tify">       

     Пример 4.

     Найти решение уравнения  при начальных условиях y(0)=-1, y`(0)=0.

     Решение

     Пусть , тогда , .

     Тогда

       - изображающее уравнение. Отсюда

     

     Оригинал  для правого слагаемого известен , а оригинал для удобнее найти по теореме свертывания.

     Известно, что  , поэтому

     

     Так как  , то

     

     Таким образом,

       

     Пример  5.

     Найти общее решение уравнения  .

     Решение

     Для получения общего решения начальные  условия зададим так:

     y(0)=C₁, y`(0)=C₂

     Если  , то ,

      .

     И изображение уравнения имеет  вид

     

     Отсюда

     

     Согласно  приложению

      ,

     

     Собирая оригиналы всех слагаемых, представляющих Y(p), получаем искомое решение:

     

     если  .

Пример 6

     Так же операционный метод применяется  для решения систем линейных дифференциальных уравнений. При решении системы  ЛДУ  с постоянными коэффициентами для каждой неизвестной функции вводится свое изображение, и решение задачи сводится к решению системы алгебраических уравнений для изображений.

    При условии  x(0) = y(0) = 0  решить систему .

f(t) = t =: = = + = = . => t =: 1/p² и  система принимает вид

Решение системы F₁(p) = ; F₂(p) = . Эти изображения разложим на сумму простейших дробей: F₁(p) = - + -   ,  F₂(p) =  - + + и по формулам, которые даны в приложении, перейдем к оригиналам, которые дают решение исходной системы уравнений :   

x(t)  =  – t  +  ½ e^t – ½ e^-t  ,    y(t)  =  – 1 +  ½ e^t +  ½ e^-t  . 

       Проверка.   x`(t) – у(t) = [– 1 +  ½ e^t +  ½ e^-t] – [– 1 +  ½ e^t +  ½ e^-t] = 0

у`(t) – x(t) = [½ e^t –  ½ e^-t ]  –  [– t  +  ½ e^t –  ½ e^-t  ] = t.

Пример  7

     Операционный  метод может быть применён для  решения нестационарных задач математической физики. Рассмотрим случай, когда некая функция u(x,t) зависит лишь от пространственной координаты x и времени t.

     Для уравнения теплопроводности будем  решать I краевую задачу:

     

     a²=const, u(x,0)=u(x) - начальные условия и u(0,t)=ψ₁(t), u(l,t)=ψ₂(t), 0 ≤ x ≤ l – краевые условия.

     Пусть все функции являются оригинальными. Обозначим

      - изображение по Лапласу. 

     

     Тогда

     

     

     

     Тогда краевые условия:

     

     Уравнение в изображениях:

     

 

Заключение

Данная  курсовая работа разбита на пять параграфов.

     В первом параграфе даётся определение функций, которые называются оригиналами или изображаемыми по Лапласу.

     Во  втором параграфе рассматриваются  основные теоремы операционного  исчисления. А также дифференцирование  и интегрирование оригиналов и их изображений. Эти теоремы пригодятся нам при решении дифференциальных уравнений.

     В третьем параграфе даются примеры  изображений простейших функций.

     В четвёртом рассказывается о способах нахождения оригинала по изображению. Тут же приводится пример нахождения оригинала, если изображением является дробно-рациональная функция.

     В пятом параграфе даётся решение задачи Коши для обыкновенных линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Так же здесь рассматриваются примеры решения, дифференциальных уравнений и их систем методом операционного исчисления.

 

Список литературы

 

1. Старков В.Н. Операционное исчисление и его применения. [Текст]

/ В.  Н. Старков // Учебн. пособ.- СПб, 2000.

2. Письменный Д. М. Конспект лекций по высшей математике. Часть 2. [Текст] / Д. М. Письменный // М.: Айрис-пресс, 2008. – 256 с.: ил.
3. Арсланов Ф.Х. Элементы теории операционного исчисления. [Текст]

/ Арсланов Ф.Х., Гарифьянов Ф.Н., Гимадиев Р.Ш., Григорян С.А., Желифонов М.П., Никитин А.С., Хамзин А.А. // Базовый конспект лекций. Казань: Каз. гос. энерг. ун-т, 2006.

4. Данко Е. П. Высшая математика в упражнениях и задачах. Часть 2. [Текст] / Попов А. Г., Кожевникова Т. Я., // Учебное пособие для вузов. – М.: Высшая школа, 1999. – 416 с.: ил.

 

Приложение

 

     Таблица оригиналов и их изображений.