Прогрессии

                                                     Содержание.

1. Введение __________________________________________________3
2. Глава 1. Прогрессии.

      §1 Последовательность_________________________________________4

           §2 Арифметическая прогрессия_________________________________6

           §3 Геометрическая прогрессия__________________________________9

           §4 Понятия гармонической прапорции и гармонической прогрессии__17

3. Глава 2. Задачи.____________________________________________19
4. Заключение _______________________________________________25
5. Литература ________________________________________________26 
   

Введение.

Термин «прогрессия» имеет латинское происхождение (progression, что означает «движение вперед») и был введен римским автором  Боэцием (VI в.). Этим термином в математике прежде именовали всякую последовательность чисел, построенную по такому закону, который позволяет неограниченно  продолжать эту последовательность в одном направлении. В настоящее  время термин «прогрессия» в первоначально  широком смысле не употребляется. Два  важных частных вида прогрессий –  арифметическая и геометрическая –  сохранили свои названия. Сами названия «арифметическая» и «геометрическая» были перенесены на прогрессии из теории непрерывных пропорций, изучением  которых занимались древние греки. Задачи на прогрессии, дошедшие до нас  из древности, были связаны с запросами  хозяйственной жизни: распределение  продуктов, деление наследства и  др.. Некоторые формулы, относящиеся  к прогрессиям, были известны китайским  и индийским ученым. Ариабхатта(v в.) применял формулы общего числа, суммы  арифметической прогрессии....

Геометрическая прогрессия играет большую и важную роль не только в школьном курсе алгебры, но и в дальнейшем обучении в высших учебных заведениях. Важность этого  на первый взгляд небольшого раздела  школьного курса заключается  в его чрезвычайно широких  областях применения, в частности  он часто применяется в теории рядов, рассматриваемой на II-III курсах университета. Поэтому крайне важно дать полное описание этого курса, дабы читатель мог повторить уже известный ему из школьного курса материал, или даже почерпнуть много нового и интересного.

В своей работе я  рассматриваю определения арифметической, геометрической и бесконечно убывающей  геометрической прогрессий, а так  же свойства членов прогрессий, сумму  n-членов арифметической и геометрической прогрессий. Ввожу понятия гармонической пропорции и гармонической прогрессии. Так же в этой работе целая глава посвещана задачам по данной теме.

Цель курсовой работы упрощение решения практических задач и применение свойств арифметической и геометрической прогрессии при  решении задач.

 

Глава 1.Прогрессии.

§1 Последовательность

ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТь-совокупность чисел (математических выражений и т.п.; говорят: элементов любой природы), занумерованных натуральными числами. Последовательность записывается в виде , ,..., ,... или коротко {}.

ЧИСЛОВАЯ  ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ – функция вида y = f(x), где N – множество натуральных чисел (или функция натурального аргумента), обозначается y = f(n) или y₁, y₂,…, y_n,…. Значения y₁, y₂, y₃,… называют соответственно первым, вторым, третьим, … членами последовательности.

Например, для  функции y = n² можно записать:

y₁ = 1² = 1;

y₂ = 2² = 4;

y₃ = 3² = 9;…y_n = n²;…

Способы задания последовательностей.

Последовательности  можно задавать различными способами, среди которых особенно важны  три: аналитический, описательный и  рекуррентный.

1. Последовательность  задана аналитически, если задана  формула ее n-го члена:

y_n = f(n).

Пример. y_n = 2n – 1 – последовательность нечетных чисел: 1, 3, 5, 7, 9, …

2. Описательный способ задания числовой последовательности состоит в том, что объясняется, из каких элементов строится последовательность.

Пример 1. «Все члены  последовательности равны 1». Это значит, речь идет о стационарной последовательности 1, 1, 1, …, 1, ….

Пример 2. «Последовательность  состоит из всех простых чисел  в порядке возрастания». Таким  образом, задана последовательность 2, 3, 5, 7, 11, …. При таком способе задания  последовательности в данном примере  трудно ответить, чему равен, скажем, 1000-й  элемент последовательности.

3. Рекуррентный  способ задания последовательности  состоит в том, что указывается  правило, позволяющее вычислить  n-й член последовательности, если известны ее предыдущие члены. Название рекуррентный способ происходит от латинского слова recurrere – возвращаться. Чаще всего в таких случаях указывают формулу, позволяющую выразить n-й член последовательности через предыдущие, и задают 1–2 начальных члена последовательности.

Пример 1. y₁ = 3; y_n = y_n–1 + 4, если n = 2, 3, 4,….

Здесь y₁ = 3; y₂ = 3 + 4 = 7; y₃ = 7 + 4 = 11; ….

Можно видеть, что  полученную в этом примере последовательность может быть задана и аналитически: y_n = 4n – 1.

Пример 2. y₁ = 1; y₂ = 1; y_n = y_n–2 + y_n–1 , если n = 3, 4,….

Здесь: y₁ = 1; y₂ = 1; y₃ = 1 + 1 = 2; y₄ = 1 + 2 = 3; y₅ = 2 + 3 = 5; y₆ = 3 + 5 = 8;

Последовательность, составленную в этом примере, специально изучают в математике, поскольку  она обладает рядом интересных свойств  и приложений. Ее называют последовательностью  Фибоначчи – по имени итальянского математика 13 в. Задать последовательность Фибоначчи рекуррентно очень  легко, а аналитически – очень  трудно. n-е число Фибоначчи выражается через его порядковый номер следующей формулой .

На первый взгляд, формула для n-го числа Фибоначчи кажется неправдоподобной, так как в формуле, задающей последовательность одних только натуральных чисел, содержатся квадратные корни, но можно проверить «вручную» справедливость этой формулы для нескольких первых n.

Свойства  числовых последовательностей.

 Числовая последовательность – частный случай числовой функции, поэтому ряд свойств функций рассматриваются и для последовательностей.

Определение. Последовательность {y_n} называют возрастающей, если каждый ее член (кроме первого) больше предыдущего:

y₁ < y₂ < y₃ < … < y_n < y_n+1 < ….

Определение. Последовательность {y_n} называют убывающей, если каждый ее член (кроме первого) меньше предыдущего:

y₁ > y₂ > y₃ > … > y_n > y_n+1 > … .

Возрастающие  и убывающие последовательности объединяют общим термином – монотонные последовательности.

Пример 1. y₁ = 1; y_n = n^{2</SUP– последовательность.}

^{Пример 2. y}₁ ^{= 1; – убывающая последовательность.}  
 
 
 

§2  Арифметическая прогрессия

Арифметической прогрессией  называется такая последовательность, у которой каждый ее член, начиная  со второго, равен предыдущему  члену, сложенному с одним и тем же числом  d,которое называется разностью прогрессии.

Для всех элементов  прогрессии, начиная со второго выполнимо  равенство:

Если d > 0, то прогрессия является возрастающей. Если d < 0, то прогрессия является убывающей.

Арифметическая прогрессия считается конечной, если рассматриваются  только ее первые несколько членов. 

= + d = (+ d) + d = + 2d,

= + d = (+ 2d) + d = + 3d,

  = + d(n-1)  

= + d(n-1) - формула n-го члена арифметической прогрессии.(n≥1)

Пример

• 3,6,9,12,15,18,21,24,27,30 — арифметическая прогрессия из десяти членов с шагом 3.

 

Свойства

      1.

2.Если  шаг d > 0, прогрессия является возрастающей; если d < 0, — убывающей.

3.Любой  член арифметической прогрессии, начиная со второго, является средним арифметическим предыдущего и следующего члена прогрессии: 
     .

• Обратное также верно, то есть это свойство является признаком арифметической прогрессии.
• Доказательство:

Обратное  аналогично

4.Сумма  n первых членов арифметической прогрессии может быть выражена формулами

• Доказательство:
• Через сумму:

• По индукции:

5.Сумма  n последовательных членов арифметической  прогрессии начиная с члена  k:

6.Пример  суммы арифметической прогрессии  является сумма ряда натуральных  чисел до n включительно:

Задача 1.При делении девятого члена арифметической прогрессии на второй член в частном получается 5, а при делении тринадцатого члена на шестой член в частном получается 2 и в остатке 5. Найти первый член и разность прогрессии.

Решение:   …,- арифметическая прогрессия

: остаток 5) 
 

Используя формулу n-го члена прогрессии получаем систему уравнений: 
 

      Откуда  4(2d-5)=3d,то 5d=20,то d=4

                       =3

Ответ:      d=4

Задача 2. Известно, что  при любом n сумма Sn членов некоторой арифметической прогрессии выражается формулой Sn=4n²-3n. Найти три первых члена этой прогрессии.

Решение:

Пусть    n=1 .

Пусть    n=2 .  

 Так как     ,то 

Ответ: ,, 

Задача 3. Найти сумму 

Решение: перепишем  сумму в виде: 
 

Ответ:

Задача 4. Найти сумму =++ +…+

Решение: заметим,что =-

Тогда перепишем  сумму в виде разности:

=(1 -)+( - )+( - )+…+( - )+( - )=1 - =

Ответ: =.

§3 Геометрическая прогрессия

Геометри́ческая прогре́ссия — последовательность чисел (членов прогрессии), в которой каждое последующее число, начиная со второго, получается из предыдущего умножением его на определённое число (знаменатель прогрессии), где , и обычно предполагают, что

Любой член геометрической прогрессии может быть вычислен по формуле:

Если b₁ > 0 и q > 1, прогрессия является возрастающей последовательностью, если 0 < q < 1, — убывающей последовательностью, а при q < 0 — знакопеременной