П. Ферма и его вклад в развитие математики

Министерство  образования и науки Российской Федерации

    Высшее  учебное заведение высшего профессионального  обучения

    «Курский  государственный университет»

    Физико-математический факультет 
 
 

    Реферат на тему:

    «П. Ферма и его вклад в развитие математики» 

                                                                                                            

Выполнила:

студентка 41 группы

    Чекулаева Ел. Н.

    Проверил:

    Доцент  кафедры методики

    преподавания  математики и геометрии

    Фильчакова  К. А.

      
 
 

Курск  2011

Содержание

1. Введение………………………………………………………………….3
2. Биография Пьера Ферма………………………………………………...4
3. Достижения в области математики…………………………………….5
4. Великая теорема Ферма………………………………………………..13
5. Заключение……………………………………………………………..20
6. Библиография…………………………………………………………..21

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

1.Введение

   В 17 в. Вместе с интересом  к точным наукам воскресает  и интерес к теории чисел.  Особенно он возрос после издания  в 1621 г. Литератором и любителем  математики Клодом-Гаспаром Баше  де Мезириаком (1581-1638) греческого  текста «Арифметики» Диофанта  с латинским переводом и комментариями.  Во Франции образовалась группа  ученых, занимавшихся задачами теории  чисел. В нее входили Пьер  Ферма, сотрудник монетного двора  Бернар Френикль де Бесси (1605-1675), лионский учитель математики  Жак де Билли (1602-1679), Мерсенн,  отчасти Декарт и Блез Паскаль.  Эти люди жили в разных городах  Франции, и некоторые даже никогда  не видели друг друга. Зато  они вели оживленную переписку  как непосредственно друг с  другом, так и через Мерсенна. Впоследствии в эту переписку  были втянуты ученые Англии  – Валллис, Броункер и Голландии – Гюйгенс, Схоотен. Когда Мерсенн скончался, его функции посредника между учеными занял друг Ферма де Каркави, любитель математики и королевский библиотекарь, один из организаторов Парижской академии наук.

  Однако  из всей этой плеяды ученых  одному только Пьеру Ферма  удалось выделить из хаоса  многочисленных задач и частных  вопросов, сразу же возникающих  перед исследователем при изучении  свойств целых чисел, те основные  проблемы, которые стали центральными  для всей классической теории  чисел. Ему же принадлежит открытие  замечательного метода для доказательства  теоретико-числовых предложений  – так называемого метода бесконечного  спуска. Поэтому Ферма по праву  может считаться основоположником  алгебраической теории чисел. 
 
 

2. Биография Пьера  Ферма

  Уроженец юга Франции, Пьер Ферма (1601-1665) провел большую часть жизни в Тулузе, где состоял советником местного парламента (т. Е. высшего суда). Он получил юридическое образование, был прекрасным знатоком древних и современных ему языков: латыни, древнегреческого, испанского, итальянского, писал изящные стихи по-французски, по-испански и по-латыни. Греческий он знал настолько хорошо, что делал поправки ко многим учебным переводами мог бы прославиться как знаток эллинизма. Изучение в подлинниках Евклида, Архимеда, Апполония, Паппа и Диофанта, вероятно послужило толчком для занятий Ферма математикой. Именно здесь и проявился с полной силой его гений. Ферма был чрезвычайно разносторонним математиком: он существенно развил методы определения площадей и объемов, создал новый метод касательных и экстремумов, наряду с Декартом явился создателем аналитической геометрии, вместе с Паскалем заложил основы теории вероятностей. Как и большинство ученых того времени, Ферма не ограничивался исследованиями по «чистой» математике. Он занимался оптикой, и ему принадлежит носящий его имя принцип минимума, которому следует луч света при прохождении через неоднородную среду.

   Одной из любимых областей  математики была для Ферма  теория чисел, которой он занялся,  по-видимому, в середине 30-х годов  и которой посвящены наиболее  вдохновенные строки его писем.  «Арифметика-писал он, - имеет свою  собственную область, теорию целых  чисел, эта теория была лишь  слегка затронута Евклидом и  не была достаточно разработана  его последователями (если только  она не содержалась в тех  книгах Диофанта, которых нас  лишило разрушительное действие  времени); арифметики, следовательно,  должны ее развивать или возобновить».

   Ферма писал мало и всегда  очень сжато, а кроме того, не  публиковал свои работы, циркулировавшие  при его жизни лишь в рукописях.  Некоторые открытия он изложил только в переписке. Свое намерение написать специальное сочинение по теории чисел он не осуществил. Поэтому результаты Ферма по теории чисел дошли до нас в разрозненном виде: некоторые содержатся в его письмах, другие представляют его замечания к задачам Диофанта на полях принадлежавшего ему экземпляру «Арифметики». Только в 1670 г., после смерти Ферма, его старший сын Самюэль выпустил новое издание Диофанта с комментариями Баше и замечаниями Ферма, а позднее собрал сохранившиеся в бумагах отца математические наброски и небольшие трактаты и издал их под названием «Разные математические сочинения». Но и после этого были найдены многие письма и заметки Ферма, не вошедшие в это издание.

  Таким  образом, теоретико-числовые результаты  Ферма дошли дл последующих  математиков в виде проблем,  в подавляющем большинстве случаев  без доказательств и указаний  на внутренние связи между  ними. После смерти Ферма проблемы  эти пролежали без движения  около семидесяти лет пока  ими не заинтересовался Л. Эйлер.  С этого момента началась их  новая жизнь. Исследования Эйлера  превратили теорию чисел в  неотъемлемую составную часть  математики.   Рассмотрим проблемы Ферма. 

3. Достижения в области  математики

1. Простые числа

Занимаясь арифметикой целых чисел, Ферма  обратил внимание на большую роль, которую играют простые числа. По-видимому, он начал искать различные критерии для определения того, будет ли заданное число N простым или составным. Он искал также выражения F(n), которые при любом целом значении n давали бы только простые числа. Ферма полагал, что таким выражением будет 

Действительно, при n=0,1,2,3 и 4 F(n)

Принимает значения 3, 5, 17, 257, 65537, являющиеся простыми числами. Однако как показал Эйлер, F(5)= не простое. Что не существует целого многочлена P(x) c целыми коэффициентами, все значения которого при целых x были бы простыми числами, доказали Хр. Гольдбах и Эйлер.

Простые числа вида называются теперь простыми числами Ферма. До сих пор неизвестно, существует ли конечное число простых чисел Ферма или их бесконечно много.

  Одним  из критериев для определения  простоты числа послужила так  называемая малая теорема Ферма.

Малая теорема Ферма.

Ферма установил, что для каждого числа  a , не делящегося на простое число p, существует такое число f, являющееся делителем p-1 , что делится на p. Он сформулировал это предложении сначала для a=2, затем для любого a.

 Малая  теорема Ферма – одна из  самых важных теорем элементарной  теории чисел; здесь впервые  мы сталкиваемся с частным  случаем важнейшего понятия современной  алгебры – конечной циклической  группой, образованной элементами  

Которые рассматриваются по модулю p( т.е. два элемента считаются равными, если при делении на p они дают один и тот же остаток). В малой теореме на частном примере установлено одно из основных предложений теории конечных групп: порядок любого элемента конечной группы является делителем порядка группы.

Квадратичные  формы

   Ферма впервые поставил вопрос  об определении вида простых  чисел, представимых некоторой  квадратичной формой. Число n называется представимым формой 

Если  существуют такие целые, взаимно  простые что  

Ферма решил этот вопрос для форм 

Так он нашел, что формой  представимы те и только те простые числа, которые лежат в прогрессии 4n+1 , причем каждое простое число этой прогрессии представимо в виде суммы двух квадратов единственным образом, например

5=4

Этот  результат, впрочем был известен еще Диофанту.

Далее Ферма нашел, что формой представимы все простые числа вида 8n+1 и 8n +3 и только они, а формой – простые числа вида 6n+1.

Замечательно, что Ферма рассматривает по прогрессиям  только простых чисел, представимых некоторой формой. Именно на этом пути были открыты в дальнейшем те глубокие закономерности, которые охарактеризованы с помощью квадратичного закона взаимности.

 Вопрос  о нахождении всех чисел, как простых, так и составных, представимых некоторой квадратичной формой, Ферма поставил и решил только для случая формы . Для составных чисел уже не существует столь же простого закона, характеризующего представимые числа, как в случае простых чисел.

Однако  из формулы  

Видно, что произведение двух представимых чисел снова снова будет представимым числом. Ферма как раз и воспользовался этой формулой, чтобы показать, что  множество чисел представимых формой ,замкнуто по умножению. Тем самым простейшая формула для композиции форм, известная еще Диофанту, была использована для представления чисел.

Теория композиции форм была впоследствии развита Эйлером, Лагранжем и особенно Гауссом.

 Упомянем  еще предлоржение о представимости  любого целого положительного  числа суммой не более четырех  целых квадратов, впервые высказанное  Баше де Мезириаком в комментариях  к его изданию «Арифметики»  Диофанта 1621 г. В замечании, относящемяс  к этому месту, Ферма высказал  более общую теорему, согласно  которой любое натуральное число  есть либо n- угольное, либо сумма не более чем n n- угольных чисел, причем утверждал, что располагает ее доказательством. В 1636 г теорема стала известной в кругу французских математиков. Доказательство свое Ферма не сообщил; он лишь упомянул в одном письме 1654 г Паскалю, что вывод опирается на представимость простых чисел вида 4n+1  суммой двух квадратов. Эта теорема Ферма для n=4 была доказана во второй половине 18 в благодаря совместным усилиям Эйлера и Лагранжа, для n=3 – Гауссом (1801) и в общем случае – О. Коши (1813-1815).

Неопределенные  уравнения

Баше  де Меризиаку и Ферма принадлежит  заслуга постановки задачи о решении  неопределенных уравнений в целых  числах. До них, следуя за Диофантом, европейские  математики обычно искали рациональные решения таких уравнений.

Баше  де Меризиак, не зная  о своих индийских  предшественниках, подробно разработал и изложил на числовых  примерах способ решения в целых положительных  числах линейного уравнения с  двумя неизвестными 

Где (a,b)=1. Этот вопрос Баше изложил в замечательном сборнике «Приятных и занимательных задач, рассматриваемых в числах», неоднократно переиздававшихся вплоть до наших дней, - в последний раз книга вышла в 1959 г.

Ферма исследовал гораздо более трудную  задачу решения в целых положительных  числах уравнения с двумя неизвестными второй степени. В своем письме, получившем название «Второго вызова математикам» (февраль 1657), он предложил своим корреспондентам найти общее правило решения уравнения 

Где a – целое неквадратное число. Такое уравнение рассматривали еще математики древней греции и средневековой Индии. Впоследствии Эйлер по ошибке связал его с именем английского алгебраиста Джона Пелля(1611-1685). Теперь более принято называть уравнение (1), отдавая долг справедливости, уравнением Ферма.

Проблема  решения уравнения Ферма распадается  на две:

1. Найти наименьшее целочисленное решение после чего,
2. Зная наименьшее решение найти все остальные.

В своем  письме Ферма предлагал найти  решения при a=149,109,433. Эти значения выбраны так, что наименьшее решение соотвествующего уравнения Ферма очень велико и его нельзя найти простым подбором. Вероятно, Ферма специально выбрал эти примеры, чтобы узнать, владеют ли его коллеги общим методом для решения первого из указанных нами вопросов. Что касается самого Ферма, о не подлежит сомнению, что он имел общие формулы для решения второго вышеназванных вопросов. Для случая a=2 он привел соответствующие формулы в письме к Френиклю. По-видимому, он владел и методом нахождения наименьшего решения, однако в его бумагах никаких следов такого приема не осталось.

Ферма придавал уравнению (1) очень большое  значение, считая, что оно поясняет путь, по которому должна развиваться  наука о числах. Но его современники не поняли значения этого уравнения. По поводу уравнения Ферма разгорелась  интересная дискуссия, в которой  приняли участие английские математики и которая была издана Валлисом в 1658 г. Под названием «недавняя переписка о некоторых математических воросах». Их этой переписки видно, что английские математики сначала не поняли задачу:  Броункер предложил ее решение в рациональных числах, Валлис считал, что требование найти решение в целых числах делает задачу менее общей. После дополнительных разъяснений Ферма, Броункер решил уравнение Ферма при a=109 c помощью разложения в непрерывную дробь, но не доказал ни того, что его способом всегда можно найти решение, ни того что при этом получаются все решения. Впоследствии эффективное решение уравнения Ферма и исчерпывающее его исследование было дано Эйлером и Лагранжем. Наконец в 1846 г, обобщив результаты Ферма, Эйлера и Лагранжа, Лежен Дирихле построил свою теорию единиц в полях алгебраических чисел.