Правильные многогранники

  Задача 2 Три поссорившихся соседа имеют три общих колодца. Можно ли провести непересекающиеся дорожки от каждого дома к каждому колодцу?  

  Решение Предположим, что это сделать можно.  

  Изобразим дома синими, а колодцы — чёрными  точками и каждую синюю точку соединим дугой с каждой чёрной точкой так, чтобы  девять  полученных дуг попарно не пересекались. Тогда всякие две точки, изображающие дома или колодцы, будут соединены цепочкой дуг, и в силу теоремы Эйлера эти девять дуг разделят плоскость на 9–6+2=5 областей. Каждая из пяти областей ограничена по крайней мере четырьмя дугами, так как по условию задачи ни одна из дорожек не должна непосредственно соединять два дома или два колодца. Поэтому число дуг должно быть не меньше ½·5·4 = 10, и, следовательно, наше предположение неверно.¹² 

  Задача 3 Докажите, что на всякой карте найдётся страна, граничащая не более чем с пятью странами.  

  Решение. Если число стран на карте не превосходит  шести, то утверждение задачи очевидно. Мы докажем, что на карте, имеющей  более шести стран, найдутся даже четыре страны, каждая из которых граничит не более чем с пятью странами. Окрасим вершины и дуги исходной карты в чёрный цвет, а красной краской отметим в каждой стране по одной точке. Всякие две отмеченные точки, лежащие в соседних странах (то есть странах, имеющих общую граничную дугу), соединим внутри этих стран красной дугой так, чтобы красные дуги попарно не пересекались. Тогда всякие две красные точки будут соединены цепочкой дуг, и так как никакие две построенные дуги не будут соединять одни и те же точки, то каждая страна на карте, состоящей из точек и дуг красного цвета, будет ограничена не менее чем тремя дугами. Если какая-то страна на этой карте ограничена более чем тремя дугами, то на её границе можно выбрать две вершины, не соединённые дугой, и соединить их красной дугой внутри этой страны. Повторяя несколько раз эту операцию, мы получим красную карту, на которой каждая страна ограничена ровно тремя дугами. Так как, кроме того, на этой карте никакие две дуги не соединяют одни и те же вершины и так как число вершин больше трёх, то из каждой вершины выходят не менее чем три дуги. Обозначим через n число дуг, через l — число стран, через m — число всех вершин красной карты и через a — число вершин, из которых выходят менее чем шесть дуг. Тогда получим3l = 2n, (1)

  3a + 6(m – a) ≤ 2n. (2)

  Из  формулы (1) и теоремы Эйлера, применённой  к системе точек и дуг красного цвета, следует, что2n = 6m – 12,

  3a + 6(m – a) ≤ 6m – 12.

  которое показывает, что a≥4. Остаётся заметить, что если некоторая страна на чёрной карте имеет больше пяти соседей, то из отмеченной в этой стране красной точки выходит больше пяти дуг, и потому, в силу неравенства a≥4, на чёрной карте найдутся четыре страны, каждая из которых имеет не больше пяти соседей.¹³ 

  Задача 4 Можно ли семиугольник разрезать на выпуклые шестиугольники?

  Решение Предположим, что какой-то семиугольник удалось разрезать на выпуклые шестиугольники. Обозначим число тех вершин шестиугольников, которые лежат внутри исходного семиугольника, через m, а число оставшихся вершин (то есть лежащих на границе семиугольника) — через m'. В качестве дуг, соединяющих вершины, выберем прямолинейные отрезки сторон многоугольников, удовлетворяющие следующему условию: отрезок должен соединять две вершины и не проходить через остальные вершины. Обозначим через n число таких дуг и через l — число областей, на которые эти дуги делят плоскость (число l на единицу больше числа шестиугольников). Ясно, что любые две вершины окажутся соединёнными цепочкой дуг. В силу теоремы Эйлераm + m' – n + l = 2. (3)

  Так как внешняя область ограничена m' дугами, а каждая из остальных —  не менее чем шестью дугами, то2n ≥ 6(l – 1) + m'. (4)

  Из  некоторых вершин на границе семиугольника  выходят только две дуги. Обозначим  число таких вершин через a. Из всякой другой вершины выходят по крайней мере три дуги, так что

  3m + 3(m' – a) + 2a ≤ 2n.

  Отсюда  в силу равенства (3)

  n ≤ 3l + a – 6.

  Сравнивая это неравенство и неравенство (4), мы получаем2a – m' ≥ 6. (5)

  Так как на границе семиугольника  найдутся по крайней мере две вершины, из которых выходят дуги, ведущие внутрь семиугольника, то m' – a ≥ 2. Из этого неравенства и неравенства (5) следует, что a ≥ 8.

  С другой стороны, так как семиугольник разрезан на выпуклые многоугольники, то всякая вершина, из которой выходят две дуги, является вершиной семиугольника, и потому a ≤ 7. Таким образом, семиугольник нельзя разрезать на выпуклые шестиугольники.¹⁴ 

Заключение 

Зачастую, теме «Правильные многогранники» уделяется не слишком пристальное внимание на школьных уроках. Считается, что данная тема является лишь одним из аспектов математики и не имеет практического применения. В своей работе я постарался опровергнуть данное суждение, посвятив практическому применению Платоновых тел одну из глав своего проекта. На мой взгляд, данная тема далеко не является узкопрофильной – на протяжении работы над проектом я постоянно натыкался на стыки данной темы с другими областями знаний – алгебры, биологии, географии, искусства и живописи.

Обобщая научную информацию по обозначенной проблеме, можно сформулировать следующие выводы:

1. В исследованиях правильных многогранников можно проследить два основных этапа:

I этап: Исследования до н.э.

II этап: исследования в XVI – XIX вв.

2. На первом этапе главным содержанием стала 13 книга «Начал» Евклида, а которой ему не удалось решить проблему построения правильных многогранников, но удалось дать им первоначальную характеристику и теоретическое обоснование.
3. В рамках второго этапа исследований была сформулирована пусть и ошибочная гипотеза Кеплера, кроме того была решена проблема построения правильных многогранников.
4. Можно проследить следующую особенность:  на каждом этапе вначале выдвигались неверные теории, которые впоследствии вели к открытиям
5. Разрыв между первым и вторым этапом составляет ни много ни мало полторы тысячи лет – разумно предположить, что в это время еще не существовало возможности для создания теорий в области Платоновых тел

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Приложение  №1

«Элементы теории правильных многогранников» 

  Тетраэдр и его свойства 

                                     

• Тетраэдр составлен из четырех равносторонних треугольников.
• Каждая его вершина является вершиной трех треугольников.
• Сумма плоских углов при каждой вершине равна 180 градусов.

  Таким образом,

  тетраэдр  имеет

  4 грани,

  4 вершины

  и 6 ребер.

  

• Тетраэдр  не имеет центра симметрии, но имеет 3 оси симметрии и 6 плоскостей симметрии.
• Радиус описанной сферы:

   

• Радиус вписанной сферы:

 

• Площадь поверхности:

 

• Объем тетраэдра:

 

Гексаэдр  и его свойства 

    
 

• Куб составлен  из шести квадратов.
• Каждая его вершина является вершиной трех квадратов.
• Сумма плоских углов при каждой вершине равна 270 градусов.

  Таким образом, куб имеет

  6 граней,

  8 вершин

  12 ребер.

    

• Куб имеет  центр симметрии - центр куба, 9 осей симметрии и 9 плоскостей симметрии.
• Радиус описанной сферы:

 

• Радиус  вписанной сферы:

 

• Площадь поверхности  куба: S = 6a²

 

• Объем куба: V = a³

 
 
 

Октаэдр и его свойства 

    

• Октаэдр составлен  из восьми равносторонних треугольников.
• Каждая его вершина является вершиной четырех треугольников.
• Сумма плоских углов при каждой вершине равна 240 градусов.

  Таким образом,

  октаэдр имеет

  8 граней,

  6 вершин

  12 ребер. 

    

• Октаэдр имеет  центр симметрии - центр октаэдра, 9 осей симметрии и 9 плоскостей симметрии.
• Радиус описанной сферы:

 

• Радиус  вписанной сферы:

 

• Площадь поверхности:

 

• Объем октаэдра:

 

  Икосаэдр  и его свойства 

    
 

• Икосаэдр  составлен из двадцати равносторонних треугольников.
• Каждая его вершина является вершиной пяти треугольников.
• Сумма плоских углов при каждой вершине равна 300 градусов.

  Таким образом,

  икосаэдр  имеет

  20 граней,

  12 вершин

  30 ребер.

  

 
 
 

• Икосаэдр  имеет центр симметрии - центр икосаэдра, 15 осей симметрии и 15 плоскостей симметрии.
• Радиус описанной сферы:

 

• Радиус  вписанной сферы:

 

• Площадь поверхности:

 

• Объем икосаэдра:

 
 

  Додекаэдр и его свойства 
 

    

• Додекаэдр составлен из двенадцати равносторонних пятиугольников.
• Каждая его вершина является вершиной трех пятиугольников.
• Сумма плоских углов при каждой вершине равна 324 градусов.
• Таким образом,

додекаэдр имеет

12 граней,

20 вершин

30. ебер.

 

    

• Радиус  описанной сферы:

 

• Радиус  вписанной сферы:

 

• Площадь поверхности:

 

• Объем додекаэдра:

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Приложение  №2

«Исследования правильных многогранников в период до нашей эры 

» 
 
 

  

           Евклид         Платон 
 
 

    
 
 
 
 
 
 
 
 

Приложение  №3

Исследования  правильных многогранников в XVI – XIX вв.