Построение полуполевых плоскостей

Введение 

      Проективная геометрия исторически возникла в рамках линейной перспективы, которую применяли строители еще в древности (их знания были систематизированы Евклидом в его трактате «Оптика»). Затем, уже в эпоху Возрождения, к ней обратились живописцы, пытавшиеся создавать иллюзию пространства, то есть изображать на плоскости объемные предметы так, как их видит глаз человека.

      В проективной геометрии не различают  параллельные и пересекающиеся прямые — считают, что параллельные тоже пересекаются, но в бесконечно удаленной, «несобственной» точке; все такие точки, отвечающие разным направлениям прямых на плоскости, образуют несобственную прямую, которую присоединяют к плоскости. Значит, плоскость дополняется несобственной прямой, а трехмерное пространство — плоскостью.

      Как и другие геометрии, проективная  абсолютно строго задается системой аксиом. В ней фигурируют два типа объектов, называемые «точками» и «прямыми». Важно, что эти аксиомы устанавливают только отношения между объектами, поэтому для них возможны различные интерпретации. В частности, их можно (но совсем необязательно) считать обычными евклидовыми точками и прямыми.

      Проективную геометрию можно описывать аналитически и изучать средствами алгебры. При этом вводят так называемые «однородные координаты», которых всегда на одну больше, — именно в них наиболее просто выражаются закономерности этой геометрии. Это не единственный способ координатизации.

      Рассмотрим  проективную плоскость как аксиоматически заданную инцидентностную структуру, образованную объектами двух видов (точки и прямые). Если количество объектов конечно, то на плоскости можно ввести координаты с использованием элементов некоторого конечного множества. Отношение инцидентности между точками и прямыми позволяет определить на координатизирующем множестве тернарную операцию, а на основе тернара – операции сложения и умножения. Оказывается, геометрические свойства проективной плоскости тесно связаны с алгебраическими свойствами координатизирующего множества, что позволяет классифицировать и исследовать проективные плоскости алгебраическими методами.

      Один  из интересных классов проективных  плоскостей – полуполевые плоскости. Множество, координатизирующее конечную полуполевую плоскость, наиболее близко к полю, координатизирующему классическую, или дезаргову, проективную плоскость.

      Известен  метод построения полуполевых плоскостей как плоскостей трансляций: на основе векторного пространства и некоторого семейства линейных преобразований, называемого регулярным множеством (spread set).

      Наиболее  простыми для построения и исследования являются плоскости трансляций ранга 2, регулярное множество которых может быть представлено 2 2-матрицами. Регулярное множество полуполевой плоскости замкнуто по сложению, что упрощает его построение.

      Целью работы является построение всех неизоморфных полуполевых плоскостей ранга 2 над полем GF(4)  и их исследование.

      Первоначально список построенных полуполевых  плоскостей порядка 16 содержал 56 объектов, из которого далее были исключены  все изоморфные копии.

      Изоморфизм  полуполевых плоскостей задается полулинейным отображением векторных пространств такого вида: , где σ – автоморфизм поля,  А – невырожденная матрица. Так как построен полный набор полуполевых плоскостей данного порядка и ранга, то достаточно рассматривать изоморфизмы вида или .

      На  следующем этапе было показано, что  изоморфизм позволяет разбить построенные плоскости на  31 подкласс. Окончательно, было рассмотрено отображение вида и получено всего 2 неизоморфных полуполевых плоскости порядка 16.

      Для каждой из построенных плоскостей была составлена полная система взаимно ортогональных латинских квадратов.

      С использованием матричного представления регулярного множества полуполевых плоскостей порядка 16 построены полярности каждой плоскости (анти-автоморфизмы порядка 2). Каждая полярность задана при помощи аддитивного преобразования координатизирующего полуполя. Доказаны некоторые результаты, позволяющие алгоритмизировать процесс поиска таких преобразований. Каждой полярности поставлено в соответствие множество ее абсолютных точек. Дана классификация полученных множеств и соответствующих им полярностей. 
 
 
 
 
 
 

1. Основные определения и вспомогательные результаты 

      В данной главе приведены основные определения, используемые в работе, а также некоторые известные факты из теории проективных плоскостей.  

1.1. Основные понятия и определения 

      Определение 1.1. Проективной плоскостью назовем структуру , состоящую из двух непустых множеств (множества точек Р и множества прямых L) c отношением инцидентности I между ними таким, что выполняются 3 аксиомы:

      1) любые две различные прямые  l и m инцидентны единственной точке;

      2) любые две различные точки   A и B инцидентны единственной прямой;

      3) найдутся такие четыре точки,  что никакие 3 из них не лежат  на одной прямой. 

      Определение 1.2.  Порядком проективной плоскости называется такое число n, что:

      1)  плоскость содержит  точку, столько же прямых;

      2) каждая прямая инцидентна с  точками;

      3) каждая точка инцидентна с  прямыми. 

      Определение 1.3. Изоморфизмом проективной плоскости на проективную плоскость называется взаимно однозначное отображение точек в точки , прямых – в прямые , сохраняющее отношение инцидентности.    

      Определение 1.4. Автоморфизм (коллинеация) проективной плоскости – изоморфизм плоскости на себя. 

      Определение 1.5. Анти-изоморфизмом проективной плоскости на проективную плоскость называется взаимно однозначное отображение точек в прямые , прямых – в точки , инвертирующее отношение инцидентности.    

      Определение 1.6. Корреляция – анти-изоморфизм плоскости на себя. 

      Определение 1.7. Корреляция γ называется полярностью, если γ²=1.

      Определение 1.8. Трансляционной прямой  l плоскости π называется такая прямая, что для любых двух точек А и В, не лежащих на этой прямой, найдется автоморфизм β плоскости π , который переводит А в В и фиксирует прямую l  поточечно. 

      Определение 1.9. Трансляционной точкой  К плоскости π называется такая точка, что для любых двух различных точек А и В, лежащих с К на одной прямой, но отличных от нее, найдется автоморфизм β  плоскости π , который переводит А в В и фиксирует все прямые, проходящие через К, не поточечно. 

      Определение 1.10.  Проективная плоскость π является плоскостью  трансляций, если она содержит трансляционную прямую. 

      Определение 1.11.  Проективная плоскость, содержащая  трансляционную прямую и трансляционную точку, называется полуполевой плоскостью. 
 

1.2. Координатизация проективной плоскости 
 

      Пусть Р – конечная проективная плоскость, , т.е. Р содержит точку и столько же прямых. Пусть D – такое множество, состоящее из символов, что , 0 ≠ 1, ∞ .

      С помощью D  введем координаты для всех точек и прямых проективной плоскости Р.

      Выберем 4 точки, образующие невырожденный четырехугольник: O, X, Y, I (рис. 1): 

                                                                 Y

                                                                                                                                                          

                                

                                                                                        I'                                                                                       

                                                                           

                                                                           I  

                                                                                        

                                                                А                                      F

                                                                                                                            

                 O                                                                                           X         

                                

                                                                    

      Рис. 1 

      Рассмотрим  точки прямых и сопоставим им элементы либо пары элементов множества D.

Точки прямой OI, кроме точки I'.

Каждой  точке поставим в соответствие элемент из D: 

O

0 O=(0,0),

A

a A=(a,a),

I

1.

Точки прямой OX=[0,0], кроме точки X.

  D= (d,0).

Точки прямой OY=[0], кроме точки Y.

  С=(0,с).

Точки, не лежащие на прямых OI, OX, OY.

  F=(f, g),

.

Точки прямой XY=[∞].

,

Y=(∞),

  X=(0).

Прямые.

 

       Таким образом, мы получили плоскость, где каждая точка и прямая имеет  свои координаты (рис. 2).

                  (∞)

     

              [b]

           [0]                                         (m)

                                                                           (b,y)

                                                                                

                                                                       [m,k]                                         

                                          (0,k)

                                                                         (b,0)            [0,0]                               (0)