Прогрессии

6)В  треугольнике,  периметр  которого  Р, а   площадь  S, провели  три   средних  линии  и  образовали  второй  треугольник (Рис.). Во  втором  треугольнике  снова   провели  три  средних   линии  и  создали  третий  треугольник  и  так  далее.  Найди  сумму  бесконечной   последовательности:  a).периметров  всех  треугольников; b).площадей  всех  треугольников. 

Решение. a).Согласно  свойств  средней  линии  длины  сторон  очередного  треугольника  равны, соответственно, половине  длин  сторон  предыдущего  треугольника. Поэтому  периметры  треугольников  образуют  бесконечную  убывающую  геометрическую  прогрессию, знаменатель  которой  равен  1/2, а  первый  член  равен  Р. Отсюда  сумма  периметров  всех  треугольников  есть  Р/(1 - 1/2) = 2Р. 

7)Наша  последовательность  состоит  из  подобных  треугольников,  отношения   подобия  которых   равны  1/2. Поэтому  отношение   площадей  есть  (1/2)2 = 1/4. Т.е. площади   треугольников  образуют  бесконечную   убывающую  геометрическую  прогрессию  со  знаменателем  1/4  и  первым  элементом  S. Отсюда  сумма   площадей  всех  треугольников   есть  S/(1 - 1/4) = (4/3)S.

8) Найди  общий   член  последовательности  11/2, 21/4, 31/8, 41/16, ... .

Решение. Из  рассмотрения  последовательности  легко  видеть, что  каждый  ее  член  состоит  из  суммы  двух  чисел: 1+1/2, 2+1/4, 3+1/8, 4+1/16, ... .  Первое  из  них  есть  член  арифметической  прогрессии  1, 2, 3, 4, ... , а  второе - член  геометрической  прогрессии   1/2, 1/4, 1/8, 1/16, ... . Значит  общий  член an = n + 2-n.

9)Найди  общий   член  последовательности  1×1/3, 3×4/9, 5×9/27, 7×16/81,... .

Решение. В  числителе  есть  последовательности: (1) 1, 3, 5, 7, ... ; (2) 1, 4, 9, 16, ... . В  знаменателе: (3) 31, 32, 33, 34, ... . Последовательность  (1)  есть  арифметическая  прогрессия  с  общим  членом  2n - 1. Последовательность  (2)  состоит  из  квадратов  натуральных  чисел, поэтому  ее  общий  член  есть  n2(в дальнеейшем  мы  рассмотрим  способ  нахождения  общего  члена  в  подобных  случаях). Последовательность  (3)  является  геометрической  прогрессией  с  общим  членом  3n . Отсюда  общий  член  нашей  последовательности  есть  an = (2n - 1)×n2/3n.

10)Найди  общий   член  последовательности  8, -5, 2, 1, -4, 7, -10, 13,... .

Решение. Члены  этой  последовательности  обладают  попеременно  меняющимися  знаками (кроме  1  и  2). Поменяем  знаки  членов, стоящих  на  нечетных  ппозициях, на  обратные  и  получим  последовательность  -8, -5, -2, 1, 4, 7, 10, 13, ... . Это  арифметическая  прогрессия  с  общим  членом  3n - 11. Поскольку  мы  меняли  знаки  у  членов  на  нечетных  позициях, надо  помножить  3n - 11, на  такое  выражение, что  если  n  четное, то  оно  не  должно  изменяться, а  если  n - нечетное, то  это  выражение  должно  поменять  знак. Здесь  подходит  (-1)n. Поэтому  искомый  общий  член  есть  an = (-1)n(3n - 11).   Если  мы  хотим  менять  знаки  членов  на  четных  позициях, будем  умножать  на  выражение  (-1)n-1  или  (-1)n+1

11) Из пункта А  выехал велосипедист со скоростью  15 км/ч. Спустя 3 ч вслед ему  отправился мотоциклист. Который  в первый час проехал 20 км, а  в каждый следующий час проезжал  на 1 км больше, чем в предыдущий. Сколько часов потребовалось  мотоциклисту, чтобы догнать велосипедиста?

Решение: данная задача на арифметическую прогрессию. Разность прогрессии 1. Первый член прогрессии 20. Пусть за n часов мотоциклист догонит  велосипедиста. Тогда велосипедист проехал 

15 * 3 + 15 * n км., а мотоциклист  проехал   *n км. Пути у них одинаковые. Составим и решим уравнение:  

15 * 3 + 15 * n = *n ,

n2 + 9n – 90 = 0,

n = 6.

Ответ:6 часов.

12)Артель изготовила  в январе 118 изделий, а в каждый  следующий месяц она изготавливала  на 8 изделий больше, чем в предыдущий. Сколько изделий изготовила артель  в марте; в декабре?

Решение: применяем  арифметическую прогрессию. Первый член прогрессии 118. Разность 8. Третий член прогрессии равен 118 + 8 * (3 – 1) = 134. Двенадцатый  член прогрессии равен 118 + 8 * (12 – 1) = 206.

Ответ: в марте  артель изготовила 134 изделия, в декабре 206 изделий.

13)Вертикальные стержни  фермы имеют такую длину: наименьший  а1 = 5 дм, а каждый следующий на 2 дм длиннее. Записать длину  семи стержней.

Решение: применяем  арифметическую прогрессию.а1 = 5, а2 = 5 + 2 = 7, а3 = 7 + 2 = 9, а4 = 9 + 2 = 11, а5 = 11 + 2 = 13, а6 = 13 + 2 = 15, а7 = 15 + 2 = 17.

Ответ: 7м, 9м, 11м, 13м, 15м, 17м.

14)В благоприятных  условиях бактерии размножаются  так, что на протяжении одной  минуты одна из них делится  на две. Записать колонию, рожденную  одной бактерией за 7 минут.

Решение: применяем  геометрическую прогрессию.b1 = 1, q = 2.

b8 = b1 * qn – 1, b8 = 1 * 28 – 1 = 128. S8 = b1 *(qn – 1) :(q – 1). S = 1 * (28 – 1) : (2 – 1) = 255. Получилось 255 бактерии. Но среди них присутствует и первоначальная бактерия. Значит от нее родились 254 бактерии.

Ответ: 254 бактерии.

15)Система состоит  из трех банков А1, А2 и А3. В первый банк А1 внесен вклад  200000 руб. Процентная ставка обязательных  резервов составляет 15%. Какова максимальная  сумма кредитов, которую может  выдать эта система? 

Решение:

n=3, Sn=200000 руб., q=0,85. Обязательные  резервы банка А1 составляют 15%, т. е.  200000*0,15=30000 руб. Величина  свободных резервов банка составляет 200000-30000=170000 руб. Найдем 

  Ответ:  437325 руб. 

16)При одном из  видов кредитования (как правило,  краткосрочном) заем в 6000 руб.  погашается в течение года  по 500 руб. ежемесячно, вносимых в  последний день месяца одновременно  с уплатой 5% в месяц, начисляемых  по формуле сложных процентов  на совершаемый платеж. Найти  процент всей платы за кредит.

  Решение: 

В первый месяц заемщик  уплачивает 500*1,05=525 руб. Следующими пятью  сотнями он пользовался уже 2 месяца, и за это придется заплатить больше: 500*(1,052). Получается геометрическая прогрессия с первым членом 525 и знаменателем q=10,

Ответ: 2356,3 руб.

17)Сумма трех положительных  чисел, образующих арифметическую  прогрессию, равна 21. Если к этим  числам прибавить соответственно 2, 3 и 9, то новые числа 

Дано:

a1, a2, a3 – данные числа (а.п.)

a1+a2+a3=21

a1+2, a2+3, a3+9 – г.п.

Найти: a1, a2, a3

Решение:

Т.к. a1, a2, a3 – арифметическая прогрессия, используя характеристическое свойство а.п. можем записать 2a2=a1+a3; a1+2, a2+3, a3+9 – геометрическая прогрессия и используя характеристическое свойство г.п. получаем (a2+3)2= (a1+2)(a3+9).

Запишем систему 

 

3a2=21, a2=7

  Подставляя в  третье уравнение вместо a2=7, получаем (a1+2)( a3+9)=102, т.к. a1+a3=14, значит a3=14-a1, то (a1+2)(14-a1+9)=100 приводим уравнение к виду a12-21a1+54=0. Решая получившееся квадратное  уравнение, находим корни a1.1=18, a1.2=3. Значение a1.1=18 не подходит, т.к.  сумма первых двух чисел уже  будет превосходить сумму всех  трех, т.к. все три числа положительны. Итак,  a1=3, a2=7, a3=11.

Ответ: a1=3, a2=7, a3=11. 

18)Задача о зёрнах  на шахматной доске — математическая  задача, в которой вычисляется,  сколько будет зёрен на шахматной  доске, если класть на каждую  следующую клетку доски вдвое  больше зёрен, чем на предыдущую, начиная с одного.

Для её решения учтём, что доска имеет 64 клетки. При  удвоении количества зёрен на каждой последующей клетке сумма зёрен  на всех 64 клетках определяется выражением

=1+2+4+…+==-1

что составляет 18 446 744 073 709 551 615.

 

Заключение.

Задачи на прогрессии, дошедшие до нас из древности, были связаны с запросами хозяйственной  жизни: распределение продуктов, деление  наследства и др..

Существует много  применений прогрессий, например в элементарной теории чисел,предсказательная астрология,банковское дело,экономика,в игровых страдеях ставок. В наше время принцип прогрессии все более часто применяется при построении самых разных составляющих музыкальной ткани (в том числе: интервалов, аккордов, кластеров, шумозвуков, громкостных единиц, темпов и синтаксических структур, "фактурной напряженности") и обрел, таким образом, значение одной из важнейших закономерностей формообразования на уровне как панкомпонентного и многокомпонентного, так и монокомпонентного конструктивных процессов.

В данной курсовой работе подобрано 36 задач. 18 из них повышенной сложности. 6 решено мною самостоятельно.

При выполнении работы опиралась в основном на рекомендованную  преподавателем литературу. 

 

Литература.

1. Алексеев В.М. Элементарная математика. –Киев,1983.
2. Антонов Н.П. и др. Сборник задач по элементарной математике.-М.:Наука,1967.
3. Баранов И.Б., Ляпин С.Е. Задачи на доказательство по алгебре. –М.:Учпедиц,1954.
4. Ваховский Е.Б., Пывкин А.А. Задачи по элементарной математике. –М.:Наука,1971.
5. Лидский В.Б. и др. Задачи по элементарной математике. –М.:Наука,1969.
6. Ляпин С.Е. и др. Сборник задач по элементарной алгебре.-М.:Просвещение,1973.
7. Мещерякова Г.П. Нестандартные задачи на прогрессии.//МШ,1998,№6,стр.47.
8. Мордкович А.Г. Две дюжины задач на прогрессии.//Квант,1971,№2.
9. Петровская Н.А. Коллекция нестандартных задач на прогрессии.//МШ,1991,№9,стр.60

10) Пичурин Л.Ф. За страницами учебника алгебры.-М.:Просвещение,1990.

11) Сивашинский И.Х. Теоремы и задачи по алгебре и элементарным функциям.

        -М.:Наука,1971.