Приближенные  решения задач  математической физики

Предварительные понятия

Приближенные  методы решения задач УМФ можно  разделить на две группы

1. методы, в которых приближенное решение получается в аналитической форме ( в  виде отрезка некоторого функционального ряда). К таким методам можно отнести метод Фурье разделения переменных, вариационные методы, метод Галеркина.
2. методы, в результате которых получают таблицу приближенных значений в некоторых точках области (численные методы). К ним можно отнести метод сеток (метод конечных разностей), метод характеристик, при котором задача сводится к системе обыкновенных дифференциальных уравнений.

Некоторые сведения из функционального анализа

Линейное множество  называется гильбертовым пространством, если для  элементов этого множества приведено в соответствие число (скалярное произведение) , удовлетворяющее аксиомам:

- ,

-

- ,

- .

Норма элемента (метрика) в гильбертовом пространстве:

             (1)

Примеры гильбертовых пространств:

         (2)

        (3)

Пусть  – гильбертово пространство, - последовательность элементов в . Последовательность сходится к , если и при . В этом случае называется пределом последовательности .

          .      (4)

Гильбертово пространство называется полным, если всякая последовательность его элементов, удовлетворяющая условию (4), имеет предел. Пространства , - полные.

Система называется ортонормированной, если

             (5)

Пусть – гильбертово пространство и - ортонормированная в нем система. Будем называть эту систему полной в , если не существует элемента (кроме нулевого) который был бы ортогонален ко всем элементам системы. Обозначим - коэффициенты Фурье элемента по отношению к системе . Ряд Фурье разложения элемента по системе :

      .      (6)

Неравенство Бесселя:

             (7)

Функционалы и операторы

     На  множестве  определен функционал , если каждому элементу приведено в соответствие некоторое число . Множество называется областью определения функционала и обозначается через .

Линейный функционал:

      .      (1)

Ограниченный  функционал:

              (2)

Наименьшее  из чисел , удовлетворяющее (2), называется нормой ограниченного функционала и обозначается .

Непрерывный функционал:

               (3)

Теорема Рисса:

Всякий  ограниченный в гильбертовом пространстве функционал имеет вид скалярного произведения

      ,       (4)

где – фиксированный элемент пространства . Элемент определяется единственным образом.

 – билинейный функционал, если 

- при фиксированном  функционал линеен,

- .           (5)

Однородный квадратичный функционал (квадратичная форма):

      ,         (6)

       ,    (7)

       .      (8)

Для вещественного  гильбертова пространства 

       ,        (5`)

       ,     (7`)

       .       (8`)

На некотором  множестве элементов гильбертова пространства определен оператор , если каждому элементу приведен в соответствие по некоторому закону один и только один элемент гильбертова пространства: .

Обратный оператор : .

- область определения оператора , - область значения (множество ). Оператор линеен, если:

     

Непрерывный оператор:

     

Линейный оператор  является ограниченным, если 

Норма оператора:  

Теорема:

Для того, чтобы оператор имел обратный, необходимо и достаточно, чтобы уравнение имело единственное решение . 

Теорема:

Для того чтобы оператор был ограничен, необходимо и достаточно, чтобы существовала постоянная такая, что при всех :   . 

Симметричный  оператор:

Энергетическое пространство

Краевая задача и ее оператор

Уравнения в частных производных математической физики распадаются на два большие  класса. Уравнения первого класса описывают процессы, в которых искомые величины заметно меняются с течением времени, то есть являются функциями пространственных координат и времени. Наиболее простой и важный представитель этого класса – волновое уравнение, частным случаем которого является уравнение колебания струны. Другой важный пример – уравнение теплопроводности.

Уравнения второго класса описывают явления  стационарные. Чаще всего эти уравнения  принадлежат к эллиптическому типу. Одна из простейших стационарных задач  – задача о распределении температуры в ограниченном теле с границей в случае отсутствия в теле источников тепла. Температура тела удовлетворяет уравнению Лапласа с тремя независимыми переменными

           (1)

Принимаем, что на границе тела температура - известная функция координат (краевые условия 1 рода):

             (2)

Задачу  о распределении температур можно  сформулировать так:

Найти функцию  , которая удовлетворяет уравнению Лапласа (1) внутри области и принимает заданные значения  (2) на ее границе (Задача Дирихле для уравнения Лапласа).

Условия на границе могут быть и другого  типа. Если поток тепла через границу пропорционален разности температур внешней среды и границы тела ( – внешняя нормаль к поверхности тела ), то получаем условия 3-ого рода:

 или     (3)

Если  в условии (3) положить , то получаем краевое условие 2-ого рода

            (4)

Задача  интегрирования уравнения (1) с условием (4) называется задачей Неймана.

С краевой  задачей математической физики можно  связать некоторый оператор –  «оператор данной краевой задачи», действующий в подходящем гильбертовом пространстве. При этом данная задача может быть записана в виде уравнения

           (5)

где – оператор краевой задачи, и – элементы гильбертова пространства. Пример такой операторной задачи – однородная задача Дирихле для уравнения Пуассона (неоднородного уравнения Лапласа):

         (6)

Решение задачи (6) ищем во множестве (линеале)    функций, обладающих следующими свойствами:  , . На множестве М оператор действует по формуле:

                        (7)

  Формула интегрирования по частям и формулы Грина

При рассмотрении вариационных методов широко используются следующие соотношения.

Для функций  в – мерной области с кусочно-гладкой границей ( - вектор внешней нормали к поверхности ) справедлива формула интегрирования по частям:

         (8)

Рассмотрим  далее дифференциальный оператор:

   (9)

Первая  формула Грина

 (10)

Вторая  формула Грина

 (11)

Третья  формула Грина

 (12) 

Соответствующие формулы Грина для оператора Лапласа

 (10`)

 (11`)

  (12`)

Положительные и положительно определенные операторы

Симметричный  оператор называется положительным, если для

       

  (1)

причем  выполняется тогда и только тогда, когда .

Пример 1:  , , .

Докажем, что оператор положителен.

     а) симметричность

 

      б) 

   

Если  , (в соответствии с условиями на границе).

Пример  2:  , , .

      а) симметричность

      б)  , . Докажем, что оператор С – положительно определенный

.

             , . Докажем, что оператор не является положительно определенным

. Если , то (не выполняется определение, хотя граничные условия выполняются).

Пример  3:  , ,

        

Рассмотрим  задачу определения прогиба мембраны, закрепленной по краям:

      ,

 – пропорционально потенциальной  энергии мембраны.

Потенциальная энергия мембраны, изогнутой как  угодно, положительна, иначе говоря, невозможно изогнуть мембрану, не затратив на это энергии.

Пусть некоторая физическая система под  действием внешней причины  , приобретает смещение и пусть

,

где – положительный оператор. Тогда величина пропорциональна величине энергии, которую необходимо затратить, чтобы сообщить системе смещение .

 – энергия функции  (для положительного оператора ).

Симметричный  оператор называется положительно определенным, если для справедливо неравенство

  (11)

где – положительная постоянная.