.

При некотором  специальном выборе координатной системы  невязка также может стремиться к нулю.

Сходные операторы

Самосопряженные положительно определенные операторы  и , действующие в одном и том же гильбертовом пространстве, называются сходными, если .

Теорема о невязке

Пусть и - сходные положительно определенные операторы, действующие в сепарабельном гильбертовом пространстве , и пусть оператор имеет дискретный спектр. Если систему собственных элементов оператора принять за координатную для уравнения (1) и если

  (2)

есть  -е приближение по Ритцу к точному решению уравнения (1), то невязка стремится к нулю при . 

Примеры сходных операторов

Решение методом Ритца  краевых задач  для обыкновенных дифференциальных уравнений

Рассмотрим краевую  задачу

, 

при условиях:

,  .

Граничные условия  определяют выбор последовательности координатных функций.

1. , т.е. граничные условия имеют вид . Приближенное решение ищется в виде:

,

где - любая достаточно гладкая функция, удовлетворяющая заданным граничным условиям, например . Координатные функции - любые достаточно гладкие линейно независимые функции, удовлетворяющие соответствующим однородным условиям . В качестве таких функций можно взять функции

или

.

2. В случае граничных условий , можно взять в качестве координатных функции

,

,

Ортонормирование  по Шмидту

Пусть

,  (1)

- конечная или  бесконечная последовательность  элементов гильбертова пространства, и пусть при любом элементы линейно независимы. Положим

,    .

 

Последовательность  ортонормирована, при этом линейно выражается через , а - линейно выражается через .

Пример:

Провести ортогонализацию  для базиса в случае интервала .

Ответ:

  Вычисление  скалярных произведений (Aj_i, j_k) в случае уравнения для оператора

     (13)

  

  Если в  первом интеграле провести интегрирование по частям, то получим эквивалентные соотношения:

    

  Возможный выбор базиса для оператора (13):

Метод Галеркина.

  Рассмотрим  H – сепарабельное гильбертово пространство, M – его плотное подмножество.

  Известно, что если для некоторого  u ÎH  и "v Î M выполняется (u, v) = 0, тогда  u = 0 в H.

  Пусть {j_k} – базис в H, k = 1, 2, ¼Тогда если (u, j_k) = 0, k = 1, 2, ¼ то опять u = 0 в H. 

  По  нашему предположению {j_k} образует базис в H , тогда множество N всех элементов вида

           (14)

( n – произвольное целое положительное число, a_k – произвольные вещественные числа ) является плотным в H . А так как для всех k выполняется (u, j_k) = 0, то

     (u, a_k j_k) = 0

для всех элементов (14) из N ,откуда следует (13).

  Пусть Аu = f    – уравнение в H.

  Если  мы найдем элемент u₀Î D_A такой, что выполняется условие:

                 (Au₀ – f, j_k) = 0  " k = 1, 2, ¼,   (15)

то из (13) следует, что

      Au₀ – f = 0 в H ,     (16)

т.е. u₀Î D_A – решение уравнения Аu = f в H.

  Это рассуждение, ведущее к утверждению, что из (15) следует (16), составляет идею метода Галёркина.

  Пусть базис {j_k} и область определения D_A оператора A таковы, что любая линейная комбинация (14) элементов этого базиса принадлежит D_A , и пусть приближенное решение u_n уравнения Аu = f ищется в виде

  

,    (17)

где n – произвольное, но фиксированное число, а a_k – пока неизвестные постоянные. В методе Галёркина эти постоянные определяются из условий

                  , " k = 1, 2, ¼,n,   (18)

аналогичных (15). Условия (18) представляют собой  n уравнений для n неизвестных постоянных a₁, …, a_n.

  Преобразуем , k = 1, 2, ¼ ,n (подставив (17):

Если оператор A линеен, то условия (18) принимают вид

, k = 1,…, n,    (19)

Если  оператор A ещё и положителен (и поэтому симметричен), то систему (19) можно записать в виде

 (20)

которая совпадает по форме с системой (12), полученной с помощью метода Ритца. Таким образом, выполнение предположений, необходимых для сходимости метода Ритца, означает также выполнение предположений, необходимых для сходимости метода Галёркина.

  Замечание. В случае положительно определённых операторов метод Галёркина не дает ничего нового по сравнению с методом Ритца; эти два метода ведут к решению одинаковых систем линейных уравнений и к одинаковым последовательностям приближенных решений. Однако возможности применения метода Галёркина существенно шире, чем у метода Ритца. В методе Галёркина, характеризуемом условием (18), заранее не налагается на оператор A никаких существенных ограничений: не является необходимым, чтобы оператор A был положительно определенным, а тем более симметричным, но самое главное то, что он может быть нелинейным. Поэтому метод Галёркина может применяться даже в случае очень общих операторов.

Метод наименьших квадратов

  Рассмотрим  оператор A, положительно определенный на линеале D_A , который является плотным в сепарабельном гильбертовом пространстве H, и уравнение

  Аu = f,

где f Î H . Пусть j₁, j₂,…,j_k Î D_A , k = 1, 2,… образуют базис в H, т.е. такую последовательность, что Aj₁,  Aj₂,… образуют базис в H . Следовательно, для любого fÎH и любого h> 0 можно найти положительное целое число m и постоянные  c₁,…,c_m, что

  

,

или для  линейного оператора  :

  

 .

  Метод наименьших квадратов состоит в  нахождении приближенного решения u_n уравнения Аu = f в виде

  

,   (22)

где постоянные a_k определяются из условия

  

.    (23)

  Если  в (23) вместо подставить сумму (22), то выражение(23) станет квадратичной функцией переменных . Необходимым условием минимума квадрата нормы является удовлетворение в точке (a₁,…, a_n) равенств

  

.

  Аналогично  методу Ритца, получим систему

  

 (25)

  Система (25) имеет единственное решение, поскольку ее определитель представляет собой определитель Грама, соответствующий первым n элементам последовательности (21), а эти элементы по предположению образуют базис в H , так что они линейно независимы в H .

  Метод Куранта.

  Метод Куранта  представляет собой некоторое сочетание метода Ритца и метода наименьших квадратов. Пусть заранее известно, что обобщенное решение уравнения принадлежит . Построим функционал

 (1)

где . Функционал достигает минимума на в точности на , поскольку минимально на в точности при в соответствии с теоремой о минимуме квадратичного функционала; так же минимально при , так как при этом . Таким образом, нахождение решения уравнения эквивалентно нахождению элемента , минимизирующего в функционал . Из формы функционала видно, что его минимизация в (например с помощью метода Ритца) труднее, чем минимизация исходного функционала или . В тоже время метод Куранта сочетает преимущества метода Ритца и метода наименьших квадратов, и это положительно влияет на скорость сходимости решения.

В случае функционала (1) система уравнений  для нахождения коэффициентов в  приближении решения  приводится к виду

  (2)

Если  мы строим минимизирующую последовательность для  , например с помощью метода Ритца, то, очевидно, будем иметь сходимость в