция от угла , имеющая период , оказывается разложенной по косинусам и синусам углов, кратных .

 

     Пункт 3 Ряды Фурье

    Определение коэффициентов по методу Эйлера-Фурье.

    Для того, чтобы установить возможность  тригонометрического разложения для заданной функции , имеющей период , нужно исходить из определенного набора коэффициентов ниже будет приведен прием для их определения.

    Будем предполагать функцию  интегрируемой в промежутке . Допустим, что разложение имеет место, и проинтегрируем его почленно от до , тогда получим:

    

.

    Но, как легко видеть,

    

 

    Поэтому все члены под знаком суммы  будут нулями, и окончательно найдем

    

  .

    Для того чтобы установить величину коэффициента , умножим обе части равенства на и снова почленно проинтегрируем в том же промежутке:

      

    Первый член справа исчезнет в следствии . Далее имеем

    

 

    

 

    Если  , и, наконец,

    

 

    Таким образом, обращаются в нуль все интегралы  под знаком суммы, кроме интеграла, при котором множителем стоит  именно коэффициент  . Отсюда этот коэффициент и определяется:

    

,

    Аналогично  определим коэффициенты при синусе:

    

, 

    Формулы , и известны под названием формул Эйлера-Фурье. Вычисленные по этим формулам коэффициенты называются коэффициентами Фурье.

    Пункт 4.  Условие существования ряда Фурье.

    В вышеизложенных рассуждениях использовалось предположение о том, что тригонометрическое разложение имеет место, хотя вопрос о том, отвечает ли это действительности остается открытым. Так же использовалось повторное почленное интегрирование ряда, что не всегда дозволительно. Достаточным условием этого применения является равномерная сходимость ряда. Поэтому строго установленным можно считать лишь следующее:

1. Если функция , имеющая период , разлагается в равномерно сходящийся тригонометрический ряд , то этот тригонометрический ряд будет ее рядом Фурье;
2. Если же не предполагать изначально равномерность сходимости, то приведенные соображения не доказывают даже и того, что функция может разлагаться только в ряд Фурье. Их можно рассматривать лишь как наведение, достаточное для того, чтобы в поисках тригонометрического разложения данной функции, по крайней мере, начать с ее ряда Фурье, обязуясь установить, при каких условиях он сходится и притом именно к данной функции.

    Пока  же это не сделано, можно лишь формально рассматривать ряд Фурье данной функции , но нельзя о нем ничего утверждать, кроме того, что он образован с помощью функции f. Эту связь с функцией f обычно обозначают так:

    

.

 

     Пункт 5.  Нахождение сумм ряда.

    Соотношение оставляет открытым вопрос о том, сходится ли ряд Фурье функции в , и, если сходится, то к какой функции он сходится: к функции f, породившей этот ряд, или к какой-нибудь другой функции?

    Для сходимости ряда Фурье во всех точках промежутка и для того, чтобы сумма ряда на всем промежутке, за исключением лишь конечного числа точек, совпадала с функцией f ,достаточны следующие условия, наложенные на функцию .

    Если  функция  такова что:

1. имеет в лишь конечное число точек разрыва первого рода;
2. имеет конечный правосторонний предел в точке при и конечный левосторонний предел в точке при ;
3. Промежуток можно разбить на конечное число частей, внутри каждой из которой изменяется монотонно,

    то  ряд Фурье функции  сходится на промежутке , причем его сумма равна

    

    Данное утверждение носит название теоремы Дирихле.

    Пункт 6.  Случай произвольного промежутка.

    Пусть функция  задана в промежутке произвольной длины , . Если прибегнуть к подстановке , , то получится функция от в промежутке . При соблюдении особых условий можно разложить ее в ряд Фурье:

    

.

    Вернемся  к переменной , полагая , и получим разложение заданной функции в тригонометрический ряд:

    

    Коэффициенты  ряда определяются следующим образом:

    

,

    или

    

,

    Пункт 7.  Разложение только по косинусам или только по синусам.

    Если  заданная в промежутке интегрируемая функция будет нечетной, то для нее . Соответственно, если – четная, то .

    Пусть теперь будет абсолютно интегрируемая в промежутке четная функция. Тогда произведение окажется нечетной функцией, и по сказанному

    

.

    Таким образом, ряд Фурье четной функции  содержит одни лишь косинусы:

    

.

    Так как функция  будет четной, то коэффициенты разложения можно написать в виде

    

.

    Если  же функция  будет нечетной, то нечетной будет и функция , так что:

    

    Следовательно, ряд Фурье нечетной функции содержит лишь синусы:

    

.

    При этом ввиду четности можно записать:

    

.

    Каждая  функция  , заданная в промежутке , может быть представлена в виде суммы четной и нечетной составляющих функция.

    Заданную  в промежутке функцию при соблюдении определенных условий оказывается возможным разлагать как в ряд по синусам, так и в ряд по косинусам.

 

     Глава 2.  Практический материал

    Часть 1.  Аналитическое разложение.

    Пункт 1. описание функции.

    Функция имеет следующий вид:

    

   

    Пункт 2.  Определение коэффициентов ряда.

    Функцию можно разложить в тригонометрический ряд следующего вида:

    

    Этот  ряд имеет название ряда Фурье. Для разложения данной функции в тригонометрический ряд Фурье необходимо произвести вычисления соответствующих коэффициентов ряда, а именно: