Прогрессии

Своё название прогрессия получила по своему характеристическому свойству:

=

т.е. каждый член равен среднему геометрическому его соседей.

Пример

2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, 2048, 4096, 8192 — прогрессия со  знаменателем 2 из тринадцати членов.

Свойства

1)=*

Доказательство:

0; q0

=*q

=*q=*

=*q=*

=*

2)Логарифмы членов геометрической прогрессии (если определены) образуют арифметическую прогрессию

Доказательство

Пусть w_n — последовательность :

Полученное  соотношение является характеристическим для арифметической прогрессии.

3)

Доказательство

4)Произведение первых n членов геометрической прогрессии можно рассчитать по формуле:

,

Доказательство

5)Произведение членов геометрической прогрессии начиная с k-ого члена, и заканчивая n-ым членом, можно рассчитать по формуле:

Доказательство

6)Сумма n первых членов геометрической прогрессии:

, при 

, при 

Доказательство

1)Через сумму:

2)по n:

7)Если , то при , и

при . 

Задача 1

Найти сумму первых 8 членов геометрической прогрессии 3, 6, 12, ...

Решение.

Здесь a1 = 3 и q = 2. Для n = 8 получаем

=*=3*=3*=756

Задача 2

Найти сумму ряда 1-0,37+-+…

Решение.

Данный ряд является бесконечной геометрической прогрессией  со знаменателем q = − 0,37. Следовательно, прогрессия сходится и ее сумма равна

S===

Задача 3

Найти сумму ряда

=1-+ - + - +

Решение.

Здесь мы имеем дело с конечной геометрической прогрессией, знаменатель которой равен q= -

Поскольку сумма  геометрической прогрессии выражается формулой 

то получаем следующий  результат 

Задача4

Выразить бесконечную  периодическую дробь 0,131313... рациональным числом.  

Решение.

Запишем периодическую  дробь в следующем виде: 

     

     Используя формулу суммы бесконечно убывающей  геометрической прогрессии знаменателем , получаем 

 

Задача 5.

Показать, что

 

при условии x > 1.  

Решение.

Очевидно, что если x >1,то Тогда левая часть в заданном выражении представляет собой сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Используя формулу , левую часть можно записать в виде

что доказывает исходное соотношение.

Задача 6.

Решить уравнение

Решение.

Запишем левую часть  уравнения в виде суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии:

Тогда уравнение  принимает вид 

    

Находим корни квадратного  уравнения:

 

Поскольку |x| < 1, то решением будет . 

Задача 7.

Известно, что второй член бесконечно убывающей геометрической прогрессии (|q| < 1) равен 21, а сумма  равна 112. Найти первый член и знаменатель  прогрессии.  

Решение.

Используем формулу  бесконечно убывающей геометрической прогрессии

Так как второй член прогрессии равен  , то получаем следующую систему уравнений для определения

Решая систему, получаем квадратное уравнение:

Это уравнение имеет  два корня:

Для каждого знаменателя q найдем соответствующие первые члены:

Таким образом, задача имеет два решения:

БЕСКОНЕЧНО УБЫВАЮЩАЯ  ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ

При |q| < 1,

  поэтому в этом случае геометрическая прогрессия называется бесконечно убывающей. Суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии называется число ,     

 

где Sn – сумма n первых членов геометрической прогрессии. 

Сумма бесконечно убывающей  геометрической прогрессии (|q| < 1) равна 

Для доказательства достаточно заметить, что 

 В предпоследнем  переходе использовались свойства пределов последовательностей. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

§4 Понятие гармонической прапорции и гармонической прогрессии.

Последовательность  чисел а1, а2, а3, а4 …называется гармонической  прогрессией, если последовательность чисел, обратных данным 1/а1, 1/а2,1/а3, …  образует арифметическую прогрессию. Любой член такой последовательности называется средним гармоническим  двух соседних членов, поэтому, для  того, чтобы найти среднее гармоническое  двух заданных чисел а и b, сначала  находим среднее арифметическое обратных им чисел, а затем число, обратное этому среднему. Таким образом, среднее гармоническое равно: 2ab/(a+b).

В математике пропорцией называют равенство двух отношений: a : b = c : d.

Отрезок прямой АВ можно  разделить точкой C на две части  следующими способами:

на две равные частиАВ : АC = АВ : ВC;

на две неравные части в любом отношении (такие  части пропорции не образуют);

таким образом, когда  АВ : АC = АC : ВC.

Последнее и есть золотое деление или деление  отрезка в крайнем и среднем  отношении.

Золотое сечение - это  такое пропорциональное деление  отрезка на неравные части, при котором  весь отрезок так относится к  большей части, как сама большая  часть относится к меньшей; или  другими словами, меньший отрезок  так относится к большему, как  больший ко всему

a : b = b : c или с : b = b : а. 

  Отрезки золотой пропорции выражаются бесконечной иррациональной дробью 0,618..., если c принять за единицу, a = 0,382. Числа 0.618 и 0.382 являются коэффициентами последовательности Фибоначчи. На этой пропорции базируются основные геометрические фигуры.

Прямоугольник с  таким отношением сторон стали называть золотым прямоугольником. Он также  обладает интересными свойствами. Если от него отрезать квадрат, то останется  вновь золотой прямоугольник. Этот процесс можно продолжать до бесконечности. А если провести диагональ первого  и второго прямоугольника, то точка  их пересечения будет принадлежать всем получаемым золотым прямоугольникам.

Разумеется есть и золотой треугольник. Это равнобедренный треугольник, у которого отношение  длины боковой стороны к длине  основания равняется 1.618.

Есть и золотой  кубоид- это прямоугольный параллелепипед с ребрами, имеющими длины 1.618, 1 и 0.618.

В звездчатом пятиугольнике  каждая из пяти линий, составляющих эту  фигуру, делит другую в отношении  золотого сечения, а концы звезды являются золотыми треугольниками. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Глава 2. Нестандартные задачи.

1) В  сосуде  находится  10  литров  чистого   спирта(алкоголь  100%  концентрации). Из  сосуда  извлекли  литр  спирта  и  добавили  литр  воды, перемешали,  снова  извлекли  литр  жидкости  и  добавили  литр  воды  и  так  далее. a).Каково  содержание  спирта  в  сосуде  после  15  таких   действий?      b).Через   какое  количество  таких   процедур  содержание  алкоголя  станет  впервые  меньше  10%?

Решение. a).После  первой  процедуры  извлечения  и  добавления  одного  литра  в  сосуде  останется  9  литров  чистого  спирта  и  1  литр  воды, поэтому  содержание  алкоголя  будет  0.9. В  литре  жидкости, извлеченной  во  второй  раз,  было  уже  0.9  литра  спирта  и  0.1  литр  воды. Значит  в  сосуде  осталось  8.1  литра  чистого  спирта   (9 - 0.9)  и  0.9  литра  воды (1 - 0.1). После  добавления  в  сосуд  второго  литра  воды количество  спирта  в  нем  не  изменится, т.е  будет  8.1  литра  алкоголя  и  1.9  литра  воды (1 + 0.9). Всего  в  сосуде  10  литров  жидкости, поэтому  после  двух  таких  операций  содержание  в  нем  алкоголя  0.81, а  содержаниее  воды  0.19. Отсюда  следует, что  каждая  операция  извлечения  и  долива  одного  литра  уменьшает  содержаниее  алкоголя  в  0.9  раза. На  самом  деле  здесь  получается  геометрическая  прогрессия  с  a1 = 0.9  и  q = 0.9.   Поэтому  после  15  описанных  операций   содержание  спирта  будет  0.9×0.914 = ... = 20.6%.

2)Из  сосуда, в   котором 100  литров  алкоголя  60%  концентрации,  извлекают  10  литров, переливают  во  вторую  емкость, а  вместо  них   в  первую  добавляют  10  литров  воды. Затем  снова  берут   из  первой  емкости  10  литров  жидкости, переливают  во  вторую  емкость  и  добавляют   в  первую  10  литров  воды. Вычисли   содержание  спирта  во  втором  сосуде  после  20  таких  действий.

Решение. Количество  спирта, помещенного  во  вторую  емкость  в результате  первой  операции  10×0.6 = 6 литров. Затем  добавили  10  литров  воды  в  первую  емкость, поэтому  содержание  спирта  в  ней  сейчас  составляет  90%  от  прежней  концентрации(см. пример  e’  на  стр. 90), т.е. содержание  теперь  0.6×0.9 = 0.54.  Значит  количество  спирта  во  второй  порции  10×0.54 = 5.4  литра. Т.е. получается  геометрическая  прогрессия  с  a1 = 6, q = 0.9, n = 20.  Вычислим  сумму  алкоголя  во  всех  порциях: S20 = 6(1 - 0.920)/(1 - 0.9) = 52.71 литров. Всего  же  перелили  во  вторую  емкость  10×20 = 200  литров  жидкости. Поэтому  содержание  в  ней  спирта  равно       52.71×100/200 = 26.35% .

3) Вычисли  суммы   следующих  бесконечных  геометричееских   прогрессий:       a). 1/2, 1/4, 1/8, ...              b). 9, -6, 4, ...

Решения. a). Согласно  задания  a1 = 1/2, q = 1/2  и  поэтому  S = ... = 1.

b). Здесь  a1 = 9, q = -2/3  и  поэтому  S = ... = 5.4.

4) Мяч  упал  с  высоты  1.2  м, отскочил  и  затем  поднимался  всякий  раз  до  высоты, составляющей  3/4  высоты, с  которой  он  опускался  предыдущий  раз.  Вычисли  общий  путь, пройденный  мячем  до  его  остановки   на  земле. 

Решение. Решим  эту  задачу  в  предположении, что  мяч  остановится  после  бесконечного  числа  падений  и  подъемов. Предел  суммы  всех  падений  будет(a1 = 1.2) S = 1.2/(1 - 3/4) = 4.8 м, а предел  суммы  всех  подъемов  будет(a1 = 0.9)

S = 0.9/(1 - 3/4) = 3.6 м. Поэтому   общий  путь  мяча  составит  4.8 + 3.6 = 8.4 м.

5) Сумма  бесконечного  убывающего  геометрического   ряда  равна  12, а  сумма   квадратов  его  членов  равна  48. Найди  первый  член  и   знаменатель  исходного  ряда.   

Решение. Если a1  и  q  есть,  соответственно,  первый  элемент  и  знаменатель  исходного  ряда, то a12  и  q2  суть,  соответственно,  первый  элемент  и  знаменатель  нового  ряда. Полученные  уравнения: a1/(1 - q) = 12, a12/(1 - q2) = 48. Возведем  во  вторую  степень  обе  части  левого  уравнения  и  затем  разделим  на  соответственные  части  правого  уравнения, получим  после  сокращений  (1 + q)/(1 - q) = 3. Решение  этого  уравнения   q = 1/2.  В  результате  подстановки  получаем  a1 = 6.