Построение полуполевых плоскостей

                                   

                             (0,0)                                                                                             [∞]

                                                                                                                      

Рис. 2

      Определим на множестве D тернарную операцию T: точка инцидентна прямой . Далее введем бинарные операции сложения и умножения следующим образом:

• ,
• .

 

      Определение 1.12. Непустое множество G с заданной на нем бинарной операцией * называется лупой, если выполняются аксиомы:

      1) для любых существует единственный элемент a*x=b;

      2) для любых существует единственный элемент y*a=b;

      3) существует для любого элемента   e*x=x*e=x. 
 

      Определение 1.13. Непустое множество Q с заданными на нем бинарными операциями + и является квазиполем, если:

      1)  – группа;

      2)  – лупа;

      3)    x*(y+z)=x*y+x*z (левая дистрибутивность);

      4)    0*x=0;

      5)  уравнение a*x=b*x+c имеет единственное решение x  для  а≠b. 

      Определение 1.14. Квазиполе с правой дистрибутивностью называется полуполем (или кольцом с делением). 

      Известен  результат [1], что проективная плоскость кординатизируется полуполем тогда и только тогда, когда – трансляционная прямая и – трансляционная точка. 
 

      1.3. Некоторые сведения о полярностях 

      Определение 1.15. Абсолютными элементами полярности γ являются точки, инцидентные своему образу: , и прямые, инцидентные своему образу: . 

      Приведем  некоторые известные факты, связанные  с абсолютными точками полярностей  конечных проективных плоскостей [1]. 

    Лемма 1.1.  Пусть α – полярность проективной плоскости Р. Тогда каждая абсолютная точка принадлежит единственной абсолютной прямой, одновременно, каждая абсолютная прямая содержит единственную абсолютную точку.   

      В качестве следствия этой леммы можно сказать, что для любой полярности конечной плоскости существуют и  неабсолютные элементы.

      Известен  результат, что если α имеет точно n+1 абсолютную точку, то для произвольной плоскости порядка n (где n - четное)  абсолютные точки коллинеарны.

     Если  порядок плоскости – четное число, то абсолютные прямые полярности проходят через одну точку (т. е. конкуррентны).

      Пусть Р – проективная плоскость n = s², α  - полярность плоскости Р, a(α) – число абсолютных точек полярности. В [1] приведена оценка значения a(α). 

      Теорема 1.2. Пусть α - полярность конечной проективной плоскости Р  порядка        n = s². Тогда n +1 a(α) s³ + 1.  

      Если  Р – дезаргова плоскость порядка n = s², то любая полярность имеет либо n +1 абсолютную точку, либо n^3/2 + 1. В первом случае полярность может быть задана линейным преобразованием 3-мерного векторного пространства с симметрической матрицей, во втором случае – полулинейным преобразованием с матрицей специального вида. Полярности дезарговой плоскости называются ортогональной и унитарной соответственно. В случае произвольной проективной плоскости название полярности определяется количеством a(α) абсолютных точек. 

     Определение 1.16. Полярность α проективной плоскости Р порядка n = s² называют ортогональной, если количество абсолютных точек а(α) = n+1, и унитарной, если               а(α) =n^3/2 + 1.  

     Лемма 1.3. Любая полярность дезарговой плоскости является либо ортогональной, либо унитарной. 

      Лемма 1.4. Если Р – проективная плоскость над  полем характеристики 2 . Тогда множество абсолютных точек ортогональной полярности либо пусто, либо состоит из одной точки, либо абсолютные точки коллинеарны.  

     О полярностях с количеством абсолютных элементов  известно мало. Каждый из известных примеров – нерегулярный, что означает следующее:  

     Определение 1.17. Полярность называют регулярной, если есть целое число t такое, что количество абсолютных точек на неабсолютной прямой  равно 0, 1 или t + 1.  

     Лемма 1.5. Все полярности конечных дезарговых плоскостей регулярны.  

     Нет никаких известных регулярных полярностей, которые не являются ортогональными или унитарными. Возникает предположение, что любая регулярная полярность должна быть или унитарной или  ортогональной.

      Известен  пример, где полярность плоскости имеет n^5/4+1 абсолютную точку. Это говорит о том, что плоскости, координатизирующиеся полуполем, могут допускать полярности, которые не являются ортогональными и унитарными. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

2. Построение неизоморфных полуполевых плоскостей порядка 16 

2.1. Построение 

      Известен  метод построения плоскостей трансляций на основе расщепляемых абелевых групп. 

      Определение 2.1. Пусть G – группа, S – некоторое множество подгрупп группы G.  S является расщеплением группы G, если:

      1) Х≠1;

      2) , Х≠Y: ;

      3) G= . 

      Рассмотрим  аффинную плоскость, построенную следующим  образом:

• точки плоскости – элементы группы G,
• прямые – смежные классы группы G  по подгруппам из множества S,
• отношение инцидентности – естественное.

      Достроим  аффинную плоскость до проективной, назвав особыми точками множества смежных классов по одной и той же подгруппе, особой прямой – множество всех особых точек.

      В качестве группы G может быть выбрано векторное пространство.

      Пусть F – конечное  поле, F=GF(q). Рассмотрим n-мерное пространство W над полем F  и 2n-мерное пространство V=W W. Построим проективную плоскость на основе пространства V:

• аффинные точки – векторы   , где , т.е.  , ,
• аффинные прямые – смежные классы по подгруппам и , где ,
• особые точки и особые прямые вводятся, как описано выше.

 

      Здесь   – множество матриц размерности n n над полем F, причем:

      1) R содержит  и ;

      2) все матрицы R , кроме нулевой – невырожденные, кроме того, . 

            Множество называют регулярным множеством плоскости (спрэдом). 

      Полуполевые плоскости порядка 16 построим на основе векторного пространства V размерности 4 над полем из 4 элементов, т.е. аффинные точки – это вектора вида , где , аффинные прямые – смежные классы по подгруппам: 

      

здесь .

            Напомним, что регулярное множество R замкнуто по сложению. Тогда праведлива  следующая лемма: 

      Лемма 2.1. Плоскость трансляций координатизируется полуполем тогда и только тогда, когда регулярное множество замкнуто по сложению.

      Доказательство  леммы 2.1. Условие левой дистрибутивности имеет вид:

                                                  

.                                            (2.1)

Напомним, что  в нашем случае операция умножения вводится следующим образом:

.

Следовательно, (2.1) примет вид:

.

В правой части равенства x можно вынести за скобку:

.

Так как x – произвольный элемент пространства, то:

.

      Проверим  теперь выполнение условия правой дистрибутивности:

                                                        .                                            (2.2)

Следовательно, (2.2) примет вид:

.

В правой части равенства  можно вынести за скобку:

.

      Равенство выполняется, следовательно, условие  правой дистрибутивности выполняется.

        Лемма 2.1 доказана. 

      Задача  построения всех полуполевых плоскостей данного вида сводится к построению всех возможных регулярных множеств.

      Так как все ненулевые матрицы  невырожденные, то элементы первой строки однозначно определяются элементами второй строки матрицы:

             ,  

где и - аддитивные функции двух аргументов из поля .

      Если  , то:

      

,

      

 

      В нашем случае , тогда функции f(u,v) и g(u,v) таковы:

      

,

      

,

матрицы θ принимают вид:

. 
 

      Так как регулярное множество содержит единичную матрицу, то можно найти зависимость между коэффициентами, входящими в функции и . Нижняя строка единичной матрицы определена однозначно: u=0, v=1, следовательно:

, ,

 , . 

      Была  написана программа на языке С++, с помощью которой построено 56 полуполевых плоскостей порядка 16. Все соответствующие наборы коэффициентов приведены в приложении 1.

      Для удобства дальнейшей работы с полем  GF(4) его элементами будем считать 0,1,2,3, причем таблицы Кэли по сложению и умножению соответственно имеют вид: