Если  оператор положительно определенный, то он положительный, обратное не всегда верно. 

Пример  4:  , .

 – положительный оператор. Докажем его положительную определенность.

      (с учетом  )

Неравенство Буняковского: . Примем , :

  .

  Энергетическое пространство положительно определенного оператора

Оператор  - положительно определенный оператор, – линеал (область определения линейного оператора). Введем – энергетическое пространство оператора (полное гильбертово пространство, совпадающее с ) с обозначениями:

.    (1) - энергетическое произведение

,   (4) - энергетическая норма .

.    (5) 

Теорема 1.

Все элементы пространства принадлежат также к пространству .

(Точнее: каждому элементу из  можно привести в соответствие один и только один элемент из , причем разным элементам из соответствуют разные элементы из .)

Сходимость  в энергетическом пространстве –  сходимость по энергии ( ).

Теорема 2.

Если  – положительно определенный оператор и по энергии, то одновременно в метрике исходного пространства :

 

  Энергетическое пространство только положительного оператора

Оператор  положительный, но не положительно определенный, называется только положительным. Не все элементы энергетического пространства только положительного оператора  принадлежат исходному пространству.

Элемент принадлежит исходному пространству тогда и только тогда, когда , что и 0. При этом последовательность стремится к тому же элементу в пространстве :

.

Теорема.

Для того, чтобы энергетическое пространство положительного оператора было сепарабельным, необходимо и достаточно, чтобы было сепарабельным исходное гильбертово пространство. 

(Сепарабельное пространство - плотное, счетное, – сепарабельное пространство).

Итак:

Положительный оператор : 

Положительно определенный оператор :  , что

  Главные и естественные краевые условия

, , ,    (1)

,    (2)

 – оператор задачи (1), (2) в  пространстве 

 – множество функций из  и удовлетворяет (2) ( –порядок уравнения (1)).

Пусть – положительный оператор, – энергетическое пространство. Краевые условия, которым обязательно удовлетворяют функции из области определения оператора и необязательно – функции из энергетического пространства , называются естественными для дифференциального оператора . Краевые условия, которым обязательно удовлетворяют функции из энергетического пространства – главные условия.

1. , , , – главные (геометрические, кинематические)
2. , , , – естественные (динамические)

 

Пример  5

  (3)

,    (4)

Докажем, что для уравнения (3) краевое условие (4) – естественное.

 – симметрично относительно , .

 – имеет смысл для любых , необязательно удовлетворяющих (3).

Построим  функционал .

Покажем, что точное решение задачи (3), (4) – реализует . Используем принцип виртуальных перемещений с параметром .

 – имеет  при и фиксированном .

.

При      (5)

По формуле  Грина

, для

,    ,

Метод Ритца.

  Пусть – положительно определенный оператор на линеале в сепарабельном пространстве , и .  Пусть – гильбертово пространство. Рассмотрим в базис

  

.  (1)

  Обобщенное  решение уравнения  – это элемент , который минимизирует в функционал

  

,  (2)

т.е. элемент , для которого

       .   (3)

  Выберем целое положительное число , и будем искать аппроксимацию элемента в виде

  

,  (4)

где элементы базиса (1) , а – неизвестные пока вещественные постоянные. Эти постоянные определяются из условия

  Fu_n = min,  (5)

которое означает, что среди всех аппроксимаций  вида

  

,  (6)

где b_k – произвольные вещественные постоянные (т.е. в n-мерном подпространстве, порождаемом элементами j₁, …, j_k,), функционал F принимает минимальное значение в точности на аппроксимации (4). По предположению, (1) образует базис в H_A , так что обобщенное решение u₀ можно с произвольной точностью аппроксимировать соответствующей линейной комбинацией его элементов. Кроме того, условие (5) аналогично (3). Поэтому приближение (4) с постоянными, определенными в соответствии с (5), будет достаточно мало отличаться от искомого решения u₀ в H_A, если n будет достаточно велико.

  Постоянные  b_k в (4) определяются подстановкой (6) вместо u в (2):

  F v_n = (b₁ j₁ +…+ b_nj_n, b₁j₁ +…+ b_nj_n)_A – 2(f, b₁j₁ +…+ b_nj_n)= 

  =(j₁, j₁)_A b₁² + (j₁, j₂)_A b₁ b₂ +…+ (j₁, j_n)_A b₁ b_n +  

  +(j₂, j₁)_A b₂ b₁ + (j₂, j₂)_A b₂² +…+ (j₂, j_n)_A b₂ b_n +…  

  +(j_n, j₁)_A b_n b₁ + (j_n, j₂)_A b_n b₂ +…+ (j_n, j_n)_A b_n²–  

  –2(f, j₁) b₁ – 2(f, j₂) b₂ –…– 2(f, j_n) b_n ,  (7)

  а с учетом симметрии скалярного произведения:

  F v_n =(j₁, j₁)_A b₁² + 2(j₁, j₂)_A b₁ b₂ +…+ 2(j₁, j_n)_A b₁ b_n +   

  + (j₂, j₂)_A b₂² +…+ 2(j₂, j_n)_A b₂ b_n +…+ (j_n, j_n)_A b_n²–  

  – 2(f, j₁)b₁ – 2(f, j₂)b₂ –…– 2(f, j_n)b_n .   (8)

  Скалярные произведения (j_i,,j_k)_A – это фиксированные числа, определяемые элементами заданного базиса. Следовательно, в результате подстановки функционал F становится квадратичной функцией переменных b₁,…,b_n. Необходимые условия существования минимума этой функции в точке (a₁,…,a_n) есть:

  

  (9)

т.е. должны выполняться равенства

 (10)

После простых преобразований эти уравнения можно записать в виде

 (11)

  Система (11) – это система n уравнений для n искомых постоянных a₁,…,a_n. Так как по предположению j₁,…,j_n линейно независимы и определитель системы (11), являющийся определителем Грама, отличен от нуля, то существует единственное решение системы(11).

  Замечание. Базис в H_A можно выбрать из элементов линеала D_A, так как это множество плотно в H_A. Тогда мы имеем (j_i, j_k)_A = (Aj_i, j_k) для всех i, k=1,…,n, и систему (11) можно записать в виде

  

 (12)

Применение  собственных элементов  сходного оператора.

Понятие о невязке

Если дано уравнение 

  (1)

и - какое-либо его приближенное решение, то разность называется невязкой этого приближенного решения. Пусть - положительно определенный оператор, действующий в гильбертовом пространстве , и - приближенное решение уравнения (1) по Ритцу. Будем считать, что координатные элементы принадлежат области определения оператора , тогда и выражение - невязка – имеет смысл. В случае ограниченного оператора невязка стремится к нулю: