Призма, параллелепипед, пространственные фигуры

Пирамиду Евклид определяет как телесную фигуру, ограниченную плоскостями, которые от одной плоскости (основания) сходятся в одной точке (вершине). Эго определение подвергалось критике уже в древности, например, Героном, предложившим следующее определение пирамиды: это фигура, ограниченная треугольниками, сходящимися в одной точке, и основанием которой служит многоугольник.

Важнейшим недостатком  этого определения является использование  неопределенного понятия основания. Тейлор определил пирамиду как многогранник, у которого все грани, кроме одной, сходятся в одной точке. Лежандр в "Элементах геометрии" так определяет пирамиду: "Телесная фигура, образованная треугольниками, сходящимися в одной точке и заканчивающаяся на различных сторонах плоского основания". После этой формулировки разъясняется понятие основания. Определение Лежандра является явно избыточным, т.е. содержит признаки, которые можно вывести из других. А вот еще одно определение, которое фигурировало в учебниках ХIХ в.: пирамида - телесный угол, пересеченный плоскостью.

Еще в древности  существовали два пути определения  геометрических понятий. Первый вел  от фигур высшего порядка к  фигурам низшего. Такой точки  зрения придерживался, в частности, Евклид, определяющий поверхность как границу тела, линию - как границу поверхности, концы же линии - как точки. Второй путь ведет, наоборот, от фигур низшего измерения к фигурам высшего: движением точки образуется линия, аналогично из линий составляется поверхность и т. д. Одним из первых, который соединил обе эти точки зрения, был Герон Александрийский, писавший, что тело ограничивается поверхностью и вместе с этим может быть рассмотрено как образованное движением поверхности. В появившихся позже на протяжении веков учебниках геометрии принималась за основу то одна, то другая, а иногда и обе вместе точки зрения.

2.3. Пирамида и площадь ее поверхности

Определение. Многогранник, одна из граней которого - многоугольник, а остальные грани - треугольники с общей вершиной, называется пирамидой.

На рисунке     изображены пятиугольная пирамида SABCDE и ее развертка. Треугольники, имеющие общую вершину, называют боковыми гранями пирамиды; общую вершину боковых граней - вершиной пирамиды; многоугольник, которому не принадлежит эта вершина,- основанием пирамиды; ребра пирамиды, сходящиеся в ее вершине,- боковыми ребрами пира- 
миды. Высота пирамиды - это отрезок перпендикуляра, проведенного через ее вершину к плоскости основания, с концами в вершине и на плоскости основания пирамиды. На рисунке      отрезок SO - высота пирамиды.

Определение. Пирамида, основание которой - правильный многоугольник и вершина проектируется в его центр, называется правильной.

На рисунке    изображена правильная шестиугольная пирамида.

2.4. Измерение объемов

Объемы зерновых амбаров и других сооружений в виде кубов, призм и цилиндров египтяне и вавилоняне, китайцы и индийцы вычисляли путем умножения площади основания на высоту. Однако древнему Востоку были известны в основном только отдельные правила, найденные опытным путем, которыми пользовались для нахождения объемов для площадей фигур. В более позднее время, когда геометрия сформировалась как наука, был найден общий подход к вычислению объемов многогранников.

Среди замечательных  греческих ученых V - IV вв. до н.э., которые  разрабатывали теорию объемов, были Демокрит из Абдеры и Евдокс Книдский.

Евклид не применяет  термина "объем". Для него термин "куб", например, означает и объем  куба. В ХI книге "Начал" изложены среди других и теоремы следующего содержания.

1. Параллелепипеды с одинаковыми высотами и равновеликими основаниями равновелики.

2. Отношение объемов двух параллелепипедов с равными высотами равно отношению площадей их оснований.

3. В равновеликих параллелепипедах площади оснований обратно пропорциональны высотам.

Теоремы Евклида относятся только к сравнению объемов, так как непосредственное вычисление объемов тел Евклид, вероятно, считал делом практических руководств по геометрии. В произведениях прикладного характера Герона Александрийского имеются правила для вычислений объема куба, призмы, параллелепипеда и других пространственных фигур.

2.5. О пирамиде и ее объеме

Термин "пирамида" заимствован из греческого "пирамис" или "пирамидос". Греки в свою очередь позаимствовали это слово, как полагают, из египетского языка. В папирусе Ахмеса встречается слово "пирамус" в смысле ребра правильной пирамиды. Другие считают, что термин берет свое начало от форм хлебцев в Древней Греции "пирос" - рожь). В связи с тем, что форма пламени иногда напоминает образ пирамиды, некоторые средневековые ученые считали, что термин происходит греческого слова "пир" - огонь. Вот почему в некоторых учебниках геометрии XVI в. пирамида названа "огнеформное тело".

В Древнем Египте гробницы фараонов имели форму пирамид. В III Тысячелетии до н.э. египтяне сооружали ступенчатые пирамиды, сложенные из каменных блоков; позже египетские пирамиды приобрели геометрически правильную форму, например пирамида Хеопса, высота которой достигает почти 147 м, и др. Внутри пирамид находились погребальные склепы и коридоры.

Согласно Архимеду, еще в V до н.э. Демокрит из Абдеры установил, что объем пирамиды равен одной  трети объема призмы с тем же основанием и той же высотой. Полное доказательство этой теоремы дал Евдокс Книдский в IV до н.э.

В "Началах" Евклида доказывается, что в равновеликих пирамидах площади оснований обратно пропорциональны соответствующим высотам. Первое непосредственное вычисление объема пирамиды, дошедшее до нас, встречается у Герона Александрийского.

Интересно отметить, что в древних документах встречаются правила для определения объема усеченной пирамиды, о нет правил вычисления объема полной пирамиды. В "Московском папирусе" имеется задача, озаглавленная "Действия с усеченной пирамидой", в которой излагается верное вычисление объема одной усеченной пирамиды. В вавилонских клинописных табличках также не встречается вычисление объема пирамиды, но зато в них есть много примеров вычисления объема усеченной пирамиды.

2.6. О призме  и параллелепипеде

В памятниках вавилонской  и древнеегипетской архитектуры встречаются такие геометрические фигуры, как куб, параллелепипед, призма. Важнейшей задачей египетской и вавилонской геометрии было определение объема различных пространственных фигур. Эта задача отвечала необходимости строить дома, дворцы, храмы и другие сооружения.

Часть геометрии, в которой изучаются свойства куба, призмы, параллелепипеда и  других геометрических тел и пространственных фигур, издавна называется стереометрией; Слово это греческого происхождения ("стереос" - пространственный, "метрео" - измеряю) и встречается еще у знаменитого древнегреческого философа Аристотеля. Стереометрия возникла позже, чем планиметрия. Евклид дает следующее определение призмы: "Призма есть телесная (т.е. пространственная) фигура, заключенная между плоскостями, из которых две противоположные равны и параллельны, остальные же - параллелограммы". Тут, как и во многих других местах, Евклид употребляет термин "плоскость" не в смысле безгранично продолженной плоскости, а в смысле ограниченной ее части, грани, подобно тому как "прямая" означает у него и отрезок прямой.

Термин "призма" греческого происхождения и буквально  означает "отпиленное" (тело).

Термин "параллелепипедальное тело" встречается  впервые у Евклида и означает дословно "параллеле-плоскостное тело". Греческое слово "кубос" употребляется Евклидом в том же смысле, что и наше слово "куб"

2.7. Параллелепипед

Определение. Призма, основание которой - параллелограмм, называется параллелепипедом.

В соответствии с определением параллелепипед - это четырехугольная призма, все грани которой - параллелограммы (рис.   ). Параллелепипеды, как и призмы, могут быть прямыми и наклонными. На рисунке    изображен наклонный параллелепипед, а на рисунке      - прямой параллелепипед.

Прямой параллелепипед, основанием которого служит прямоугольник, называют прямоугольным параллелепипедом. У прямоугольного параллелепипеда все грани - прямоугольники. Моделями прямоугольного параллелепипеда служат классная комната, кирпич, спичечная коробка. 

Длины трех ребер  прямоугольного параллелепипеда, имеющих  общий конец, называют его измерениями. Например, имеются спичечные коробки с измерениями 15, 35, 50 мм. Куб - прямоугольный параллелепипед с равными измерениями. Все шесть граней куба - равные квадраты.

Рассмотрим некоторые  свойства параллелепипеда.

Теорема. Параллелепипед симметричен относительно середины его диагонали.

Из теоремы  непосредственно следуют важные свойства параллелепипеда:

1. Любой отрезок с концами, принадлежащими поверхности параллелепипеда и проходящий через середину его диагонали, делится ею пополам; в частности, все диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся ею пополам.

Так, на рисунке     A1O=OC, B1O=OD, D1O=OB, AO=OC1, а также MO=ON, где M`A1B1C1D1, N`ABCD, O`MN.

2. Противолежащие грани параллелепипеда параллельны и равны.

Так, на рисунке     AA1D1D=BB1C1C, (AA1D1)П(BB1C1).

Рассмотренными  свойствами обладает произвольный параллелепипед. Докажем одно свойство прямоугольного параллелепипеда.

Теорема. Квадрат длины диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадрата трех его измерений.  

3. Симметрия  в пространстве

Теорема, в которой  утверждается, что все диагонали  параллелепипеда пересекаются в  одной точке О, в которой они делятся пополам, напоминает аналогичное предложение из планиметрии: диагонали параллелограмма пересекаются в точке О, являющейся их серединой. Точка О - это центр симметрии параллелограмма. Аналогично называют и точку О центром симметрии параллелепипеда, так как вершины А и С1, В и D1, С и А1, D и В1 симметричны относительно точки О. Впервые понятие центра симметрии встречается в ХVI в. в одной из теорем Клавиуса, гласящей: если параллелепипед рассекается плоскостью, проходящей через центр, то он разбивается пополам и, наоборот, если параллелепипед рассекается пополам, то плоскость проходит через центр. Лежандр, который впервые ввел в элементарную геометрию элементы учения о симметрии, говорит только о симметрии относительно плоскости и дает следующее определение: две точки A и B симметричны относительно плоскости a, если последняя перпендикулярна к АВ в середине этого отрезка. Лежандр показывает, что у прямого параллелепипеда имеются 3 плоскости симметрии, перпендикулярные к ребрам, а у куба 9 плоскостей симметрии, из которых 3 перпендикулярны к ребрам, а другие 6 проходят через диагонали граней.  

Литература

1. Глейзер Г.Д.  Геометрия. Учебное пособие для  старших классов. М., Просвещение, 1994.

2. Погорелов  А.В. Геометрия. Учебное пособие  для 7-11 классов. М., Просвещение, 1992.