Построение полуполевых плоскостей

      Лемма 3.1. 1) {x} – латинский квадрат;

                          2) если x ≠ y, то латинские квадраты  {x} и {y} ортогональны. 

      Определим координаты на плоскости, заданной векторным  пространством, и установим связь между координатизирующим множеством и спрэдом. 

Аффинные  точки плоскости.

      (x, y), здесь x=(

), y=( ) .

Аффинные  прямые плоскости.

  ,

при k=0, получаем: .

Особые  точки.

Особая  прямая. 

. 
 

Тернарная операция Т.

  .

Далее введем бинарные операции сложения и  умножения:

• ,
• .

 

            Для построенных  полуполевых плоскостей тернарная  операция имеет вид . Здесь , , – пары элементов из поля GF(4), . Для удобства обозначения номеров строк и столбцов латинских квадратов установим соответствия: 

      Для плоскостей №1 и №17 были построены системы латинских квадратов, состоящие из 15 матриц размерности 16 16 попарно ортогональных. Все они приведены в приложениях 3 и 4 для первой и семнадцатой плоскости соответственно.

      Заметим, что все латинские квадраты каждой плоскости образованы перестановками строк одного из квадратов. Приведем результат, доказанный в [1]. 

      Теорема 3.2. Конечное планарное тернарное кольцо удовлетворяет условию T(a,b,c)=a*b+c    в соответствующем полном множестве взаимно ортогональных латинских квадратов строки любого квадрата совпадают со строками любого другого квадрата. 
 

3.2. Полярности 

      В данном параграфе приведен алгоритм поиска полярностей для конечных полуполевых плоскостей, в частности для полуполевых плоскостей порядка 16. 

      Приведем  результат, доказанный в   [1]: 

       В качестве примера были построены  плоскости над GF(3) с использованием программы (см. приложение). Результатом реализации алгоритма явился список из 2016  наборов матриц B и C.

       Рассмотрим  условия на B и C, при которых соответствующие  полуполевые плоскости являются дезарговыми.

1. B*C = C*B;
2. B² = b₁E+b₂B+b₃C;
3. C² = c₄E+c₅B+c₆C;
4. BC = c₁E+c₂B+c₃C.

       При проверке всех условий оказалось, что  из 2016 построенных плоскостей всего 288 являются дезарговыми. Заметим, что для плоскостей ранга 2 такой результат был бы невозможным, т.к. линейные функции в регулярном множестве могут определять только дезаргову плоскость.

       Докажем это факт.