71. Задача по теме «Многоугольники».

 
      
     
     Высота OL равнобедренного треугольника  БОС является его медианой, т.  е. LB = LC, и аналогично из треугольника  АОВ получаем КА = КВ. Поэтому АВ = 2KB = 2LB = ВС. 
     
     Следовательно, смежные стороны многоугольника равны, а значит, и все его стороны равны. Поскольку все его углы равны по условию, то он является правильным по определению правильного многоугольника, что и требовалось доказать. 

72. Формулы площади треугольника (формулы и примеры).

73. Признак параллелограмма.

    Параллелограмм  — это четырехугольник, у которого противолежащие стороны параллельны, т. е. лежат на параллельных прямых. 
     
     Если диагонали четырехугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник — параллелограмм. 
     
     Дано: ABCD — четырехугольник, АС и BD — диагонали, OD = ОВ, ОА = ОС, О — точка пересечения ВПиАС. 
     
     Доказать: ABCD — параллелограмм. 
     
     Доказательство. Треугольники AOD и COD равны (рис. 68). У них углы при вершине О равны как вертикальные, а OD = ОВ и ОА = ОС по условию теоремы. 
     
     Значит, углы ОВС и ODA равны. А они являются внутренними накрест лежащими для прямых AD и ВС и секущей BD. По признаку параллельности прямых прямые АВ и CD параллельны. Так же доказывается параллельность прямых АВ и СВ с помощью равенства треугольников АОВ и COD. 
     
     Так как противолежащие стороны четырехугольника параллельны, то по определению этот четырехугольник — параллелограмм. Теорема доказана. 

74. Задача по теме «Равнобедренный треугольник».

75. Задача по теме «Углы, вписанные в окружность».

76. Формулы площади прямоугольника и параллелограмма (формулы и примеры).

    I. Площадь прямоугольника со сторонами а и b равна произведению их сторон S = аЬ. 
     
     II. Площадь параллелограмма равна произведению его стороны на проведенную к ней высоту: S = ah2. 
     
      

77. Второй признак равенства треугольников.

78. Задача по теме «Средняя линия треугольника».

79. Формула площади трапеции (формула и пример).

80. Признак равенства прямоугольных треугольников.

    Так как в  прямоугольном треугольнике угол между  двумя катетами — прямой, а любые два прямых угла равны, то из первого признака равенства треугольников следует, что: 
     
     если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны. 
     
     Из второго признака равенства треугольников следует, что: 
     
     если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны. 
     
     Рассмотрим еще два признака равенства прямоугольных треугольников: 
     
     если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны. 
     
     Доказательство. Из теоремы о сумме углов треугольника следует, что в этих треугольниках два других острых угла также равны, поэтому они равны по второму признаку равенства треугольников, т. е. по стороне (гипотенузе) и двум прилежащим к ней углам. 
     
     [П] Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника равны гипотенузе и катету другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны. 
     
      
     
      
     
      

81. Задача по теме «Векторы».

82. Задача по теме «Окружность, вписанная в треугольник».

    Определите вид  треугольника, если центр вписанной  в него окружности совпадает с  центром описанной около него окружности. 
     
     Решение. Точка пересечения биссектрис треугольника является центром окружности, вписанной в этот треугольник, а точка пересечения его серединных перпендикуляров — центром окружности, описанной около этого треугольника. 
     
     Из теоремы о медиане равнобедренного треугольника следует, что только в равностороннем треугольнике биссектрисы углов треугольника совпадают с серединными перпендикулярами. Значит, центр окружности, вписанной в треугольник, совпадает с центром описанной около него окружности только для равностороннего треугольника. 

83. Формула площади круга (формула и пример).

84. Теорема Пифагора.

85. Задача по теме «Окружность, описанная около треугольника».

    Докажите, что  центр окружности, описанной около равнобедренного треугольника, лежит на медиане, проведенной к основанию. 
     
     Доказательство. Точка пересечения серединных перпендикуляров треугольника является центром окружности, описанной около этого треугольника. Так как данный треугольник — равнобедренный, то по теореме о медиане равнобедренного треугольника медиана, биссектриса и высота треугольника, проведенные к основанию, совпадают. Значит, высота совпадает с серединным перпендикуляром, проведенным к основанию треугольника. Следовательно, центр окружности, описанной около равнобедренного треугольника, лежит на медиане, проведенной к основанию. 

86. Задача по теме «Геометрическое место точек».

    Докажите, что  если три окружности имеют общую  хорду, то их центры расположены на одной прямой. 
     
     Доказательство. Так как общая хорда двух пересекающихся окружностей перпендикулярна линии, соединяющей центры этих окружностей и делится ею