∆

     Это свойство вытекает из свойства линейности интеграла.

     

     Домножим  равенство  на a:

     Так как  , то , то есть

     

 

      2.2 Теорема подобия.

 

     Для любого постоянного a > 0:

     

     Умножение аргумента оригинала на положительное  число a приводит к делению изображения и его аргумента на это число a.

     Положим at=u. Тогда .

     Таким образом, при t=0 получаем u=0, при получаем и

     

     

     2.3 Теорема запаздывания.

 

       для t>t>0

     Таким образом, запаздывание аргумента оригинала  на положительную величину t приводит к умножению изображения оригинала без запаздывания F(p) на e^-pt.

     2.4 Теорема смещения.

     Для a >0 имеет место соотношение:

     

     ∆

     Из  определения изображения имеем:

     

     2.5 Теорема упреждения.

 

     При а > 0 имеет место соотношение:

     

     2.6 Умножение оригиналов

 

     

     2.7 Дифференцирование оригинала

 

     

     

     Если  и – оригиналы и , то

         (2.7.1)

     В самом деле, исходя из формулы Ньютона  – Лейбница, в силу (2.1.1) будем иметь

      .

     Тогда по теореме 1

      .

     Отсюда  , что и требовалось доказать.

     Применив  формулу (2.7.1) дважды, получим

     

     и т.д. В частности, если , то , т.е. в этом случае дифференцирование оригинала сводится к умножению его изображения на p.

     2.8 Дифференцирование изображения

 

     Если  , то , то есть умножению оригинала на (-t) соответствует производная от изображения F(p). 

     Обобщение:

     Путем последовательного дифференцирования  по параметру p равенства получим:

     

     2.9 Интегрирование оригинала

 

     Если  , то , то есть интегрированию оригинала в пределах от 0 до t соответствует деление изображения на р.

     Если  f(t) принадлежит множеству оригиналов, то и будет принадлежать множеству оригиналов.

     Пусть и . Из видно, что

     1)

     2) .

     Применим  свойство дифференцирования оригинала  к  , и в силу последних двух равенств получим

      ,

     А отсюда .

     Но, по условию теоремы, . Следовательно, или .

     А отсюда и из соотношений  и следует, что .

     2.10 Интегрирование изображения

 

     Если  и принадлежит множеству оригиналов, то . Где F(z) – аналитическая функция.

     §3. Изображения простейших функций

 

     Единичная функция Хевисайда.

     Имеем:

     

     Так как при  , то .

     Для функции Хевисайда с запаздывающим аргументом по теореме запаздывания получим

      .

     Экспонента. По теореме смещения

      .

     Гиперболические и тригонометрические функции.

     В силу линейности преобразования Лапласа  имеем

      ;

      ;

      ;

     

     Степенная функция с натуральным  показателем.

     Положим , где . Тогда при

      .

     При , поэтому

     

     Отсюда

      .

     Так как  , то

     

     Полученные  с помощью формулы (1) изображения  некоторых функций сведены в  таблицу (см. приложение). Ее можно использовать для нахождения изображений функций.

 

      §4. Отыскание оригинала по изображению

 

     Для нахождения оригинала f(t) по известному изображению F(p) нужно использовать формулы обращения Римана-Меллина

      .

     Если  функция f(t) является оригиналом, т.е. удовлетворяет условиям 1-3 определения 1 и F(p) служит ее изображением, то в любой точке своей непрерывности функция f(t) равна:

     

     Формула обращения Римана-Меллина дает выражение  оригинала f(t) через изображение F(p), причем a – произвольное число, удовлетворяющее неравенству a>s₀.

       Вычисление оригинала по формуле  Римана-Меллина довольно трудоёмко,  поэтому на практике при решении  задач применяют другие методы, которые рассматриваются ниже.

     4.1 Разложение на простейшие дроби.

 

     Если  есть дробно-рациональная функция, причем степень числителя A(p) меньше степени знаменателя B(p), то эту дробь разлагают на сумму простых дробей и находят оригиналы для каждой простой дроби либо непосредственно по формуле (1), либо по таблице (см. приложение).

     Пример 1. Найти оригинал по изображению.

     

     Разложим  функцию на сумму дробей:

     

     Найдем  методом неопределенных коэффициентов А, В, С:

     

     Тогда

     

     Воспользуемся приложением:

     

     В итоге оригинал равен

     

     4.2. Первая теорема разложения

 

     Теорема. Если изображение искомой функции может быть разложено в степенной ряд по степеням , т.е.

     

     (причем  этот ряд сходится к F( p) при ), то оригинал имеет вид

     

     (причем  ряд сходится при всех значениях  t ).

     §5 Решение задачи Коши для обыкновенных линейных

     дифференциальных  уравнений с постоянными  коэффициентами

 

     Рассмотрим  линейное дифференциальное уравнение

     

     где a_k –действительные числа.

     Требуется найти решение данного дифференциального  уравнения, удовлетворяющее начальным  условиям

     x(0)=x₀, x`(0)=x`₀, …, x^(n-1)(0)=x₀^(n-1)

     где x₀, x`₀, …, x₀^(n-1) – заданные числа.

     Будем предполагать, что искомая функция  x(t), все ее производные, а также функция f (t) являются оригиналами.

     Пусть . По формулам дифференцирования оригиналов

     

     Перейдем  от данного дифференциального уравнения  к уравнению в изображениях

     

     Перепишем его так  , где , а

     Находим так называемое операторное решение уравнения

     

     Найдя оригинал x(t) по его изображению X(p) , мы получим тем самым решение задачи Коши для исходного дифференциального уравнения. 

     7. Примеры

     Пример 1.

     Найти решение дифференциального уравнения  x¢¢(t)-4x¢(t)+5x(t)=0,

     удовлетворяющее условиям x(0) = 0, x¢(0) = 1.

     Решение. Запишем уравнение в изображениях

     

     

     

     

     Вынесем Х за скобки

     

     

     Найдем  оригинал, используя выведенные ранее значения в таблице приложения:

     

     искомое решение -  

     Пример 2.

     Решить  дифференциальное уравнение y`-2y=0, y(0)=1.

     Решение

       

     Пример 3.

     Решить  дифференциальное уравнение y`+y=e^t, y(0)=0.

     Решение

     

     Перейдем  к уравнению