П. Ферма и его вклад в развитие математики

Ферма рассматривал и более общее неопределенное уравнение второго порядка 

Приведя пример неопределенного уравнения 

Он писал: «Я нашел общее правило, чтобы  решать такое уравнение, если оно  возможно, или чтобы определять его  невозможность. И это – во всех случаях и для всех чисел».

Далее, в примечаниях к Диофанту, приведя  пример так называемого двойного неравенства 
 

Решение которого сводится к решению уравнения  вида 

Он писал: «Баше в комментариях к Диофанту приписывает себе честь нахождения правила для двух частных случаев. Я даю общее правило для  всех случаев. И определяю правилами, является ли оно возможным или  нет ».

Больше  никаких указаний на уравнение (2) в  работах Ферма нет. Ни одному из его  современников решение  этого  уравнения было не под силу, Эйлер  продвинул вперед его исследование, а полностью решил его Лагранж.

Решение неопределенных уравнений  в рациональных числах

   В этом вопросе Ферма следовал  за Диофантом. Еще Виет и  Баше де Мезириак обратили  внимание на метод, с помощью  которого Диофант находил рациональные  решения неопределенных уравнений  третьего порядка, а применили его для определения рациональных решений уравнений 
 
 

Одно  решение здесь находится очевидным  образом, а другие определяются по методу Диофанта. Ферма добавил к этим трем уравнениям четвертое 

Которое не могли решить его предшественники, так если, следуя Диофанту, сделать  подстановку 

А затем  приравнять нулю коэффициент при  первой степени ℥, то полученная рациональная точка x, y будет обязательно иметь одну отрицательную координату, т. Е. сумма двух кубов представится не суммой, а разностью двух других кубов (это будет решением задачи 2, а не 4). Ферма находит положительные рациональные значения x, y, решая последовательно задачи 2, 3 и , наконец, 1.

   В примечаниях к 12-ой задаче  четвертой книге «Арифметики»  Диофанта Ферма рассматривает  задачу 

Он полагает x-y=1 и после этого легко находит одно из рациональных решений y=-9/22, x=13/22. Чтобы найти положительные рациональные решения, Ферма делает подстановку т.е. осуществляет сдвиг соответствующей кривой. Этот прием  Ферма применял многократно, а после его смерти описание метода Диофанта с применением сдвигов для получения положительных решений дал де Билли в «Новом открытии в аналитическом учении», составленном по письмам к нему от Ферма и напечатанном в уже упоминавшемся издании Диофанта 1670 г в качестве введения. Ферма не мог не заметить аналогии своего приема с теми преобразованиями, которыми он пользовался в аналитической геометрии. Вероятно, он понимал также связь метода Диофанта со своим методом касательных к алгебраическим кривым. Однако о геометрическом смысле метода нахождения рациональных решений неопределенных уравнений третьего порядка, который заключается в том, что в рациональной точке алгебраической кривой третьего порядка поводится касательная и ищется другая ее точка пересечения с кривой , которая также будет рациональной, Ферма не упоминает, как не делал этого ивпоследствии и Эйлер. Впервые явная геометрическая интерпретация метода появилась в 19 в. В работах Коши, Люка и Пуанкаре.

   Метод ьДиофанта давал возможность  находить рациональные решения  в том случае, когда одно из  решений было уже найдено. Вскоре  Ферма встретился с такими  задачами, которые не имеют рациональных  решений. Они особенно привлекали  его внимание. Одна из таких  проблем, так называемая великая  теорема Ферма, сыграла совершенно  исключительную роль в истории  теории чисел.

Великая теорема Ферма

4. Великая теорема Ферма

Большой известностью во всём мире пользуется «Великая теорема Ферма» (она же – «Большая» или «Последняя»).

      Великой теоремой Ферма называется то заключение, которое было сделано им при чтении изданной Мезириаком «Арифметики» Диофанта. На полях этой книги, против того места, где идёт речь о решении уравнения вида x² + y² = z², Ферма написал: «Между тем, совершенно невозможно разложить полный куб на сумму кубов, четвёртую степень – на сумму четвёртых степеней, вообще какую-нибудь степень – на сумму степеней с тем же показателем. Я нашёл поистине удивительное доказательство этого предположения, но здесь слишком мало места, чтобы его поместить». Это положение Ферма теперь формулируется как теорема в следующем виде: «Уравнение xⁿ + yⁿ = zⁿ не может быть решено в рациональных числах относительно x, y и z при целых значениях показателя n, больших 2» (общеизвестно, что при n=2 такие числа существуют, например, 3, 4, 5 – числа, которые, если являются длинами сторон, образуют знаменитый треугольник Пифагора). Справедливость этой теоремы подтверждается для многих частных случаев (при этом ещё не найдено ни одного опровержения), однако до сих пор она не доказана в общем виде, хотя ей интересовались и её пытались доказать многие крупные математики (в «Истории теории чисел» Диксона прореферировано более трёхсот работ на эту тему). В 1907 году в городе Дармштадте в Германии умер математик Вольфскель, который завещал 100000 марок тому, кто даст полное доказательство теоремы. Немедленно сотни и тысячи людей, движимых одним лишь стремлением к наживе, стали бомбардировать научные общества и журналы своими рукописями, якобы содержащими доказательство теоремы Ферма. Только в Гёттингенское математическое общество за первые три года после объявления завещания Вольфскеля пришло более тысячи «решений». Но премия эта до сих пор никому не выдана за отсутствием настоящего доказательства Большой теоремы Ферма.

      Элементарного доказательства Великой теоремы Ферма нет ни для одного показателя n ¹ 4.

      Случай, когда n = 3, был доказан Эйлером ещё в 1768 году. И тот потребовал ещё много лет, чтобы теория, которой необоснованно пользовался Эйлер при своём доказательстве, была доказана Гауссом.

      Доказательство  теоремы Ферма для случая, когда n = 5, предложили в 1825 году почти одновременно Лежен Дирихле и Лежандр. Своё доказательство Дирихле опубликовал в 1828 году, но оно было очень сложным, и в 1912 году его упростил Племель.

      Для следующего простого показателя n = 7 теорема Ферма была доказана лишь в 1839 году Ламе. Доказательство Ламе было почти сразу же усовершенствовано Лебегом.

      В 1847 году Ламе объявил, что ему удалось найти доказательство теоремы Ферма для всех простых показателей n ³ 3. Метод Ламе представлял собой весьма далёкое развитие идей Эйлера и основывался на арифметических свойствах чисел. Однако сразу же Лиувилль обнаружил в рассуждениях Ламе серьёзный пробел, чем опровергнул это доказательство. Ламе был вынужден признать свою ошибку.

      На  ЭВМ, пользуясь идеями Куммера и Вандивера доказали справедливость теоремы Ферма для всех простых показателей n < 100000.

Доказательство  леммы 1 (Жермен) 

      Если  произведение двух взаимно  простых натуральных  чисел является n-ой степенью, то каждый из сомножителей также будет n-ой степенью:

            ab = cⁿ; НОД(a; b) = 1; a, b Î N

      Доказать: a = xⁿ; b = yⁿ

      Доказательство: Если разложить cⁿ на простые множители, то: cⁿ = d₁ * … * d₁ * d₂ * … * d₂ * … * d_m * … * d_m, где каждого множителя по n. Если же разложить на простые множители числа a и b, то какие-то из чисел d₁ … d_m  уйдут к a, какие-то – к b, причём одинаковые  уйти и туда, и туда не могут в силу того, что НОД(a; b) = 1, т. е. a есть произведение n-х степеней неких простых чисел, и b также – произведение n-х степеней каких-то чисел, следовательно: a = xⁿ; b = yⁿ. 

Доказательство  леммы 2 (вспомогательной) 

                                           x² + y² = z²     (1)

      Если  (x; y; z) – решение, то (y; x; z) также будет решением, потому что x и y симметричны в данном уравнении. Предположим, что z = 2k, тогда z² = 4k, если же z = 2k – 1, то z² = (2k – 1)² = 4k² – 4k + 1 = 4(k² – k) + 1, следовательно, хотя бы одно из чисел x и y чётно, т. к. если бы оба они были нечётными, то x² + y² = (2k – 1)² + (2d – 1)² = 4k² – 4k + 1 + 4d² – 4d + 1 = 4(k² + d² – k – d) + 2, чего быть не может, т. к. x² + y² = z². Кроме того (±x; ±y; ±z) также является решением уравнения, т. к. x² = (-x)²; y² = (-y)²; z² = (-z)².

      Из  этих замечаний непосредственно  следует, что нам достаточно найти  лишь состоящие из положительных  чисел примитивные решения (x; y; z) уравнения (1), т. е. исключим все следующие решения: (±x; ±y; ±z), кроме (x; y; z), (y, x, z), для которых x = 2a.

      Лемма 2: «Любое состоящее из положительных чисел примитивное решение (x, y, z) уравнения (1), для которого x = 2a, выражается формулами:

            x = 2mn; y = m² – n²; z = m² + n²,

где n < m, НОД(m; n) = 1, m и n – числа разной чётности».

      Доказательство: Пусть (x; y; z) – произвольное, состоящее из положительных чисел примитивное решение уравнения (1), где x = 2a. Из уравнения 4a² + y² = z² следует (z – y)(z + y) = 4k². Чётность чисел z – y и z + y совпадают и произведение их равно 4k², следовательно, z – y и z + y чётные. Пусть z + y = 2b; z – y = 2c, где b и c положительны, т. к. y < z, исходя из уравнения (1). Каждый общий делитель l чисел b и c является также общим делителем z = b + c и y = b – c.

      НОД(y; z) = 1, т. к. (x; y; z) – примитивное решение уравнения (1), следовательно, НОД(b; c) = 1. С другой стороны 4a² = x² = z² – y² = (z – y)(z + y) = 4bc, т. е. a² = bc. Следовательно, согласно лемме 1, применённой к случаю, когда n = 2, существуют такие взаимно простые положительные числа разной чётности m и n, что b = m²; c = n². Тогда a² = (mn)², т. е. a = mn и

            x = 2a = 2mn; y = b – c = m² – n²; z = b + c = m² + n².

      Для завершения доказательства остаётся лишь добавить, что n < m, т. к. x, y > 0. 

Доказательство  теоремы Ферма для показателя 4 

            x⁴ + y⁴ = z⁴

      Докажем ещё более общий случай:

            «Уравнение

                  x⁴ + y⁴ = z²      (2)

не  имеет решений  в целых отличных от нуля числах».

      Доказательство: Предположим, что существует решение уравнения (2) в целых отличных от нуля числах. Ясно, что, не теряя общности, мы можем считать, что оно состоит из попарно взаимно простых положительных чисел (если (x; y; z) является решением уравнения (2), то, сразу же видно, что (lx; ly; lz) также является его решением). Так как в любом множестве натуральных чисел существует наименьшее из них, то среди всех таких решений найдётся решение (x; y; z) с наименьшим z. Рассмотрим именно это решение:

      Так же, как и при доказательстве леммы 2 немедленно доказывается, что одно из чисел x и y должно быть чётным. Предположим, что чётно число x. Это предположение также общности не ограничивает.

      Так как числа x², y² и z положительны и взаимно просты, а число x² чётно, то, согласно лемме 2, существуют такие взаимно простые числа m и n < m разной чётности, что x² = 2mn; y² = m² – n²; z² = m² + n². Если m = 2k и n = 2f +1, то y = 4(k² – f² – f – 1) + 3, что невозможно, ибо, как выше было уже отмечено, любой квадрат должен иметь вид 4k + 1, или 4k. Следовательно, m – нечётно, а n – чётно.

      Пусть n = 2q. Тогда x² = 4mq и потому mq = (x/2)². Поскольку НОД(m; q) = 1, а x чётно, то, исходя из леммы 1, m = z₁²; q = t², где z₁ и t – некоторые целые взаимно простые положительные числа. В частности, уравнение y² = m² – n² то же самое, что и y² = (z₁²)² – (2t²)², т. е. (2t²)² + y² = (z₁²)².

      Так как НОД(t; z₁) = 1, то к этому неравенству снова применима лемма 2. Следовательно, существуют такие положительные взаимно простые числа a и b < a различной чётности, что 2t² = 2ab, т. е. t² = ab; y² = a² – b²; z₁² = a² + b². Так как НОД(a; b) = 1, из равенства t² = ab по лемме 1 вытекает, что существу целые числа x₁ и y₁, для которых a = x₁²; b = y₁². Поэтому z₁² = a² + b² то же, что и x₁⁴ + y₁⁴ = z₁². Это означает, что числа x₁, y₁, z₁ составляют примитивное решение уравнения (2), состоящее из положительных чисел. Поэтому в силу выбора решения (x; y; z), должно иметь место неравенство z₁ ³ z, а потому и неравенство z₁² ³ z, т. е., учитывая, что z = m² + n², m ³ m² + n², чего быть не может, т. к. m, n > 0.